北师大初中数学教案八年级下册 第二章 分解因式

《不等关系》

教学目标

(-)教学知识点：

1、理解不等式的意义.

2、能根据条件列出不等式.

(二)能力训练要求：

通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.

(三)情感与价值观要求：

通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的

作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.

教学重难点

教学重点：用不等关系解决实际问题.

教学难点：正确理解题意列出不等式.

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

［师］我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还

存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，

以及不等关系的应用.

二、新课讲授

~)［师］既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？

［生］可以.举身边的例子.

［师］很好.那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题.如图，正方形的边长和圆的直

径都是acm.

O

(1)如果要使正方形的周长不大于25cm,那么正方形的边长a应满足怎样的关系式？

(2)如果要使圆的周长不小于100cm,那么圆的直径a应满足怎样的关系式？

(3)当天8时，正方形和圆的周长哪一个较长？炉12呢？

(4)你能得到什么猜想？改变a的取值，再试一试.

［师］本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的周长计算公式，另一个是了

解“不大于”、“大于”等词的含意.

［生］正方形的周长等于边长的4倍.

圆的周长是wR,其中不是圆的半径.

两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.

~）［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.

［生］（1）正方形的边长为a,所以正方形的周长为4a,要使正方形的周长不大于25cm,

就是4a≤25.

（2）因为圆的直径为a,所以圆的周长为na,要使圆的周长不小于IOOC加,就是πa⅞100.

（3）当a=8时，正方形的周长为4X8=32CR.圆的周长为π8≈25.12c®.

V25.12<32.

.∙.此时正方形的周长较长.

当a=12时，正方形的周长为12x4=48c".圆的周长为π12^37.68此时还是正方形的周

长较长.

（4）我们可以猜想，对于边长为a的正方形和直径为a的圆，无论a取何值，圆的周长总

小于正方形的周长，即"a<4a.

通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面L5m

的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约为3cm.这棵

树至少生长多少年其树围才能超过2.4成（只列关系式）.

［师］请大家互相讨论后列出关系式.

［生］设这棵树至少生长X年其树围才能超过2.4m,得3x+5>240.

【议一议】

观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？一般地，用符号“<”（或“<”），

“>”（或“\”）连接的式子叫做不等式（inequality）.

例：你会用式子表示下面的数量关系吗？

（1）下图为公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40物/力，用

VQkmlh）表示汽车的速度，怎样表示「和40之间的关系？

(2)根据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000°C.设太阳表面的温度为£(℃),怎样

表示t和6000之间的关系？

(3)天平左盘放3个乒乓球，右盘放5克祛码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为X(g),

怎样表示X与5之间的关系？

(4)小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高.小明的身体质量为。(后),

小聪的身体质量为g(毋)，书包的质量为24g,怎样表示P、g之间的关系？

(5)要使代数式(尸3)0有意义，X的值与3之间有什么关系？

认一认：判断下列各式中哪些是不等式？

(1)a2+l>0(2)a+⅛=0(3)8<

9(4)3尸IWX(5)4-2X(6)x-y≠l

【答一答】

根据下列数量关系列出不等式：

(1)X的2倍与1的和大于

(2)y不小于1与y的差.

(3)a的2倍比a的平方的相反数小.

［生］(1)2x+l>x(2)y>∖-y(3)2a<-a

［师］列不等式时先抓住关键词，再选准不等号.

《不等关系》

教学目标

1、知识与技能目标：

(1)理解不等关系及其在数轴上的几何表示.

(2)会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小.

2、过程与方法目标：

(1)教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型.

(2)设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性.

3、态度情感与价值观目标：

(1)通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用.

(2)培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力.进一步

体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想.

教学难重点

教学重点：

实数(代数式)大小比较的基本方法：作差法.

教学难点：

判断差的符号∙

难点突破方法：

1、结合实例强化.

2、小组合作探究.

教学过程：

一、课前预习，思考以下问题

如何表示不等关系？

如何用数轴表示两个数的大小？

怎样比较两个代数式的大小？

比较Λ2+2X与-尸3的大小.

二、课内探究

1、新课引入：

现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？

如：今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃,明天白天的最高温度为13℃,

7°C≤t≤13°C.

三角形4!K的两边之和大于第三边，AmAOBC.

a是一个非负实数，a>0.

2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）

问题一：不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式.

不等号的种类：>、<、》、W、≠.

问题二：222,这样写正确吗？“力”的含义是什么？

这样写是对的，因为“>”和“=”只要一个满足就可以了，即表示a>b或折b,同

样a≤6即为a<b或a=b.

问题三:实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数

谁大？

AB

αb

与数轴上的点是一一对应的,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.

问题四：数轴上两点4、8有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？

点的关系：

点71在点6右侧；

点4在点8左侧；

点1和点6重合.

数的关系：a>b、a=b、a<b

问题五：如何比较两数大小？（小组讨论）

做差比较法法的一般步骤：（教师引导，学生回答）

（1）作差；

（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差”化成“积”的形式，

配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；

（3）定号，就是确定是大于0,还是等于0,或是小于0（与具体的值无关）

（4）得出结论.

三、小结

不等式的定义.

不等关系在数轴上的几何表示.

做差法确定两数或代数式的大小.

《不等关系》

教学目标

1.知识与技能：经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法.

2.过程与方法：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了

解不等式（组）的实际背景.

3.情感、态度和世界观：通过感受和学习不等式知识，认识到不等关系是刻画现实世界客

观对象之间联系的一种绝对关系，由此培养学生的辩证唯物主义思想.

教学重难点

教学重点：通过具体情境，建立不等式模型.

教学难点：从具体问题中如何抽象出数学模型建立不等式.

教学过程：

一.问题情境

现实世界和日常生活中，有很多的相等关系然而更多的是不等关系.（书写课题）

师：在实际生活中人们常用哪些词来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系？（学生思

考讨论）

师：联系到我们数学上也有很多这样的实例.

（学生答，课件体现，并用数学语言描述）

总结：在数学上这样的种种不等关系，我们就用不等式来体现.

师：生活中的实例是否也可以用不等式来体现呢？

二.学生活动

问题L这是神州六号火箭发射升空时的场景（配课件图片），发射要成功它的速度必须满

足怎样的条件？（v27.9A∙w∕s）

那么在飞行时呢？（ι<7.9Ws）

问题2.在日常生活中我们经常能发现食物的包装上会注明此食物的成分含量，这些值都必

须满足一定的要求现在这有某酸奶的质量检查规定.

脂肪含量蛋白质含量（P）

不少于2.5%不少于2.3%

这表格说明了什么问题？

用不等式体现就是？

结论：生活中的实例也可以用不等式来描述.

怎样把生活中的这些问题转化成数学上的不等关系就是我们今天所要讨论的主要内容.

三.建构数学

（本节主要内容的流程图）

实际问题：不等关系目嘤蟹数学问题:不等式

数学问题：不等式一^k→实际问题：不等关系

四.数学应用

例L博物馆的门票每张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那在不足20人

时，选择怎样的购票策略？

问题：

1.如果19个人去该怎样购票？买团体的还是普通票？（团体）

2.如果你一人又该如何购票？选择团体的还是普通？（普通）

3.满足什么样的不等关系时，消费者能得到更大实惠？

（学生讨论得到8X20WloX）

解：设X人（K20）买20人的团体票不比普通票贵.

则有8×20≤10x.

评析：这是一个一元一次不等式模型.

例2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2

元，发行量就减少5000册.若设每本杂志的定价提高X元，怎样才能使杂志社的销售收入

超过22.4万元?

问题：

1.哪句话中有不等关系？（销售收入超过22.4万元）

2.用数学语言表述是？（销售收入大于22.4万元）

3.销售收入为什么？（每本价格又发行量）

4.每本价格发生了怎样的变化？（提高X元）

X

5.发行量又有什么样的变化？（减少0∙5X—）

解：设每本杂志价格提高X元，根据题意，得：

5x

（2+x）（10-—）>22.4

2

化简得5/一10χ+4.8<0

评析：这是一元二次不等式模型.

五.当堂反馈（不求解）

某种植物适宜生长的温度为18°C-20C的山区，已知山区海拔每升高100例气温下降

0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃,该植物种在山区多高处为宜？

解：设该植物适宜的种植高度为X而，则

J8<22-^^≤20

100

六.回顾反思

①解决实际问题的常规步骤实际问题（不等关系）'象'概括>数学问题（不等式），数

学问题列㈣>实际问题

②本堂课建立的模型主要是一一不等关系.

③现实世界中存在着很多的这种不等关系.

《不等关系》

教学目标

1、理解不等式的意义，体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型.

2、能用适当的符号表示数量之间的关系.

教学重难点

学习重点：能用适当的符号表示不同的数量之间的关系.

学习难点：能用适当的符号表示不同的数量之间的关系学习过程.

教学过程

一、自学指导，合作探究：

用心研读课本，思考以下问题：（学生活动）

如图，正方形的边长和圆的直径都是acm.

□O

(1)如果要求正方形的周长不大于25c必，那么正方形的边长a应满足怎样的关系式?

(2)如果要求圆的周长不小于IOOcw,那么圆的直径a应满足怎样的关系式?

(3)当行8,正方形和圆的周长哪一个较长？a=12呢？

(4)你能得到什么猜想？改变a的取值再试一试.

二、大组汇报，老师点拨：

提问：

1、不等式是.

2、一元一次方程与不等式的区别和联系.

三、巩固训练，熟练技能：

1、用适当的符号表示下列关系：

(1)a是非负数.

(2)直角三角形的斜边C比它的两直角边a,6都长.

(3)X与17的和比X的5倍小.

(4)X的3倍与8的和比X的5倍大.

(5)能是非负数.

2、从1,3,5,1,9种任取两个数就组成一个数组，写出其中两数之和小于10的所有数组.

四、课堂小结，回归目标：

1、本节主要学习了不等式的有关概念，学会了用适当的符号表示不同的数量之间的关系.

2、主要用到的思想方法是类比方法和数形结合思想.

3、注意的问题：不等式中有等号和无等号的区别.

五、达标检测，当堂反馈：

1、根据下列的数量关系，列出不等式：

(I)X与1的和是正数.

(2)尸的2倍与1的和大于3.

(3)X的与X的2倍的和是非正数.

(4)C与4的和的30%不大于-2.

(5)X除以2的商加上2,至多为5.

(6)a与6的和的平方不小于2.

2、通过测量一棵树的树围，(树干的横截面的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干

离地面1.5Cw处作为测量部位，某棵树栽种时的树围为5c",以后树围每年增加约39，这

棵树至少生长多少年其树围才能不小于2.5cm?(列关系式)

《不等关系》

1、如图所示，对a,b,C三种物体的重量判断不正确的是（）.

4、a<cB、a<bC、a>cD、b<c

2、如果aVO,Δ>O,a+⅛<0,那么下列关系式中正确的是（）.

4、a>b'>-b'>-aB、a>-a>b>~bC、b'>a>-b'>-aD、—a>b>—b>a

3、已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）.

力、ab>OB、I^l>|Z7|C、a—⅛>0D、a+⅛>0

b-10al

4、若HVbV0,则下列式子：①a+lVb+2；②@>1；③d+力Vd力；④中，正确的

bαb

有（）.

力、1个反2个C、3个〃、4个

5、某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤X元；下午，他又买了20斤，价

格为每斤y元.后来他以每斤土土［元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是（）.

2

力、x‹yB、x>yC、^≤yD、x^y

6、对于命题“a、6是有理数，若a>b,则才>4"，若结论保持不变，怎样改变条件，命

题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a、A是有理数，若a>b>O,则a?>。?；②a、b

是有理数，若a>6,且a+6>0,则庆③a、6是有理数，若aV6V0,则■>//：④a、

8是有理数，若a<b且a+bV0,则a?>方、其中，真命题的个数是（）.

4、1个8、2个C、3个〃、4个

1、有下列数学表达：①3<0；②4x+5>0;③x=3；Ox2+%；⑤XW-4；

Θx+2>x+l.其中是不等式的有个.

2、学校食堂出售两种厚度一样但大小不同的面饼，小饼直径30金，售价30分；大饼直径

40cm,售价40分.你更愿意买饼，原因是.

3、小强在一次检测中，语文与英语平均分数是76分，但语文、英语、数学三科的平均分不

低于80分，则数学分数X应满足的关系为.

4、有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，

从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a,。的不等式表

示为

图1图2

5、如图是测量一颗玻璃球体积的过程：

⑴将300M的水倒进一个容量为500加的杯子中;

（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满;

（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.

根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在以上,Cd以下.

6、一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计

划至少提前两天完成任务,请列出以后儿天平均每天至少要完成的土方数X应满足的不等式

为

《不等关系》

1、在数学表达式①-3<0；②4户5>0；③产3：④f+x；⑤Λ≠-4；（6）户2›户1是不等式的

有（）

从2个6、3个G4个45个

2、X的2倍减7的查不大于-1,可列关系式为（）

42Λ-7≤-1B、2Λ-7<-1C、2犷7=-1Λ2Λ­7>-4

3、下列列出的不等关系式中，正确的是（）

/、a是负数可表示为a〉0B、X不大于3可表示为水3

a勿与4的差是负数，可表示为犷4〈0D、X与2的和非负数可表示为广2>0

4、代数式3户4的值不小于0,则可列不等式为（）

43A+4<0B、3A÷4>0C、3A÷4>0D、3A÷4<10

5、下列由题意列出的不等关系中，错误的是（）

尔a不是是负数可表示为a〉0B、X不大于3可表示为x≤<3

a次与4的差是非负数，可表示为χ-4≥0

A代数式x+3必大于3『7,可表示为。+3>3『7

6、用不等式表示“a的5倍与6的和不大于8”为

7、JZ是个非负数可表示为.

8、用适当的符号表示“小明的身体不比小刚轻”为

9、用适当的符号表示下列关系：

(1)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；

(2)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；

(3)明天下雨的可能性不小于70%.

1、用不等式表示：

(I)X与-3的和是负数；

(2)X与5的和的28%不大于-6；

(3)加除以4的商加上3至多为5；

(4)a与6两数和的平方不小于3；

(5)三角形的两边a、6的和大于第三边c.

2、燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到IOR以外的安

全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02m∕s,人离开的速度为4勿∕s,导火线的长X(M应

满足怎样的关系式？请你列出.

3、班级50名学生上体育课，老师出了一道题目：现在我拿来一些篮球，如果每5人一组玩

一个篮球，有些同学没有球玩；如果每6人一组玩一个篮球，就会有一组玩篮球的人数不足

6个.你们知道有几个篮球吗？

甲同学说：如果有X个篮球，5x<5O.

乙同学说：6x>50.

丙同学说：6(x-l)<50.

你明白他们的意思吗？

4、比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填或"=

2222

(1)3+42×3×4i(2)2+22X2X2；

22

⑶“02χιχ25(4)m÷m2×I×2.

<4j4l2jUJ23

《不等式的基本性质》

教学目标

1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.

2、掌握不等式的基本性质.

教学重难点

不等式的基本性质的掌握与应用.

教学过程

一、比较归纳，产生新知

我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变.

请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,那么结果会怎样？请举几例试一试,

并与同伴交流.

类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变.试举几例验证猜想.

如3V7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1V7+1；3-5=-2,7-5=2,-2V2,所以3-5V7-5；

3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能说明猜想的正确性.

二、探索交流，概括性质

完成下列填空.

2<3,2X53X5；

2<3,2×(-1)3×(-1)；

2<3,2×(-5)3×(-5)；

你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流.

通过计算结果不难发现：第一个空填“V”，后三个空填“>”.

得出不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象)

三、练习巩固，促进迁移

1、用“>”号或“V”号填空，并简说理由.

①6+2-3+2；②6X(-2)-3X(-2)；

(3)64^2-3+2；(4)64-(-2)-34-(—2)

2、利用不等式的基本性质，填“>”或

(1)若a>b,则2a+l2b+l；

(2)若a<b,且c>0,则ac+c______bc+c；

(3)若a>0,b<0,c<0,(a-b)C0.

3、巩固应用，拓展研究.

按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据.

(1)a>b两边都加上-4；(2)-3a<b两边都除以-3；

(3)a23b两边都乘以2；(4)a≤2b两边都加上c.

《不等式的基本性质》

教学目标

1、掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式.

2、掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用.

3、提高逻辑推理和分类讨论的能力，培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度.

教学难重点

教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质.

教学难点：不等式的性质的运用.

教学过程

一、研究比较大小的依据：

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数

比左边的点表示的实数大.

------⅛------&------>X

在上图中，点力表示实数a,点8表示实数4点4在点6右边，那么a>A

而a—6表示a减去6所得的差，由于a>6,则差是一个正数，即a—6>0.

命题：“若a>8,则a-6>0”成立；逆命题“若a-6>O,则a>∕也正确.

类似地：若a<b,则a—%V0；若a=b,则a—b=0.逆命题也都正确.

结论：

(1)t,a>b,t="a—。>0"

(2)“a=b”="a—8=0”

(3)αa<bn=αa-b<0,,

——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法''∙

正负数运算性质：(1)正数加正数是正数；(2)正数乘正数是正数；(3)正数乘负数是负数;

(4)负数乘负数是正数.

二、研究不等式的性质：

性质1：若a>6,6>c,则a>c.(不等式的传递性)

,

证明：."a>b.∖a-b>0i

'Cb>c：.⅛-c>0;

.∙.(a-⅛)+(Z>-c)=a-c>0(正负数运算性质)

则a>c.

反思：证明要求步步有据.

性质2：若a>6,则a+c>6+c.(不等式的加法性质)

证明：,：a>ba-b>0；

,/（a+c）—（6+c）-a~b>Oa÷c>⅛÷c.

反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会.

思考：逆命题”若a+c>6+c,则a>6”成立吗？一一两边加“一。”即可证明.

【例1】求证：若a>b,c>d,则a+c>6+d.（同向不等式相加性质）

证明1：'：a>b.∙.a+c>6+c（性质2）

Vc>dJ.b+c>b+d（性质2）

则a+c>6+d.（性质1）

证明2：；a>6.∙.a-b>O

"."c>d`.c-d>O

.∙.（a-⅛）+（c-√）>0即（a+c）-（⅛+t∕）>0（作差比较法）

则a÷c>⅛÷d.

反思：你更喜欢哪种方法？为什么？（精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎.）

练习：求证：若a>b,c<d,则a—c>b—d（异向不等式相减性质）

证明1：Vc<d：.c-d<0

得d-c>0即-c>-d（正数得相反数为负数）

亦可由c<d两边同加一（c+d~）,直接推出一c>—d（性质2）

Va>ba+（―c）>b+（—√）（同向不等式相加性质）

则a-c>b-d.（加减法运算法则）

证明2：•：Ab：.a-b>0

"∙'c<dΛd-c>0

：.（a-c）-（b-d）=（a-⅛）+（√-c）>0（作差比较法）

贝IJa—c>b—d.

性质3：若a>6,c>0,则ac>>6c.

若a>6,c<0,则ac<6c.（不等式的乘法性质）

证明：ac-bc=（a—b）C（作差比较法）

Va>b'.a-b>0；

当c>0时，（a-b）c>0,得ac>6c；（正负数运算性质）

当c<0时，（a-Z>）c<0,得ac<bc.（正负数运算性质）

反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立.但不等式的情况完全不同！一一强调！

思考：

（1）“若a>4则ac2>∕√”成立吗？——不成立！反例：C=O时不成立.

,

（2）“若al>∕√,则a>b'成立吗？——成立！隐含c∙2>0.

［例2］比较（a+l）2与a2-a+l的值的大小.

解：(a÷l)^-(a—a+l)=3a

(1)当a<0时，(a+l)2<a~—a+1

(2)当a=O时，(a+l)2=a2-a÷l

(3)当a>O时，(a+l)2>a2-a+l

反思：

(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！一一强调！

(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！一一强调！

三、课堂小结：

(1)数学知识：不等式性质.

(2)数学方法：作差比较法.

(3)数学思想：分类讨论、类比猜想证明.

《不等式的基本性质》

教学目标

教学知识点：

1、探索并掌握不等式的基本性质.

2、理解不等式与等式性质的联系与区别.

能力训练要求：

通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.

情感与价值观要求：

通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流.

教学难重点

教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.

教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简.

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？

［生］记得.

等式的基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.

基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.

［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加

以验证.

二、新课讲授

1、不等式基本性质的推导.

［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探

索后发表自己的看法∙

［生］：3V5

3+2V5+2

3—2≤5-2

3+a<5+a

3—aV5-a

所以，在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.

［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似，下面继续进行探究.

［生］∙.∙3<5,

Λ3×2<5×2,

3X,V5XL

22

所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.

［生］不对.

如3<5,

3×(-2)>5×(一2).

所以上面的总结是错的.

［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.

［生］如3<4,

3×3<4×3,

3×ɪ<4×

33

3×(-3)>4×(-3),

3×(-ɪ)>4×),

33

3×(-5)>4×(-5).

由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以

一个负数时，不等号的方向改变.

［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢？

请大家用类似的方法进行推导.

［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以

一个负数时，不等号的方向改变.

［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3,并且要学会灵活运用.

I2I2

2、用不等式的基本性质解释上∙>L的正确性.

4乃16

I2I2I2

［师］在上节课中，我们知道周长为/的圆和正方形，它们的面积分别为一和一，且有一

47164万

I2

>—存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？

16

［生］V4τr<16

.±>±

4万16

根据不等式的基本性质2,两边都乘以12得

Z2I2

一>——

4万16

3、例题讲解.

将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：

(1)X—5>—1；

(2)-2%>3；

(3)3Λ-<-9.

［生］(1)根据不等式的基本性质1,两边都加上5,得

x>—1+5

即x>4；

(2)根据不等式的基本性质3,两边都除以一2,得

(3)根据不等式的基本性质2,两边都除以3,得

x<—3.

说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时，要注意数的正、负，从而

决定不等号方向的改变与否.

三、课时小结

1、本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质.

2、利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.

《不等式的基本性质》

教学目标

1、了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质，并能正确运用它们将不等式变形.

2、提高学生观察、比较、归纳的能力，渗透类比的思维方法.

教学重难点

掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形.

教学过程

一、回忆复习：

1、观察下面这几个式子，回答什么是等式？

2

x+2y=3、—rrr-2π=0>x+2-y

★表示相等关系的式子叫等式.

★等号左边的代数式叫等式的左边.

★等号右边的代数式叫等式的右边.

2、观察下面这几个式子，完成下面的填空.

a=b

`;a—b

a±3=b±3,α±（χ2+2y）=b±（χ2+2y）

由此得出等式的基本性质1：

等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式.

3、继续观察下面这几个式子，完成下面的填空.

∙/a=h

ab

3a=3b,

4^4

由此得出等式的基本性质2：

等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得的结果仍是等式.

从上面的回忆可知，等式有两条基本性质，那么不等式有没有类似的性质呢？

回答是肯定的，有.我们今天的主要任务就是研究不等式有哪些性质？

二、分组讨论不等式的三个基本性质：

1、仿照下表，分组探讨，找出规律（探讨不等式的性质1）.

不等式的两边都加与原不等式比较不

不等式上（或减去）同一个结果等号的方向是否改

数变了

7>4加上512>9没有改变

一3V4减去7-10<-3没有改变

・・・•••・・・•••

•••••••••…

•・・…・・・・・・

••••••…・・・

通过上面的探讨我们可以得出不等式的性质1：

不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变.

这个性质可以用数学语言表示为：

如果“<b,那么α±c<匕±c；如果4>6,那么α±c>匕±c.

2、仿照下表，分组探讨，找出规律（探讨不等式的性质2）.

不等式的两边都乘与原不等式比较不

不等式以（或除以）同一个结果等号的方向是否改

正数变了

7>4乘以535>20没有改变

-8<4除以4—2Vl没有改变

••••••••••••

•••••••••…

•••…・・・

…•••……

通过上面的探讨我们可以得出不等式的性质2：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

这个性质可以用数学语言表示为：

如果“<b,c>0,那么ac<bc；如果α>8,c>0,那么ac>6c;

3、仿照下表，分组探讨，找出规律（探讨不等式的性质3）.

不等式的两边都乘

与原不等式比较不等号

不等式以（或除以）同一个结果

的方向是否改变了

负数

7>4乘以一5-35<-20不等号的方向改变了

-8<4除以一42>-1不等号的方向改变了

••••••••••••

•・・…・・・.・・

•••……•••

…・•・…・・・

通过上面的探讨我们可以得出不等式的性质3：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

这个性质可以用数学语言表示为：

如果α<b,c<0,那么ac>bc；如果a>6,c<0,那么ac</?c；

三、思考题：

α是任意有理数，试比较54与34的大小.

解：V5>3

.∖5a>3。

这种解法对吗？如果正确，说出它根据的是不等式的哪一条基本性质；如果不正确，请就明

理由.

四、小结：

（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3.

不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变.

不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

（2）能正确应用性质对不等式进行变形.

（3）特别需要注意的事项：当不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，一定要看清是正

数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论.

不等式的基本性质

1、已知实数a、AC在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）.

Il11.

CbO。

Aybd>ab;

B、ac>ab∖

Cybc<ab;

D、c÷⅛>5+Z?.

2、已知△/国中三边为a、6、a且a>6,那么其周长夕应满足的不等关系是（）.

力、36<p<3^;

B、济2b<p<2a+b;

C.2b<p<2（a+Δ）;

∕λ2a<∕K2（a+6）.

3、若πi>n,且则a的取值应满足条件（）.

4、a>0；

B、a<0；

。、5=0；

Aa≥0.

22

4、若且加为有理数，则WR-____bm.

5、同桌中和同桌乙正在对796a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”,

你认为谁的观点对？为什么？

6、根据不等式的基本性质，把不等式245〈4尸1变为x>a或Ka的形式.

7、如图所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和）如果在天平两边的

盘内分别加上相等的祛码c,看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？

1、设a、b、c、d《R、且a>6,c>d,则下列结论中正确的是（）.

ab

力、研d>lΛdB、a-c>b~dC、ac>bdA—>—

dc

2、若a、6为实数、贝∣Ja>6>0是a2>及的（）.

尔充分不必要条件8、必要不充分条件

C、充要条件Λ既非充分条件也非必要条件

3、若L<L<O,则下列结论正确的是（）.

αb

4、a2<b^B、ab<b2a2<abAa>b

4、ua>bn是"a∕>b/成立的（）.

尔必要不充分条件B、充分不必要条

G充要条件D、以上均错

5、若α,h为任意实数且α>h,贝IJ（）.

…2个C、Ig（Q-加>0

、”是“工<的（

6“4>11”）.

a

4充分不必要条件反必要不充分条件

a充要条件A既不充分也不必要条件

7、设则下列不等式成立的是（）.

2ba2

Ayab<b<1B、log1h<logIaVoC>2<2<2Aa<ab<I

22

8,2>1是。(4一匕)<o成立的().

a

A,充分不必要条件以充要条件

a必要不充分条件A既不充分不必要条件

1>不等式的基本性质1：如果a>b,那么a+c____b+c,a~c____b-c.

不等式的基本性质2：如果a>b,并且c>O,那么acbe.

不等式的基本性质3：如果a>b,并且c<0,那么acbe.

2、设a<b,用“<”或">”填空.

(1)a-l___b-l；

(2)a+1____b+1；

(3)2a___2b；

(4)-2a-2b.

3、根据不等式的基本性质，用或填空.

(1)若a—l>b—1,则ab；

(2)若a+3>b+3,则a____b；

(3)若2a>2b,贝IJa___b；

(4)若-2a>-2b,则a—b.

4、若a>b,m<0,n>0,用或“<”填空.

(1)a+m___b+m；

(2)a+n__b+n；

(3)m-a__m-b；

(4)an___bn；

5、下列说法不正确的是()

22

A、若a>b,则ac>bc"(c≠0)；

B、若a>b,则b<a；

C、若a>b,则一a>—b；

D>若a>b,b>c,则a>c.

6、根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a或x>a的形式.

(1)χ-3>l;

(2)3x<l+2x;

(3)2x>4.

1、若x+y>O,avθ,&y>O,则x-y的值（）.

4、小于0B、大于0C、等于0A正负不确定

2、若a>A在①L<L②/>凡③Igd+DRgS?+］）；④2。>2”中，正确的有（）.

ab

/、1个氏2个C、3个久4个

3^己知a、b、C满足c<b<a,且αc<0,那么下列选项中不一定成立的是（）.

正确的不等式有（）.

从1个6、2个G3个〃、4个

5、设α<0,—1<8<0,则α,ah,“〃三者的大小关系为.

6、设A=1+2X4,B=2X3+X2,XeR且XWl,则A8的大小关系为

7、如果一l<α<b<O,则J,',b2,/的大小关系为_________________.

ba

8、设α>O,b>O,则”>8是a—,>匕一」成立的_______条件.

ab

《不等式的解集》

教学目标

1、理解不等式解与解集的意义.

2、了解不等式解集的数轴表示.

教学重难点

重点：区分不等式解与解集的概念.

难点：在数轴上表示不等式的解集.

教学过程

一、创设情景，导出问题

（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前10勿以外的

安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02Ws,人离开的速度为4Ws,那么导火线的长度应

为多少厘米？

（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足够的时间

到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间.）

设导火线的长度应为XC0,根据题意，得

X10

Z

0.02x100-----4

即x>5.

二、探索交流，得出概念

1、想一想：

（1）你能找出几个使不等式x>5成立的X的值吗？

（2）x=5,6,8能使不等式x›5成立吗？

（字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母无它能够取任意数吗？如果不能，它能

取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与

方程解的不同之处.）

能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解.

例如，6是不等式x>5一个解，7,8,9,...也是不等式x>5的解.

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.

例如不等式χ-5≤-1的解集为xW4；不等式x2>0的解集是所有非零实数.

求不等式解集的过程叫做解不等式.

2、议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和x—5W-1的解集分别表示在数轴上,

并与同伴交流.

（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大

小的，让学生用具体实数对应的点加以说明.）

三、练习巩固，促进迁移

1、判断下列说法是否正确：

（1）Λ=2是不等式A÷3<4的解；