2023-2024学年人教A版必修第一册 集合中的元素问题 作业

集合中的元素问题

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一、解答题

1.若集合&={〃,4+1,-3},3={4-3,〃+1,24-1},&8={-3},求实数

【答案】-1

【分析】

按照。一3=—3和2a—1=-3分类讨论求出。，再验证Ac3={-3}是否满足.

【详解】

因为AcB={-3},所以一3三瓦

若。-3=-3,贝。。=0,此时A={0,l,-3},B={-3,1,-1},AcB={-3,1}不符合题意;

若2a-l=-3,则。=一1,此时A={L0,-3},8={-4,2,-3},满足Ac3={-3}.

综上所述：a=-l.

【点睛】

易错点点睛：求出。后要验证Ac8={-3}是否满足.

2.设集合A=尤2+4x=0,xe尺｝,8=卜|无?+2(a+l)x+a。—1=0,无e7?1.

(1)若A=5,求a的值.

(2)若AB=B,求实数a的取值范围.

【答案】(1)«=1；(2){1}.

【分析】

(1)计算得到人={。,7}，根据到A=B,利用韦达定理得到答案.

(2)根据A8=8得到BaA,讨论3=0,B={0},B={-4},3={0,-4}四种情

况分别计算得到答案.

【详解】

(I)A={x|尤2+4x=0,无e/?}={0,-41,

由A=B,知B={x|x?+2(a+l)x+a2-l=O,xe/?!={0,-4}

根据韦达定理得到一2"[:10T解得。=i

(2)A\B=B,A

当3=0时，△=4(a+l)2-4(a2-l)=8o+8<0,即0<-1；

当3={0}时，利用韦达定理得到［；0解得a=-1;

当B={T}时，利用韦达定理得到［I，：；，；；'无解；

当3={0,T}时，由(1)知：«=1；

综上，实数a的取值范围是：{1}

【点睛】

易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：。是任何集合

的子集，所以要分集合3=0和集合3H。两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，

属于中档题.

3.若集合4={彳|办2+法+1=0,k€尺}.

(1)若A={-1,1},求的值;

(2)若4={一1},求a,6的值.

【答案】(1)a=-l,b=0；(2)a=l,>=2或。=0,b=l

【分析】

(1)若4={-1/},则ar?+6无+「0的两个根分别为-1,1,根据韦达定理求得参数值.

(2)若4={-1},分。=0和aw0两种情况进行讨论，从而求得参数值.

【详解】

(1)若4={-1,1},则加+法+1=0的两个根分别为-M,

由韦达、定理可得,彳-1=a-,故。=-1/=0.

8=0

aw0

.fa=01

(2)若4={(-1,贝。，，或一=1，故0=11=2.

也=1a

一一

、a

综上若A={-1},则a=l,Z?=2或a=O,Z?=l

4.已知集合A={x\ax2—3x+2=0}.

(1)若集合A中只有一个元素，求实数Q的值;

(2)若集合4中至少有一个元素，求实数。的取值范围;

(3)若集合4中至多有一个元素，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)4=0或4=2；(2)Q

(3)色―或a—0.

8LX8

【分析】

(1)讨论当a=0时和当存0时对于的条件，列出方程，即可得解；

(2)根据集合A中至少有一个元素，转化为方程a?—3x+2=0至少含有一个根进行

求解;

(3)问题分当。=0时和当今0时两种情况讨论，当存0时，A<0,从而可得答案.

【详解】

2

解：(1)当。=0时，原方程可化为一3x+2=0,得符合题意.

9

当启0时，方程0%2-3了+2=0为一兀二次方程，由题意得，/=9-8a=0,得°=1.

8

9

所以当〃=0或。=3时，集合A中只有一个元素.

O

Qw0,9

(2)由题意得，当AcQ八即〃vj且中0时方程有两个实根，

[△二9一8〃〉0,8

又由(1)知，当。=0或。=之时方程有一个实根.所以。的取值范围是2

8Io.

9

(3)由(1)知，当a=0或时，集合A中只有一个兀素.

O

。w0,9

当集合A中没有元素，即A=0时，由题意得展9-8”。解得嗔.

9

综上得，当介三或〃=0时，集合A中至多有一个元素.

O

5.已知集合&=旧尤2-4x+3=。｝,2=｛尤,2-依+3=0｝.

(1)若=求实数。的值；

(2)若AB=B,求实数"的取值范围.

【答案】(1)4；(2)-2g<a<26或a=4.

【分析】

(1)化为1和3是Y-6+3=0的两个实根可解得结果；

(2)化为BaA后，根据A的子集分四类讨论可解得结果.

【详解】

4=｛小2-4x+3=。｝=｛1,3｝

(1)因为=所以A=3,

所以1和3是ox+3=0的两个实根，

所以l+3=a,即。=4.

(2)因为AB=B,所以31所以8=0或8={1}或3=⑶或8={1,3},

当3=0时，必一招+3=。无解，所以公=/一12<0,即-26<0<2白，

fl—61+3=0

当3=但时，x2_改+3=0有且只有一个实根％=1,所以2s八无解，

[△=〃-12=0

.、19—3〃+3=0

当3={(3}时，/一分+3=o有且只有一个实根左=3,所以20C无解，

[△=〃-12=0

当8={1,3}时，龙2—依+3=0有2个实根尤=1和x=3,所以l+3=a,即a=4.

综上所述：实数。的取值范围是一2石<a<2石或a=4.

【点睛】

关键点点睛：转化为子集关系求解是解题关键.

6.已知集合A={x|fcr?-8x+16=0,左eR,xeR}.

(1)若A只有一个元素，试求实数4的值，并用列举法表示集合4

(2)若A至多有两个子集，试求实数左的取值范围.

【答案】(1)k=0,A={2}；k=l,A={4}；(2){0}[1,-KO).

【分析】

(D当左=0时，易知符合题意，当上片0时，利用A=0即可求出％的值；

(2)由A至多有两个子集，可知集合A中元素个数最多1个，再分左=0和左力0两种

情况讨论，即可求出实数上的取值范围.

【详解】

(1)①当左=0时，方程化为：一8x+16=0,解得x=2,

此时集合人={2},满足题意；

②当上片0时，方程近。-8x+16=0有一个根，

J=<(-8)2-4fcxl6=0,

解得：k-1,

此时方程为尤2-8X+16=0,解得X=4,

二集合A={4},符合题意，

综上所述，左=0时集合A={2}；%=1时集合A={4}；

(2)A至多有两个子集，，集合A中元素个数最多1个，

①当女中0时，一元二次方程履2_舐+16=0最多有1个实数根，

zl=(-8)2-4^xl6„0,

解得左,

②当上=0时，由(1)可知，集合A={2}符合题意，

综上所述，实数上的取值范围为：{0}'[1,心).

【点睛】

本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题.

7.已知全集。=R,A={x\x2+(a-l)x-a<0],8={x[(x-a)(x-6)>0}(o<6).

(1)若eB=求a,b的值；

(2)若—3<。<-1,且(，-l)eeA,求实数。的取值范围.

【答案】(1)a=-l,b=3；(2)。口(-3二一6)5-也-1)

2

【分析】

(1)根据用B=[T，3],结合补集的定义求出集合2,根据一元二次不等式的解集性质

进行求解即可；

(2)根据-3<a<-l,化简集合A的表示，再根据d-1)€即A,结合补集的定义进行

求解即可.

【详解】

(1)因为Q/=[T,3],所以3=(-CO,-1)53,+°O).

一1,3为方程|(元一a)(龙一3=。的两个根，a<b.

a=—l,b=3.

(2)■,—3<a<—1,

A-[1,—a],

/.a2—1>—cia2—1V1,

,a〉-[+非或百或—五<〃<后,

22

■/—3<a<一1,

ae(-3,T；，)u(-72,-1).

【点睛】

本题考查了已知一个集合的补集求该集合问题，考查了已知元素与集合的关系求参数问

题，考查了数学运算能力.

8.设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若xeS,则10-xeS.

（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；

（2）是否存在恰有6个元素的集合S?若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说

明理由；

（3）满足条件的集合S总共有多少个？

【答案】（D答案见详解；（2）存在，且共有4个，答案见详解；（3）31个.

【分析】

（1）当集合S中只有一个元素，则x=10-x,得出集合S即可；有两个元素时，只需两

个元素之和为10即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为10,另外一个元素

为5；

（2）只需选3对和为10的正整数即可；

（3）集合S中元素的个数可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9个，先计算出当集

合S的元素个数为偶数时S的个数，同理可得S中元素个数为奇数的个数，然后则可得

出符合条件的S的总个数.

【详解】

解：（1）若集合S中只有一个元素，则只需满足x=10-x,故x=5,