2022-2023学年广东省梅州市学艺中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年广东省梅州市学艺中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，那么用表示为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A2.若，则的夹角为（

）

A．

B

C．

D．

参考答案：A3.“”是“函数在区间[1,+∞)单调递增”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A分析：求出导函数，若函数在单调递增，可得在区间上恒成立．解出，故选A即可．详解：，

∵若函数函数在单调递增，

∴在区间上恒成立．

∴，而在区间上单调递减，

∴．即“”是“函数在单调递增”的充分不必要条件.

故选A.．点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题．4.已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5.已知的展开式中的系数为，则（

）A.1 B. C. D.参考答案：D【分析】由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积的和，由此列方程求得a的值．【详解】根据题意知，的展开式的通项公式为，∴展开式中含x2项的系数为a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故选：D．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式是解决此类问题的关键．6.已知三个实数，，，则的大小关系正确的为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略7.若函数y=ax在区间[0，3]上的最大值和最小值的和为，则函数y=logax在区间上的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：B【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】先根据指数函数的单调性求出a的值，再根据对数函数的性质即可求出答案．【解答】解：∵函数y=ax在区间[0，3]上的最大值和最小值的和为，∴1+a3=，解得a=，a=﹣（舍去），∴y=logx在区间[，2]上为减函数，∴ymin=log2=﹣1，故选：B8.某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用a(i，j)表示第i行从左数第j个数，如a(4，3)=10，则a(21，6)=（

）A．219

B．211

C．209

D．213参考答案：B略9.复数()A. B. C. D.参考答案：A【详解】把复数的分子分母同时乘以1-i,

，．故选A.考点：复数的除法运算．10.如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(

)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.．直线过定点___________．参考答案：12.阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为．参考答案：5考点： 程序框图．

专题： 常规题型．分析： 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值．解答： 解：经过第一次循环得到s=2，n=1，经过第二次循环得到s=5，n=2，经过第三次循环得到s=10，n=3，经过第四次循环得到s=19，n=4，经过第五次循环得到s=36，n=5，经过第六次循环得到s=69，n=6，∵输出的结果不大于37∴n的最大值为4∴i的最大值为5故答案为：5点评： 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．13.艺术体操委员会由10位女性委员与5位男性委员组成,委员会要组织6位委员出国考查学习,如果按性别作分层,并在各层按比例随机抽样,试问此考查团的组成方法有_____种.参考答案：210014.若函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是．参考答案：a≤【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=是R上的单调递减函数，∴，即，得a≤，即实数a的取值范围是a≤，故答案为：a≤【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．15.给出下列四个命题：①设是平面，m、n是两条直线，如果，m、n两直线无公共点，那么.②设是一个平面，m、n是两条直线，如果，则m//n..③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行.④三条直线交于一点，则它们最多可以确定3个平面.其中正确的命题是________参考答案：③④16.给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是

．参考答案：①⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据正方体中取对应的对角线构成的四面体是正四面体．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥；③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱；④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体．【解答】解：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点正确，如图四面体B1﹣ACD1是正四面体；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，如图所示，若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱锥V﹣ABC表示正三棱锥，∴②错误；③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴③错误；④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴④错误；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如②中图形，∴⑤正确；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑥错误．故答案为：①⑤17.已知函数在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M-m=

参考答案：32略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)已知函数f(x)=4x3+ax2+bx＋5在x=－1与x=处有极值。(1)写出函数的解析式；(2)求出函数的单调区间；(3)求f(x)在[-1,2]上的最值。参考答案：19.已知向量，，，且的角所对的边分别.

（1）求角的大小；（2）若成等差数列，且，求.参考答案：.解：（1）,又，

………3分又

………4分

(2)由已知得，即又∵，∴

………6分

由余弦定理得：

∴

………8分20.在数列中，，当时，其前项和满足．（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，求数列的前n项和． （3）是否存在自然数m，使得对任意，都有成立？若存在求出m的最大值；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（1）当时，，∴，∴，∴，即数列为等差数列，，∴，∴当时，，（2）=，

略21.已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．（1）若函数h（x）=g（x）+1﹣f（x）﹣2x存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．参考答案：

考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．专题：常规题型；计算题；分类讨论．分析：（1）先求出函数h′（x），欲使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后利用分离法可得a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函数在（0，+∞）上的最小值即可．（2）先令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0），函数f（x）=ax与g（x）=lnx﹣1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数，利用导数研究函数F（x）的最小值，比较最小值与0的大小即可得到F（x）的零点的个数．解答：解：（1）h（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），h′（x）=﹣ax﹣2．若使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）上有解．而当x＞0时，﹣ax﹣2＜0?ax＞﹣2?a＞﹣问题转化为a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函数在（0，+∞）上的最小值．又=﹣1，在（0，+∞）上的最小值为﹣1，所以a＞﹣1．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0）函数f（x）=ax与g（x）=lnx﹣1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数．F′（x）=a﹣（x＞0）令F（x）=a﹣=0解得x=．随着x的变化，F（x），F（x）的变化情况如表：（7分）①当F（）=2+lna＞0，即a=e﹣2时，F（x）恒大于0，函数F（x）无零点．（8分）②当F（）=2+lna=0，即a=e﹣2时，由上表，函数F（x）有且仅有一个零点．③F（）=2+lna＜0，即0＜a＜e﹣2时，显然1＜F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（）＜0?，又F（x）在（0，）内单调递减，所以F（x）在（0，）内有且仅有一个零点当x＞时，F（x）=ln由指数函数y=（ea）x（ea＞1）与幂函数y=x增长速度的快慢，知存在x0＞使得从而F（x0）=ln因而F（）?F（x0＜0）又F（x）在（，+∞）内单调递增，F（x）在[，+∞）上的图象是连续不断的曲线，所以F（x）在（，+∞）内有且仅有一个零点．因此，0＜a＜e﹣2时，F（x）有且仅有两个零点．综上，a＞e﹣2，f（x）与g（x）的图象无交点；当a=e﹣2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点；0＜a＜e﹣2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有两个交点．点评：本题主要考查了利用导数研