2022-2023学年高二下数学：随机变量及其分布（附答案解析）

2022-2023学年高二下数学：随机变量及其分布

一.选择题（共8小题）

1.（2021春•河西区期中）已知随机变量的分布列如表:

X012

P0.2ab

若E(X)=I,则。(X)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

2.（2021秋•徐州期中）某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面

试环节.现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N（60,IO2）,若80分及

以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（）

（附：若随机变量X~N（μ,。2）,则P（μ-。VXVμ+o）=0.6827,P（μ-2oVX

<μ+2。）QO.9545,P（μ-3。<%<μ+3ɑ）Qo.9973.）

A.12B.23C.46D.159

3.（2021秋•孝感期中）在一次运动会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假

设每局比赛中甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,已知比赛规则是3局2胜制，

则乙获得冠军的概率为（）

A.0.288B.0.352C.0.648D.0.256

4.（2021秋•常州期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20

名团员，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选

到的是男生的概率为（）

A.ɪB.ɪC..lɜD.A

118557

5.（2020春•鼓楼区校级期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个

村，下列事件中概率等于反的是（）

7

A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村

C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村

6.（2021春•邯郸期中）随机变量聊概率分布列为p（g=k）=ck—1,2,3,4,

k(k+2)

其中C是常数，则P（ξ≤2）的值为（）

第1页（共21页）

7.（2019秋•上城区校级期中）设O<p<l,随机变量£的分布列为

ξ0I2

PE4-3PE

__I__4__ɪ__

那么，当P在（0,1）内增大时，D（ξ）的变化是（）

A.减小B.增大

C.先减小后增大D.先增大后减小

8.（2021春•福建期中）假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎

是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行;

2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行.要使4引擎飞机更安全，则

每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率的取值范围是（）

A.（2,1）B.（ɪ,I）C.（0,ɪ）D.（0,2）

3333

二.填空题（共4小题）

9.（2021春•浙江期中）已知随机变量X服从二项分布8（小p）,若E（X）=40,D（X）

=20,,P=.

10.（2021秋•青羊区校级期中）已知某品牌电子元件的使用寿命X（单位：天）服从正态

分布N（98,64）.

（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为;

（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工作（要

求K能正常工作，A,8中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独

立）的概率为.

（参考公式：若X~N（μ,。2）,则尸（μ-0.25o<X≤μ+0.25o）=0.2.）

A

B

11.（2021春•莲池区校级期中）已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次

品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率

为:恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率

第2页（共21页）

为.

12.（2020•天心区校级模拟）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，

3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以小，a和用表示由甲

罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以8表示由乙罐取

出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）.

①P（B）=2；

5

②P（8］小）=卷；

③事件B与事件小相互独立；

④/1，A2>43是两两互斥的事件.

≡.解答题（共4小题）

13.（2022•宝鸡模拟）“X病毒”给人类社会带来了极大的危害，我国政府和人民认识到对

抗“X病毒”是一项长期而艰巨的任务，为了加强后备力量的培养，某地政府组织卫生、

学校等部门，开展了一次“X病毒”检测练兵活动.活动组织者把3份不同的“X病毒”

咽拭子随机分到3个组，并根据份额，增加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每组有20

份咽拭子.规定每组先混合检测，即将20份咽拭子分别取样混合在一起检验，若结果为

阴性，则这20份咽拭子全为阴性，只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确

这2份咽拭子究竟哪份为阳性，就需要对这20份再逐一检验，此时这20份咽拭子的检

验次数总共为21次.三组样本检验规则相同，每次检测费为60元.

（1）求检测次数为23次的概率；

（2）设本次活动检测总费用为y元，求Y的分布列及数学期望.

14.（2019•深圳一模）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），

如图所示：

（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”

第3页（共21页）

中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率;

（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：

会员等级消费金额

普通会员2000

银卡会员2700

金卡会员3200

预计去年消费金额在（0,1600］内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在

（1600,3200］内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200,4800］内的消费

者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费

金额.

该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：

方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给

予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人

奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.

方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球

只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数

为2,则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金；其他情

况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次

摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.

以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.

15.（2020∙新课标I）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩

余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为工.

2

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

第4页（共21页）

16.（2021•日照模拟）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假

设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率

均为0.1.

（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X,求X的期望和方差；

（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布5（〃，p）,那

么当“比较大时，可视为X服从正态分布N（μ,。2）.任意正态分布都可变换为标准正

态分布（μ=0且。=1的正态分布），如果随机变量Y~N（μ,σ2）,那么令Z=±1L,

σ

则可以证明Z~N（0,1）.当Z~N（0,1）时，对于任意实数α,记①（α）=P（ZVa）.

已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值.例如当

α=0.16时,由于0.16=0.1+0.06,则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后

在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是

Φ（0.16）的值.

（i）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；

（ii）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7,则至少需要添加多少个座

位？

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224

第5页（共21页）

2022-2023学年高二下数学：随机变量及其分布

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.(2021春•河西区期中)已知随机变量的分布列如表:

X012

P0.2ab

若E(X)=I,则。(X)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.

【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算.

【分析】由分布列的性质，可得α+b=0.8,再根据期望公式，可推得α+2b=l,联立两

个方程，解得α=0.6,6=0.2,再运用方差公式，即可求解.

【解答】解：由分布列的性质，可得0.2+α+b=l,解得α+Z>=0.8①，

'：E(Ar)=1,

Λ0×0.2+l×α+2×⅛=l,即α+2b=l②，

联立①②解得α=0.6,6=0.2,

D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.

故选：C.

【点评】本题主要考查离散型随机变量分布的性质，以及期望和方差公式，属于基础题.

2.(2021秋•徐州期中)某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面

试环节.现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N(60,102),若80分及

以上为达标，则估计进入面试环节的人数为()

(附：若随机变量X~N(μ,。2),则尸(μ-。<X<μ+o)=0.6827,P(μ-2σ<χ

<μ+2。)Qo.9545,P(μ-3o<X<μ+3σ)«=0.9973.)

A.12B.23C.46D.159

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算.

【分析】由题意求出P(%>80)=P(X∖60+20)的值，乘以IOOO得答案.

第6页(共21页)

【解答】解：∙.∙χ服从正态分布N（60,1（）2）,

：.P（X280）=P（X》60+20）=l-°∙9545=OQ2275,

2

则估计进入面试环节的人数为IOoOXO.02275=22.75^23人.

故选：B.

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查运算求解能力，是基

础题.

3.（2021秋•孝感期中）在一次运动会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假

设每局比赛中甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,已知比赛规则是3局2胜制，

则乙获得冠军的概率为（）

A.0.288B.0.352C.0.648D.0.256

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】乙获得冠军的情况有2种：①乙连胜2局，②前2局乙1胜1负，第3局乙胜，

由此利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出乙获得冠军的概率.

【解答】解：每局比赛中甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,

比赛规则是3局2胜制，则乙获得冠军的情况有2种：

①乙连胜2局，概率为Pl=O.42=0.16,

②前2局乙1胜1负，第3局乙胜，概率为尸2=以*°.4X0.6X0.4=°」92，

.∙.乙获得冠军的概率为：

P=0.16+0.192=0.352.

故选：B.

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公

式等基础知识不，考查运算求解能力，是中档题.

4.（2021秋•常州期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20

名团员，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选

到的是男生的概率为（）

【考点】条件概率与独立事件.

第7页（共21页）

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算.

【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.

【解答】解：设事件4为选到的是团员，事件8为选到的是男生,

根据题意可得，PCA)=Wo±12.卫,p(AB)=空」,

55555511

故尸(B∖A)=Fl(AB)二里①

P(A)328

故选：B.

【点评】本题主要考查条件概率的计算公式，属于基础题.

5.（2020春•鼓楼区校级期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个

村，下列事件中概率等于且的是（）

7

A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村

C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村

【考点】超几何分布.

【专题】应用题：对应思想；数学模型法；概率与统计：数据分析.

【分析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，计算对应的概率

值即可得出结论.

【解答】解：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，

pkp3-k

所以P（X=k）=-3怖-，

C

计算P(X=O)

P2p1

C4C318

P(X=I)=二二"

C335

Cr*41Cr*3212

P(X=2)n=---，

C335

∩0∩3

υ4υ31

P(X=3)≡z二...，

「335

所以P(X=1)+P(X=2)*,

第8页（共21页）

即有1个或2个深度贫困村的概率为旦.

7

故选:B.

【点评】本题考查了超几何分布的概率计算问题，是基础题.

6.(2021春•邯郸期中)随机变量J的概率分布列为p(k=1，2,3,4,

其中C是常数，则P(ξ≤2)的值为()

A.2B.ɪC.AD.我

34568

【考点】离散型随机变量及其分布列.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用随机变量概率之和为1,列式求出C的值，然后由概率公式求解即可.

【解答】解：由题意，随机变量S的概率分布列为p(g=k)nCk=1,2,3,4,

k(k+2)

r∏∣∣cccccz.111111lλcvz17.

1×32×43×54×62^3243546^215

解得30

C=Tr

所以P(ξ<2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)Wx(―^―H)=^×-=^-∙

Lis乙)174×32X4，172468

故选：D.

【点评】本题考查了随机变量概率之和为1的应用，离散型随机变量概率公式的理解与

应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.

7.(2019秋•上城区校级期中)设0<pVl,随机变量己的分布列为

ξO12

P_P4-3PE

_______ɪ_______4__ɪ__

那么，当P在(0,1)内增大时，D(ξ)的变化是()

A.减小B.增大

C.先减小后增大D.先增大后减小

【考点】离散型随机变量的期望与方差.

【专题】计算题；转化思想；概率与统计；数学运算.

【分析】计算出E(ξ)>E(ξ2),根据。(ξ)=E(ξ2)-E2(ξ)将。(ξ)表示成关于

P的函数，研究函数的单调性即可.

第9页(共21页)

【解答】解：依题意，E(ξ)=l-*p+p=l+±,

2

E(ξ)=1-3riι+4><E=l+⅛∙,

4p24

所以")=£(产)一/⑴=ι+*aTP)2=一看p2+%

是关于P的开口向下的抛物线，对称轴为p=6,

所以当Pe(0,1)时，D(ξ)单调递增，

即当P在(0,1)内增大时，D(ξ)增大，

故选：B.

【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了二次函数的单调性，属中档

题.

8.(2021春•福建期中)假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎

是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；

2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行.要使4引擎飞机更安全，则

每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率的取值范围是()

A.(2,1)B.(ɪ,I)C.(0,ɪ)D.(0,2)

3333

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】4引擎飞机成功飞行的概率为P1=c%3(]-p)+p4,2引擎飞机成功飞行的概

率为P2=p2,由C*?(1-0)+∕>p2,能求出每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概

率的取值范围.

【解答】解：4引擎飞机成功飞行的概率为P=C%3(IP)+p4f

2引擎飞机成功飞行的概率为Pi=P1,

要使Cy(I-P)+p4>p2,必有∙k<p<ɪ,

解得o<ι-p<2,

3

每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率的取值范围是(0,2).

3

故选：D.

【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算

第10页(共21页)

求解能力，是基础题.

二.填空题（共4小题）

9.（2021春•浙江期中）已知随机变量X服从二项分布8（小p）,若E（X）=40,D（X）

=20,n—80>Q--ɪ-

-2-

【考点】离散型随机变量的期望与方差.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用二项分布的数学期望与方差的计算公式求解即可.

【解答】解：因为随机变量X服从二项分布8（〃，p）,

又E（X）=40,D（X）=20,

/,cfn=80

所以（np-4°,解得1.

1np（I-P）=20P节

故答案为：80；A.

2

【点评】本题考查了二项分布的数学期望与方差的计算公式的应用，考查了运算能力，

属于基础题.

10.（2021秋•青羊区校级期中）已知某品牌电子元件的使用寿命X（单位：天）服从正态

分布N（98,64）.

（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为0.4:

（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工作（要

求K能正常工作，A,8中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独

立）的概率为_倒—.

125

（参考公式：若X~N（μ,。2）,则尸（μ-0.25。<X≤μ+0.25o）=0.2.）

A

^r4±F-∣

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想：定义法：概率与统计；逻辑推理.

【分析】利用正态分布曲线的对称性求解P（X>100）,由相互独立事件的概率乘法公式

求解电路能正常工作的概率.

第11页（共21页）

【解答】解：由题意可知，μ=98,O=8,

所以尸(X>100)=I-P--O•25°jX<U+O.25°)=o.)

由题意，要使电路能正常工作的概率为尸=2χ2χ2+2X(I-Z)xZ+2x2x(1

55555555

-2)=32

5125

故答案为：04ɪ.

125

【点评】本题考查了正态分布曲线的应用，相互独立事件的概率乘法公式的应用，解题

的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题.

11.(2021春•莲池区校级期中)已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次

品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为

工_；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为_至-

2121

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计：数学运算.

【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出第一次和第二次都检验出次品的概率；

恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，有两种可能：正次正次，正

正次次，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果.

【解答】解：第一次和第二次都检验出次品的概率为尸I=2χL=L,

7621

恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，有两种可能：正次正次，正

正次次，

概率为22=互×-X匡XuSX匡χ2X」=互.

7654765121

故答案为：ɪ,_L.

2121

【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公

式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.

12.(2020•天心区校级模拟)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球,

3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以小，/2和用表示由甲

罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取

出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是.②⑷(写出所有正确结论的编号).

第12页(共21页)

①P(8)=2;

5

②P(8∣4)=导

③事件B与事件4相互独立；

④小，念，力3是两两互斥的事件.

【考点】条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件.

【专题】概率与统计.

【分析】由题意小，A2,加是两两互斥的事件，由条件概率公式求出尸(阴山)，P(B)

=P(小8)+P(AzB)+P(.A3B),对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项.

【解答】解：由题意4,A2,小是两两互斥的事件，P(小)=-L=L,P(A2)=2

10210

=XP(出)

510

1XJ_

P(用小)=P(ElA!)_=-211=旦由此知，②正确；

P(AI)111

2

P(SU2)=±,P(8|/3)=—;

1111

而尸(B)=P(4B)+P(A2B)+P(A3B)=P(Ai)P(BMl)+尸(心)P(/加)+P

(用)P(BM3)=工X-L+J^X-L+_Lx_£=_L.由此知①③不正确；

211511101122

Aι,A2,43是两两互斥的事件，由此知④正确；

对照四个命题知②④正确；

故答案为：0(4).

【点评】本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了

相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是

解题的突破点.

三.解答题(共4小题)

13.(2022•宝鸡模拟)“X病毒”给人类社会带来了极大的危害，我国政府和人民认识到对

抗“X病毒”是一项长期而艰巨的任务，为了加强后备力量的培养，某地政府组织卫生、

学校等部门，开展了一次“X病毒”检测练兵活动.活动组织者把3份不同的“X病毒”

咽拭子随机分到3个组，并根据份额，增加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每组有20

份咽拭子.规定每组先混合检测，即将20份咽拭子分别取样混合在一起检验，若结果为

第13页(共21页)

阴性，则这20份咽拭子全为阴性，只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确

这2份咽拭子究竟哪份为阳性，就需要对这20份再逐一检验，此时这20份咽拭子的检

验次数总共为21次.三组样本检验规则相同，每次检测费为60元.

（1）求检测次数为23次的概率；

（2）设本次活动检测总费用为Y元，求Y的分布列及数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算.

【分析】（1）3份不同的“X病毒”被分到三个组的情况有3X3X3=27种，检查次数为

23次，说明3份不同的“X病毒”被分到同一组，分到同一组的情况有3种情况，再结

合古典概型的概率公式，即可求解.

（2）由题意可得，Y所有可能取值为1380,2580,3780,分别求出对应的概率，即可得

丫的分布列，并结合期望公式，即可求解.

【解答】解：（1）3份不同的“X病毒”被分到三个组的情况有3X3X3=27种，

检查次数为23次，说明3份不同的“X病毒”被分到同一组，分到同一组的情况有3种

情况，

故检测次数为23次的概率为a-L

279

（2）由题意可得，y所有可能取值为1380,2580,3780,

p（y=i380）

279

9ʌɜ2

P（7=2580）=「2X_£=_£,

“273

ʌɜ2

P（r=3780）=-L=±-,

279

故y的分布列为:

Y138025803780

Pɪ22

9^____________石ɪ____

故E（%）=1380×⅛+2580×⅜+3780×

yOyð

【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属

于中档题.

第14页（共21页）

14.（2019•深圳一模）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元）,

如图所示：

（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”

中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；

（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：

会员等级消费金额

普通会员2000

银卡会员2700

金卡会员3200

预计去年消费金额在（0，1600］内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在

（1600,3200］内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200,4800］内的消费

者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费

金额.

该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：

方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给

予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励5（）0元；银卡会员中的“幸运之星”每人

奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.

方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球

只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数

为2,则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金；其他情

况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次

摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.

以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.

第15页（共21页）

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图.

【专题】应用题：对应思想；数学模型法；概率与统计.

【分析】(1)根据题意计算随机抽取的2人中去年消费金额超过4000元的概率值；

(2)计算方案1奖励的总金额H和方案2奖励的总金额比较大小即可.

【解答】解：(1)随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X人,

则X的可能取值为0,1,2；

「11「2

：.P(X2l)=P(X=I)+P(X=2)=—ɪ-=lθ.+-3-=lə-:

CC333333

222

C819

X

J

2Z

（或尸（X21）=I-P（X=O）=1C33

1r

即去年的消费金额超过4000元的概率为」旦；

33

(2)方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”,

则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为空X25=7,3-X

100100

25=15,-1.2.×25=3,

100

按照方案1奖励的总金额为a=7X500+15X600+3X800=14900(元)：

方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，贝∣Jη的可能取值为0,200,300；

由摸到红球的概率为P=EI=2

2.

5

P（η=200）.3=36

5^^125^,

P（η=3OO）=/（看）=8

^125^,

η的分布列为:

η0200300

P81368

岳岳

数学期望为En=OX&14200xB-+300X_L_=76.8（元）,

125125125

按照方案2奖励的总金额为

第16页(共21页)

&=(28+2×60+3×12)×76.8=14131.2(元)，

由日＞。知，方案2投资较少.

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题.

15.(2020∙新课标I)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩

余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

2

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有

三种情况，甲连胜四场比赛，乙连胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进

行五场比赛的概率.

(3)设/为甲输，8为乙输，C为丙输，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事

件概率加法公式能求出丙最终获胜的概率.

【解答】解：(I)甲连胜四场只能是前四场全胜，P=(1)4=A.

216

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，

比赛四场结束，共有三种情况，

甲连胜四场的概率为」乙连胜四场比赛的概率为二一

1616

内上场后连胜三场的概率为上，

8

.∙.需要进行第五场比赛的概率为：P=I-2--ɪ--I=3.

161684

(3)设力为甲输，8为乙输，C为丙输，则丙最终获胜的概率为：

P=P(ABAB)+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA)+P

(BACAB)+P(BACB4)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA)

第17页(共21页)

=(ɪ)4×2+(ɪ)5×10

22

=J_

^16^'

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公

式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

16.(2021•日照模拟)已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假

设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率

均为0.1.

(1)将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X