广西壮族自治区桂林市青狮中学高二数学理上学期摸底试题含解析

广西壮族自治区桂林市青狮中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)为R上的偶函数，且当时，，函数，，则函数g(x)的零点的个数是（）A.10 B.11 C.12 D.13参考答案：D【分析】设，可得，解得或或；将问题转变为的图象与直线，，交点个数之和；利用函数奇偶性可求得时，的解析式，从而可在平面直角坐标系中得到函数图象，通过图象可得到交点个数，交点个数即为零点个数.【详解】设，则解得：或或则函数的零点个数即的图象与直线，，交点个数之和为偶函数

当时，，则在平面直角坐标系中可得图象如下图所示：由图象可知，交点个数为个

的零点个数是本题正确选项：【点睛】本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，进而再次将问题转化为曲线与直线交点个数的求解问题，通过数形结合的方式得到交点个数.2.已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（

）A.(－1,0) B.(－1,+∞)C.(－2,0) D.(－2,－1)参考答案：A【分析】先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图像，即可求出结果.【详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，，，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.3.有下列四个命题：

①“若，则互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若，则有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为

（

）（A）①②

（B）②③

（C）①③

（D）③④参考答案：C4.图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有(

)种不同的取法． A．120 B．16 C．64 D．39参考答案：B考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；排列组合．分析：利用分类加法原理，即可得出结论．解答： 解：由于书架上有3+5+8=16本书，则从中任取一本书，共有16种不同的取法．故选B．点评：本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别．5.已知直线与圆交于,两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（ ）A.2 B. C.2或－2 D.或参考答案：C详解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴AB=.∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d=AB==，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为：C．

6.已知，则（

）A.－45 B.120 C.－120 D.45参考答案：B【分析】由，结合的展开式的通项，即可得出.【详解】，为的系数的展开式的通项为由得则故选：B【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.7.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为则下列结论中不正确的是

(

)

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加lcm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg参考答案：D8.已知函数，g(x)＝x2－2bx＋4，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是(

)A．B．[1，＋∞]

C．

D．[2，＋∞]参考答案：C9.设ABC的内角A,B，C所对边的长分别为a,b,c，若b+c=2a,.3sinA=sinB，则角C=

(

)

A．

B．

C．

D.参考答案：B略10.设

，则的值为（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.袋中有大小、形状相同的红、黑球各1个，现在有放回地随机摸取3次，每次摸取1个球，若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则这3次摸球所得总分小于5分的概率为________．参考答案：12.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BFBA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为_______.参考答案：13.已知圆，则过点的圆的切线方程是__________．参考答案：∵点在圆上，且，∴过点的且切线斜率不存在，故切线方程是：．14.观察下列的图形中小正方形的个数，猜测第n个图中有

个小正方形.

参考答案：略15.点P的曲线y=x3-x+上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取

值范围是_________.参考答案：

16.若展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含的项的系数为

参考答案：-405

略17.圆:（为参数）的圆心坐标为__________；直线:被圆所截得的弦长为__________.参考答案：（0,1），4.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，角的对边分别为.已知，.（1）求的值；（2）分别求的取值范围及的取值范围.参考答案：（1），（2）（Ⅰ），

（或几何法）（Ⅱ）由（或几何法+投影

或建坐标系）19.已知动圆P与圆相切，且与圆相内切，记圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知：F1（﹣3，0），r1=9；F2（3，0），r2=1，设所求圆圆心P（x，y），半径为r．作图可得，|PF1|+|PF2|=8＞6=|F1F2|，利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．【解答】解：由已知：F1（﹣3，0），r1=9；F2（3，0），r2=1，设所求圆圆心P（x，y），半径为r．作图可得，则有|PF1|+|PF2|=8＞6=|F1F2|，即点P在以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为焦点，2a=8，2c=6的椭圆上b2=a2﹣c2=16﹣9=7，则P点轨迹方程为：．20.已知数列{an}满足，，，（1）求，，的值，并猜想{an}的通项公式；（2）求证：分别以，，为边的三角形不可能为直角三角形。参考答案：（1），，；；（2）证明见解析【分析】（1）利用递推关系式，依次代入即可求得，，；通过观察前三项的数字规律得到的通项公式；（2）采用反证法，假设可构成直角三角形，根据勾股定理构造关于的方程，求得结果后与已知矛盾，可知假设错误，从而证得结论.【详解】（1）令，则令，则

令，则

（2）证明：假设以，，为边的三角形是直角三角形

为直角三角形的斜边，解得：或两根均为负数，与已知矛盾假设不成立，原命题成立即：以，，为边的三角形不可能为直角三角形【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列中的项和猜想通项公式、反证法证明的问题.利用反证法的关键是假设成立后，根据已知条件构造等量关系，得到与已知相矛盾的结论，从而证得结论.

21.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，.(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值；(Ⅱ)在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，可得.（Ⅰ）所以，平面的一个法向量所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.………6分（Ⅱ）假设存在满足条件的点，设AD=，则，设平面的法向量，因为,，且所以

所以平面的一个法向量又因为平面的一个法向量所以解得，因为，此时,所以存在点，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°.……12分22.本小题满分12分）已