2023年新高考数学创新题型01 函数与导数（数学文化）（解析版）

2023年新高考数学创新题型微专题（数学文

化、新定义）专题01函数与导数（数学文

化）（解析版）

一、单选题

1.（2022春•辽宁沈阳•高二校联考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点

定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁

伊兹•布劳威尔（LEJBrouwer）,简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点吃,使得

/（⅞）=⅞,那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为”不动点函数”的是（）

A./（x）=2*+XB.f（x）=X2-x+3

2x2-l,x<]I

C./U）=,,D./（x）=-+2x

∣h2-x∣,x>1X

2.（2023•高一单元测试）上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16

步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平

方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是（）

A.ɪB.1C.-D.2

22

3.（2021秋•高一课时练习）圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重

要程度不亚于西方文化中的“黄金比例山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木

构塔式建筑.该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合.已知木塔顶层檐柱

柱头以下部分的高度为46.83米，则应县木塔的总高度大约是（）（参考数据：√2≈1.414）

A.60.22米B.63.23米

C.66.22米D.70.50米

4.（2022秋•江苏扬州•高一扬州中学校考阶段练习）国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝

鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方

形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点

上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为P=336∣,据资料显示

宇宙中可观测物质原子总数约为Q=IoIi",则下列数中最接近数值温的是（）（参考数据：Ig3=0477）

A.IO89B.∣0wC.IO91D.IO92

5.（2021秋•江苏•高一专题练习）据中国地震台网测定，2021年9月16日4时33分，四川省泸州市泸县

发生里氏6.（）级地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为

lgE=48+L5M.据此测算,2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的7.0级地震所释放出的

能量，约是该次泸县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到1;参考数据：√10≈3.16）（）

A.19B.23C.32D.41

6.（2022秋•四川成都・高三校考开学考试）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德・皮尔提出一种能较好地描

述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的"皮尔曲线''的函数解析式可以简化为/（X）=1餐

（P>0,a>l,%<0）的形式.已知f（x）=t∣在r（xeN）描述的是一种果树的高度随着时间x（单位：年）变化

的规律，若刚栽种时该果树的高为1m,经过一年，该果树的高为2.5m,则该果树的高度超过4.8m,至少

需要（）

附：Iog23≈1.585

A.3年B.4年C.5年D.6年

7.（2021秋•江苏南通•高三统考阶段练习）开普勒QK印/”,15711630）,德国天文学家、数学家，他发现了

八大行星与海王星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比，已知天王星离太阳

的平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d,则天王星的公转时间约为（）

A.3802dB.304094C.60818dD.91228”

8.（2021秋•广东东莞•高一校考阶段练习）中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.

据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的

数码摆出：十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示ιπ≡ι∙

,123456789

纵式IIlIIIIIIIlmiTHH

横式一=：≡≡≡J____l__Lɪ

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片H=M表示的结果和下列相同的是（）

6426

A.3∙B.3幅C.81D.2Iog22

9.（2022秋•辽宁朝阳•高一建平县实验中学校考期中）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家

李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数

指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（）

A.f（x）=1,g（x）=x°B./00=忒X£即与8（幻=κ。£2）

C..∙fx,x≥0-------------------

C./（x）=Ix∣与g（%）=<D.f（x）=∖∣Jx+2∙Jx-2,g（x）=∖∣lχ2一4

I-X,X<U

10.（2022秋•山东烟台•高三校考阶段练习）质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对（P

是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将（P是素数）形式的素数称为梅森素数.已

N

知第12个梅森素数为"=2⑵一1，第14个梅森素数为N=26°7-l,则下列各数中与不■最接近的数为（）

M

参考数据：Ig2a0.3010

A.10l4uB.IO142C.W144D.IO145

11.（2022・贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习）辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、

戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、

丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支

纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子’湘配即为呷子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以

此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是（）

A.庚子年B.丙卯年C.癸亥年D.戊申年

12.（2022秋•湖南怀化•高一统考期末）缪天荣（1914-2005）,浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开

拓者.上世纪50年代，我国使用''国际标准视力表''检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现

其中存在不少缺陷.经过3年苦心研究，1958年，他成功研制出“对数视力表”及"5分记录法”.这是一种既符

合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统,使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰;5分记录法”将视

力心和视角α（单位：。设定为对数关系：L=5-lgα.如图，标准对数视力表中最大视标E的视角为10',

则对应的视力为L=5Tgl0=4.0.若小明能看清的某行视标E的大小是最大视标E的）（相应的视角为

2.5'）,取lg2=0.3,则其视力用“5分记录法”记录（）

标准对数视力表

E

əm

ELU

IUEm

≡EUJ

A.3.6B.4.3C.4.6D.4.7

13.（2022∙全国•高三专题练习）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随

温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：Z=Ae-含，其中左为反应速率常

数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度，E（I为反应活化能，A（A>O）为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反

应，若热力学温度分别为《和《时，反应速率常数分别为勺和与（此过程中R与纥的值保持不变），经计算

Ek

一谓T=M,若（=2小则In,=（）

/1

MI

A.—B.MC.√MD.2M

14.（2023・全国•高三专题练习）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得

频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能

量损耗满足传输公式：Δ=32.44+20lgD+201gF,其中D为传输距离，单位是km,尸为载波频率，单位

是MHz,£为传输损耗（亦称衰减），单位为dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB,则传输

距离增加了约（参考数据：lg2≈0.3,lg4≈0.6）（）

A.I倍B.2倍C.3倍D.4倍

15.（2022∙辽宁•抚顺市第二中学校联考三模）一热水放在常温环境下经过，分钟后的温度T将合公式：

7'-ηz=fiy（7i-7;）.其中7；是环境温度，”为热水的初始温度，〃称为半衰期.一杯85□的热水，放置

在25口的房间中，如果热水降温到55口，需要10分钟，则一杯IOon的热水放置在25口的房间中，欲降温

到55口,大约需要多少分钟?（）（lg2≈0.3010,lg3≈0.4771）

A.11.3B.13.2C.15.6D.17.1

16.（2022春•安徽宣城•高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中

有一道两鼠穿墙问题：”今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，

问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一

尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将

墙的厚度改为10尺，则在第（）天墙才能被打穿？

A.3B.4C.5D.6

17.（2022•陕西渭南•统考一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：

C=Wlog式1+1）.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽卬、信道内信号的

平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中-叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可

N

以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比工从IO（X）提升至6000,则C的增长率为（）

N

（lg2≈0.3010,lg3≈0.4771）

A.10%B.16%C.26%D.33%

18.（2022•高一课时练习）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字X的素数个数可以表示为π（x）="∙根

Inx

据欧拉得出的结论，可估计U以内的素数的个数为（）（注：素数即质数，∣ge≈0.4343）

A.2172B.4343C.869D.8686

19.（2022・全国•高三专题练习）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史

料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码

摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为」:三川.

纵式：IIlIllIlllIllllT∏≡

横式：----ɪzɪ旦旦

—

123456789

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则3啕64的运算结果可用算筹表示为（）

ʌ-Il≡III≡∙ɪH⅛

c∙W=ɪd∙ɪ=W

20.（2022秋•河北邢台・高一邢台一中校考阶段练习）17世纪，苏格兰数学加皮纳尔在研究天文学过程中，

为了简化大数运算，发明了对数，对数的思想方法即把乘方、乘法运算转化为乘法、加法运算，从而简化

运算过程.数学家拉普朗斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之

父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙已知Ig2y0.3010,则2κw所在的区间为（）

A.（10l0,103°）B,（1029,103°）C,（103o,1031）D.（103l,1032）

21.（2022秋•北京海淀•高三北大附中校考阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》

中记载了通过加减消元求解〃元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极

高的算法.按照这种算法，求解“元一次方程组大约需要对实系数进行C∙∕（C为给定常数）次计算.1949

年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型''（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算

机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力

而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（）

A.IOa机时B.10」机时C.IO、机时D.1（）6机时

22.（2021秋•陕西渭南•高一统考期中）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是Tl（℃）,空气

的温度是"（℃）,经过，分钟后物体的温度T（℃）可由公式T="+（1-"）e425，求得.把温度是90。C的

物体，放在10。C的空气中冷却f分钟后，物体的温度是50。（2,那么/的值约等于（参考数据：ln3"1.10,

In2≈0.69）（）

A.1.76B.2.76C.2.98D.4.40

23.（2021秋•陕西榆林•高一陕西省神木中学校考阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》

中首次将“力"?4。〃”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此

为彼之函数”.已知集合〃={T,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能

构成从M到N的函数的是（）

A.y=2xB.y=x+2

C.y=2wD.J=X2-I

24.（2021秋•江苏扬州•高三校考期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入

微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质,

—3κ

也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数/（X）=F~~F的部分图象大致为（）

Ine

25.（2023∙全国•高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，

用其名字命名的“高斯函数”：设XWR,用国表示不超过X的最大整数，则y=[χ]称为高斯函数，也称取整

函数，例如：[-3.7]=Y,[2.3]=2.已知/（X）=_£1,则函数y="（x）]的值域为（）

ex+12

A.{O}B.H,0}C.{-2,-1,0}D.H,0,1）

26.（2021•江苏•高二专题练习）我们把分子、分母同时趋近于O的分式结构称为《型，比如：当x→0时，

一的极限即为大型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必

XO

达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：

lim^-ɪɪ=Iim=Iim-=lime,=e0=l'则吧（）

,t→OX.r→0XXTo1x→0X—L

A.0B.ʌ-C.1D.2

27.（2022秋•河南驻马店•高一校考期中）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下

自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题“，其中双曲余弦函数.就是一种特殊

的悬链线函数.其函数表达式为CoShX=C士，相应的双曲正弦函数的表达式为SinhX=C士.设函数

22

“X)=包¥，若实数〃?满足不等式“2m+3)+γ∙(τ√)>0,则〃，的取值范围为()

Coshx

A.(—1,3)B.(-3,1)

C.(-3,3)D.(-co,-3)V√(L+∞)

28.(2022•全国•高三专题练习)高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”

命名的成果就多达IlO个，为数学家中之最.对于高斯函数y=[χ],其中因表示不超过X的最大整数，如

[1.7]=1,[—1.2]=—2,{x}表示实数X的非负纯小数，即{x}=x-[x],如{L7}=0∙7,{-1.2}=0.8.若函数

y={x}-l÷logαx(4>0,且。工1)有且仅有3个不同的零点，则实数。的取值范围是()

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

29.(2022•全国•高三专题练习)十八世纪，数学家泰勒发现了公式SinX=X-《+二-二

3!5!7!

2n-1o2o4o6O2∕J-2

++(-l)n^'———+...，其中“eN”,xeR,若7=1—不+了―77+而一新十,下列选项中

(2n-l)!2!4!6!(2n-2y.

与T的值最接近的是()

A.-cos8B.-sin8C.-cosl8D.-sin18

30.(2022秋•江苏镇江•高三江苏省丹阳高级中学校联考阶段练习)意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜

测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布•伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学

界征求答案.1691年他的弟弟约翰•伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的

XX

数学表达式为双曲余弦型函数："t)=αcosht=α∙Qt三(e为自然对数的底数).当α=2时,记"=/(-2),

`,a2

机=/出，n=∕(l),则p,m,〃的大小关系为()

A.m<p<nB.m<n<p

C.n<tn<PD.p<m<n

31.（2022•天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形

时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图

象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标小\中抽象出一个

如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（）

32.（2022秋•福建厦门•高三厦门双十中学校考期中）纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的

纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617）,而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙

的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如

果物体原来的温度是工（□）,空气的温度是勾（□）,经过，分钟后物体的温度T（口）可由公式

，=410&（7；-ZJ-Iog3（T-4）]得出；现有一杯温度为701的温水，放在空气温度为零下Ion的冷藏室中，

则当水温下降到10口时，经过的时间约为（）参考数据：∣g220.301,Ig3≈0.477.

A.3.048分钟B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟

33.（2022秋•江苏南京•高一江苏省高淳高级中学校考阶段练习）点声源亦称为“球面声源''或"简单声源”，

为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量△乙与传播距离，（单位：米）的关系视为

/=]0]g9（单位：dB）,¾∣g5≈0.7,贝〃从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（）

A.18dBB.20dBC.24dBD.27dB

二、多选题

34.（2022•全国•高三专题练习）17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史

上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪

的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=αχl0"（l≤q<10,"eZ）的形式，两边取常

用对数，则有IgN=〃+lga,现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（）

真数X2345678910

IgX（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

真数X111213141516171819

IgX（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279

A.3K）在区间（⑹，IO5）内

B.2$°是15位数

C.若25°=αxl（Γ（l≤α<10,,"wZ）,则帆=一16

D.若加2（meN*）是一个35位正整数，则加=12

35.（2021秋•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固

定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的

应用.当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推

导出悬链线的方程y=T/+/京，其中C为参数.当C=I时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数

Sinh（X）=和双曲余弦函数CoSh（X）=匕詈.关于双曲函数，下列结论正确的是（）

A.sinh(-x)=-sinh(x)B.(CoSh(X))'=-sinh(ɪ)

C.∞sh(-l)<cosh(2)D.[sinh(x)丁-[cosh(X)'=]

36.(2021秋•浙江湖州•高一校联考期中)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆

周率乃准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准

确地说出该数位上的数字.如果记圆周率乃(=3.14159265358979323846264338327950288...)小数点后第〃位

上的数字为y,则y是关于〃的函数，记为y=∕(")∙设此函数定义域为4值域为8,则关于此函数，下列

说法正确的有()

A.—2eAB.3.14∈B

C./(4)=5D.值域8={xwN∣x<lθ}

37.(2022秋•吉林通化•高一校考阶段练习)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将7加c〃。"”

译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数1930

年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合1,2,4},N={l,2,4,16},

给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是()

A.y=2xB.y=x+2C.>,Hx∣D.y=x2

38.(2022•全国•高三专题练习)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努

利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给

定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德

国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一

般地，设A,8是两个非空的数集，如果按某种对应法则了,对于集合A中的每一个元素X,在集合B中都有

唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到8的一个函数”.下列对应法则/满足函数定义的有()

A./(∣%-2∣)=xB./(X+1)=X2+2X

C.U=XD./(Λ2+2x)=∣x+l∣

39.(2022秋•广西柳州•高一统考期中)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极

图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义：图象

能够将圆。的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆。的一个“太极函数”，则下列结论正确的是()

A.对于任意一个圆。，其“太极函数”有无数个

B.函数/(X)=V可以同时是无数个圆的“太极函数”

C.函数/(x)=L可以是某个圆的“太极函数”

X

D.函数y=/(%)是“太极函数”的充要条件为函数y=/(χ)的图象是中心对称图形

三、填空题

、ι,x∈(2

40.(2022・高一课时练习)十九世纪德国数学家狄利克雷(。万次回)提出了“狄利克雷函数“D(x)={ʌC

O,XeoκQ

“狄利克雷函数''在现代数学的发展过程中有着重要意义.根据“狄利克雷函数''求得

£＞仅(2+D(√^))÷D(√3+D(3)))=.

41.(2022・全国•高一假期作业)2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展,

考古人员在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，碳14

测年法是根据碳14的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原子数W随时间屋单位：

年)的变化规律是N=N。2一套，则该样本中碳14的原子数由M)个减少到个个时所经历的时间(单位：

年)为.

42.(2021春•福建南平•高二校考期中)LOgiStiC模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学

者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑺C的单位：天)的Ogis"c模型：

Kt)=-~金就，其中K为最大确诊病例数•当/(f*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则r*约为

.(参考数据：ln!9≈3)

43.(2021秋•江苏•高一专题练习)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与

齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而

获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中(大者为

08

胜),已知我方的三个数为a=。1」,⅛=Iog30.8,C=3∙,对方的三个数以及排序如表：

第一局第A⅛⅛一—.局∣=f第三局

对方30.90.027

则我方必胜的排序是.

44.(2022•全国•高三专题练习)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最终

找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件.他的朋友布里格斯构造了现在常

用的以10为底的常用对数Igx,并出版了常用对数表，以下是部分数据（保留到小数点后三位），瑞士数学

家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”，根据下表中的参考数据和指对数之间关系，判断下面的结论，

其中正确的序号是.

①4∣°在区间（ιoFo7）内；

②250是15位数：

③若y20=k×ιora（i<k<io,加∈z）,则m=-9；

④若，/°0（〃2eN,）是一个70位正整数，则加=5.

参考数据如下表：

真数X235711131719

IgX（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279

45.（2021秋•河南信阳•高三统考阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，

也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（l,-√ŋ出发，沿圆周

按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过，秒后，水斗旋转到P点，设点尸的坐标为（χ,y）,其

纵坐标满足y="f）=Rsin（0f+9）[≥O,0>O,∣e∣<]],则当，e[0,/"）时，函数/⑺恰有2个极大值，则加

的取值范围是.

46.（2022∙江苏连云港•模拟预测）建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组合墙是指带有门或

窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为S-邑，…，S,,（单

位：H?）,其相应的透射系数分别为弓，%，…,τ,l,则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均

值7确定：T=工厂，于是组合墙的实际隔声量（单位：dB）为R=41nL.已知某墙的透射

-U=3∣+~+—h>r

系数为木，面积为20∏Λ在墙上有一门，其透射系数为贵,面积为2n√,则组合墙的平均隔声量约为

dB.(注：e0∙693≈2,el∙609≈5)

47.(2022春•河南安阳•高二统考阶段练习)德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔

尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为g的小正方形，保留靠角的4个，删除

其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其

余正方形删除；以此方法继续下去，经过〃次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过表,

则至少需要操作的次数为.(lg2=0.3010,Ig3=0.4771)

48.(2022∙全国•高一专题练习)1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造

过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间O"平均分成三段，去掉中间的一段，

12

剩下两个闭区间和第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩

下四段闭区间：［0.：］,片,与，4，。，如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三

2021

分康托集.若经历〃步构造后，不属于剩下的闭区间，则”的最小值是.

49.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第一中学校校考期中)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学

里一个非常重要的不动点定理，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔CLEJBrouwer),简

单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数/(x),存在％,使/(%)=%，那么我们称该函数为“不

动点”函数，⅞为函数的不动点.若/(f(X)-X2+χ)=/(χ)-χ2+x,则/(x)的不动点为.

四、解答题

50.(2021・全国•高一专题练习)20世纪30年代，里克特(C.FRichter)制定了一种表明地震能量大小的

尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就

是我们常说的里氏震级M,其计算公式为：M=IgA-IgA),其中，力是被测地震的最大振幅，4是“标准

地震''的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.

（1）假设在一次地震中，一个距离震中IOO千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是

0.001,计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？

（以下数据供参考：lg2≈0.3010,lg3≈0.4770）

51.（2022秋•广东中山•高一统考期末）中国茶文化博大精深，小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶

叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在

常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是4,环境温度是外,则经过时间，（单位：分）后

物体温度。将满足：e=%+（q-%）•"“，其中A为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得

到20OmI初始温度为98口的水在19□室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：

从98口下降到90」所用时间1分58秒

从98□下降到85」所用时间3分24秒

从98口下降到801所用时间4分57秒

（1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间r（单位：分）关于冷却水温6（单位：口）的函数关系，并选取一组

数据求出相应的％值（精确到0.01）.

（2）“碧螺春”用75口左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下，20OmI水煮沸后在19口室

温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线

上，并说明理由.

A.5B.7C.10

（参考数据：In79=4.369,In71=4.263,ln66=4.190,ln61=4,111,In56=4.025）

52.（2022秋•江苏苏州•高一统考阶段练习）“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种

花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽毫州的诗句，毫州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.毫州自

商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了毫州

医药的发展，到明、清时期毫州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都''之首.毫州建有全球规模最大、设

施最好、档次最高的“中国（毫州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.

某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021

年的价格浮动最大的一个月内(以30天计)日平均销售单价M(X)(单位:元/千克)与第X天(l≤x≤30,xeM)

的函数关系满足M(X)=£+20(&为正常数).该中药材的日销售量N(X)(单位：千克)与X的部分数

据如下表所示：

X4102030

N(X)

149155165155

已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.(日销售收入=日销售单价X日销售量)

⑴求女的值；

(2)给出以下四种函数模型：①N(X)=优+。，②N(X)=a(x—20尸+6,③N(X)=α∣x-20∣+b,④

N(X)="Jog/,请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日

销售量N(X)与X的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入/(x)(单位：元)的最小值.

专题01函数与导数(数学文化)

一、单选题

1.(2022春•辽宁沈阳•高二校联考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点

定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁

伊兹•布劳威尔简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数/(工)存在一个点％,使得

QL.E.J.BrOmVe4,

那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为"不动点函数''的是()

/(⅞)=x0,

A.f(x)=2x+xB./(X)=X2-X+3

2X2-l,x≤11

C./U)=D.f(x)=-+2x

∖hl-x∖i,x>ι1X

【答案】C

【分析】根据题意逐个解方程判断即可

【详解】解：对于A,由f(x)=x,得2'+X=X,即2、=0,方程无解，所以A不符合题意，

对于由得方程无解，所以不符合题意，

B,f(x)=x,Vr+3=χ,β∣J√+3=0,B

对于C,由/(x)=x,得当x≤l时，2x^-∖=x,BP2√-x-l=0,解得X=I或x=-g,所以此函数为“不动

点函数”，所以C正确，

对于D,由F(X)=X,得,+2X=X,即J+]=。，方程无解，所以D不符合题意，，

X

故选：C

2.(2023•高一单元测试)上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16

步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平

方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—250平方步之间，则这块田地的亩数是()

A.ɪB.1C.-D.2

22

【答案】B

【分析】先求出总的面积为240(平方步)，再转化为亩数为∣^,∙j之间，对照四个选项，即可得到正确答

案.

【详解】总的面积为15x16=240(平方步).

240240246

因为一亩约在200—250平方步之间，所以转化为亩数为之间，即之间，对照四个选项,