2024届五年高考数学真题分类训练：四 三角函数与解三角形

专题四三角函数与解三角形

考点14三角函数的概念、同角三角函数的基本关

系、诱导公式与三角恒等变换

题组

一、选择题

1+V5

1.[2023新高考卷II,5分]已知a为锐角,cosa=--,---则sin］=(D)

4

A中B中C3-VsD.X

44

2

3—V56-2V5

［解析］cosa==l-2sin2-,得siM三=（亨），又a为

42816

锐角，所以sin±>0,所以sin±=3且，故选D.

224

2.［2023新高考卷I,5分］已知sin(a-0)=工，cosasin0=',则

36

cos(2(z+2夕)=(B)

A.-7B.1iC.--1D.-7-

9999

sinacosB—cosasinB=-,.

i3所以sinacos/?=二，所以

(cosasin/?=-,2

sin(a+S)=sinacos0+cosasin=-+-=-,所以cos(2a+20)=1—

2sin2(a+夕)=1—2x(|)=,故选B.

3.［2022新高考卷11,5分］若sin(a+6)+cos(a+0)=2A/2COS(a+

sinp,则(C)

A.tan(a—S)=1B.tan(a+£)=1C.tan((z-0)=—1D.tan((z+£)=

-1

［解析］sin(a+S)+cos(a+£)=V2sin(a+夕+；)=2V2sinR-cos

(a+；),所以sin(a+cos0+sin0cos(。+：)=2sin0cos(a+：),整理

得sin(a+cos0—sinpcos(a+：)=0,即sin(a+：-0)=0,所以a—

P+：=/nr,fcEZ,所以tan(a-0)=tan(kn—

4.［2021新高考卷I,5分］若tan0=-2，则四必等等=(C)

sin3+cos3

AA.--6B「|C-1D1

5

［解析］解法一因为tanI,所以喘胃sin0(sin0+cos0)2

sin0+cos0

sin20+sin0cosQtan20+tan6

sin0(sin0+cos0)=詈=W・故选c-

sin20+cos20l+tan20

解法二因为tan6=—2,所以角。的终边在第二、四象限，（提示：根据正切

值的正负，确定角。可能所在的象限）

.2

sin0win1Q7—^―.

“或V5'所以sin6(l+sin28)sin8(sin0+cos0)2

所以i以1

cos0Q=—^=cose夕-一/sin0+cos0sin0+cos0

sin0(sin0+cos6)sin20+sin6cos0=---=|.故选C.

5.［2021全国卷乙,5分］cos2"—cos2需=(D)

A*

BTC-TDT

［解析］因为cos工=sin管一工）=si.n—TT,（注意到工+工=5,所以可灵活运

12

用诱导公式化为同角）

所以Cos2^—cos2,=cos2号—sin2号cos(2x自=cos^=?.故选D.

6.［2021全国卷甲，5分］若aE(0,,tan2a-C0Sg，则tana=(A)

2-sina

A-f

BTC-TD-v

2sinacosa2sinacosa

［解析］因为tan2a=黯，且tan2a=,所以

l-2sin2a2-sinal-2sin2a

cosa1V154

，由aW他5得cosaW0,解得sina=-,cosa——，tana=

2-sina44

sina=票故选A.

cosa

7.［2020全国卷II,5分］若a为第四象限角，则（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

［解析］由题意，知一1+2kn<a<2/cn(fceZ),所以—TI+4/CIT<2a<

4/CTT(/CGZ),所以cos2a<0或cos2a>0,sin2a<0,故选D.

【速解】当a=一“时，cos2(z=0,sin2a=-1排除A,B,C,故选D.

49

8.［2020全国卷III,5分］已知2tan6—tan(0+?)=7,则tan6=(D)

A.-2B.-1C.1D.2

［解析］由已知得2tan6-篝营=7,得tan0=2.

9.［2020全国卷I,5分］已知aG(O,TT)，且3cos2a—8cosa=5，则sina-

(A)

A.—B.-C.-D.—

3339

［解析］3cos2a—8cosa=5,.­13(2cos2a—1)—8cosa=56cos2a—

8cosa—8=0,.­,3cos2a_4cosa-4=0，解得cosa-2(舍去)或cosa—

—|.•••aEsina—V1—cos2a=.故选A

10.［2019全国卷I,5分］tan255°=(D)

A.-2-V3B.-2+V3C.2-V3D.2+V3

坦+i

［解析］tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=f=2+

V3,故选D.

11.［2019全国卷II,5分］已知aG(0,；),2sin2a-cos2a+1,则sina=

(B)

A.-B.—C.—D.—

5535

［解析］由2sin2a=cos2a+1,得4sinacosa=1—2sin2a+1,即

2sinacosa=1—sin2a.因为aE(。()，所以cosa=V1—sin2a,所以

2sinaVl—sin2a=1—sin2a,解得sina=日，故选B.

二、填空题

12.［2023全国卷乙，5分］若,tan0=-，则sin0—cos6=

［解析］由,解得5「故sin6-

sin20+cos20=1,

13.［2022浙江，6分］若3sina-sin夕=V10，仇+夕=］,则sina=

3V104

_,cos2p=—.

FT-尸5

［解析］因为a+P=；,所以夕=］-a,所以3sina—sin£=3sina—

sin(；-a)=Ssina—cosa=V10sin(a-g)=V10,其中sincp=

,coscp~~~~~.所以a—0=5+2/cn,kE.Z9所以a=鼻+9+2/CTC,kE.

Z,所以sina=sin(］+9+2/CTI)=COS(P=誓，左£2.因为$也夕=

3sina—V10=—噂,所以cos2夕=1—2sin2jff=1—|.

14.［2021北京，5分］若尸(cos6,sin0)与Q(cos(9+Jsin(0+&关于y轴

对称，写出一个e的值处(答案不唯一).

TZ

［解析］由题意可得cos6=—cos(9+5)，sin0=sin+：)，贝U。=2/CIT+

n-(e+?)6=察+Mi,kEz，可令k=0,贝！Je=胃,故e的一个值为磬.

\6/121Z1Z

15.［2020江苏，5分］已知siM偿+a)=|，则sin2a的值是:.

［解析］因为Sin2(2+a)=|,所以1cosg+2a)=|,1+s：2a=|，得S也2a=(.

16.［2020浙江，6分］已知tan0=2，则cos20=二^,tan(9—：)=：.

［解析］解法一因为tan0=2,所以sin0=2cos6,由sin2。+cos20=1可

知，Sin2e=g,所以cos2e=l—2sin2e=—/tan(。一£)=黑=*

1

3.

cos20-sin20_l-tan20

解法二因为tan9=2所以cos20=cos20—sin20

cos20+sin20l+tan20

1-4tan6-l_2-1_1

1+41+tan0-1+2—3

17.［2020北京,5分］若函数f(%)=sin(%+g)+cos%的最大值为2,则常数卬

的一个取值为工(符合2Mi+JkeZ都可以,答案不唯一).

［解析］易知当y=sin(x+0),y=cos%同时取得最大值1时，函数/(%)=

sin(%+0)+cosx取得最大值2,故sin(%+0)=cosx,则0=］+2ku,kE

Z,故常数0的一个取值为(

18.［2019全国卷I,5分］函数/(%)=sin(2%+当)—3cos%的最小值为二.

［解析］f(汽)=sin(2光+—3cosx=—cos2x—3cosx=1—2cos2%—3cosx=

-2(COSK+［)+g因为cosXe,所以当cos%=1时，/(%)取得最

小值，/(%)min=-4.

19.［2019江苏，5分］已知需目=—I，则5也（2/+；）的值是^.

\4/

［解析］解法一品与tana(l-tana)—|,解得tana=2或tana=一1,当

tana+1

1-tana

2sinacosa2tana4cos2a-sin2a

tana=2时,sin2a=—；----=-,cos2oa=­--------=

sin*2a+cos2atanza+l5sinza+cosza

匚,止匕时sin2a+cos2a=二，同理当tana=一工时，sin2a=

tan2a+l553

—|,cos2a=，此时sin2a+cos2a=|,所以sin(2a+：)=-y(sin2a+

cos2a)=—.

」io

tanctsinacos(a+v)2rt/TT\2/

解法二一彳―示=-----7一鼠=——，则sinacos(cz+-)=--cosasin(a+

tan(a+少cosasin(a+^J3V4/3\

，又芋=sin[(a+-仇]=sin(a+；)cosa—cos(a+sina=

|sin(a+B)cosa,贝！Jsin(a+cosa=哈，则sin(2a+习=sin[(a+习+

1.X,TTx,(,.1./,Tt\13V2V2

a\=sinfa+-jcosa+cosa+—sina=-sina+-cosa=-x——=—.

」v4y\473\4731010

三、解答题

20.[2019浙江，14分]设函数/(%)=sin%,xeR.

(I)已知ee[o,2ii),函数/o+0)是偶函数，求e的值；

[答案]因为/+0)=sin(%+0)是偶函数，

所以8=^+fcn,fcGZ,

所以cos0=0.

又ee[O,2TT)，因此e=]或等.

(II)求函数y=[/(%+fj)52+[/(久+g』2的值域.

[答案]y=[f(x+「)]2+[f(x+9]2

=sin2(%+§+sin2(%+

1-cos(2x+gl-cos(2x+?

=1—-(―cos2%--sin2%)

2\22)

=1—Ycos(2汽+.

因此，函数的值域是[1—今1+'.

考点15三角函数的图象与性质

题组一

一、选择题

1.［2023天津，5分］已知函数/(%)图象的一条对称轴为直线4=2,7(%)的一个

周期为4,则/(久)的解析式可能为(B)

A./(%)=sin(1汽)B./(%)=cosC./(%)=sin(:汽)D./(%)=

cos(")

［解析］对于A,/(%)=sin管％),最小正周期为答=4,因为/⑵=sinn=

0,所以函数/(%)=5也仁久)的图象不关于直线％=2对称，故排除A；对于

B,/(%)=cos6x),最小正周期为争=4,因为/⑵=COST!=-1,所以

函数/(无)=cose％)的图象关于直线％=2对称，故选项B符合题意；对于

C,D，函数y=sin《％)和y=cos《％)的最小正周期均为答=8,均不符合

4

题意,故排除C,D.综上，选B.

2.(2023全国卷乙，5分)已知函数/(%)=sin(a%+夕)在区间g,竽)单调递

增,直线%=:和%=§为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，贝行(一工)=

(D)

A.--B.--C.-D.—

2222

［解析］由题意得卜空=斗-；，解得a=2,易知久=3是/(%)的最小值点，

260366

所以UX2+(p=—+2fcir(/ceZ),得p=—+2/CTC(JCeZ),于是/(%)=

626

sin(2x+詈+2/CTT)—sin(2%+詈)，f(一工)=sin(-x2+=sing=

与，故选D.

3.［2022浙江，4分］为了得到函数y=2sin3久的图象，只要把函数y=

2sin(3x+§图象上所有的点(D)

A.向左平移段个单位长度B.向右平移与个单位长度

C.向左平移三个单位长度D.向右平移三个单位长度

1515

［解析］因为y=2sin(3x+1)=2sin［3(x+自］，所以要得到函数y=sin3x的

图象，只要把函数y=2sin(3%+§的图象上所有的点向右平移2个单位长

度，(易错：平移时注意确定平移方向与单位长度)

故选D.

4.［2022全国卷甲，5分］将函数/(%)=sin(3K+§(3>0)的图象向左平移］

个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则口的最小值是(C)

A.-B.-C.-D.-

6432

［解析］记曲线C的函数解析式为gO),则g(%)=sin®(%+］)+堂=sin［o)为+

ga+E)］.因为函数g(%)的图象关于y轴对称，所以三3+?=Mr+

(fcGZ),得3=2k+1(kGZ).因为3>0,所以3min=1•故选C.

5.［2022北京，4分］已知函数f(%)=cos2%—sin2%,则(C)

A.f(%)在(-；,-：)上单调递减B.f(%)在(-上单调递增

C./(%)在(0()上单调递减D.7(%)在(4工)上单调递增

［解析］依题意可知/(%)=cos2%—sin2%=cos2%,对于A选项，因为％G

所以2%E(―u,—§,函数/(%)=cos2%在(—］,—§)上单调递

增，所以A选项不正确；对于B选项，因为％C(一玄沙所以"e(一建)，

函数/Q)=cos2%在(-%卷)上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因

为％G(0,(),所以2%G(0,g),函数/(%)=cos2%在(0,(上单调递减,所

以C选项正确；对于D选项，因为“C&工)，所以函数/(%)=

cos2%在(2，器)上不单调，所以D选项不正确.故选C.

【速解】易得/(%)=cos2x,它的图象是将y=cos%的图象的横坐标缩短到原

来的］得到的.

因为y=COS久在(O,TT)上单调递减，在(一TT,0)上单调递增，所以/(%)=cos2%

在(0()上单调递减，在(-；,0)上单调递增，且其最小正周期为n,所以A,

B,D错误，C正确，故选C.

6.［2021新高考卷I,5分］下列区间中，函数/(%)=7sin(x—3单调递增的

区间是(A)

A(呜)B.&n)C«W)»得,2U)

［解析］解法一令--+2Ml<%--<-+2/CTC,kEZ,得--+2/CTT<x<—+

26233

2/nr,kGZ.取k=0,则冶W%W州.因为(0,印冶，等,所以区间(0弓)

是函数/(%)的单调递增区间.故选A.

解法二当0<%<：时，—］<.所以/(%)在(0()上单调递增，故A

正确；当广工<n时，］<%—即<^，所以/(久)在(”)上不单调，故B不

正确；当TT<%<乎时，詈<%—汴等，所以/(%)在N阳上单调递减，故

C不正确；当:<%<2ir时，詈<%—方〈詈，所以/(%)在停,2同上不单

调，故D不正确.故选A.

【速解】/(%)=7sin(x—§的图象是将y=7sin%的图象向右平移蓝个单位

长度得到的.因为y=7sin%的一个增区间为(―£，，所以易得(03)是

/(%)=7sin(x-§的一个增区间.故选A.

7.［2021全国卷乙，5分］函数/(久)=sin：+cos：的最小正周期和最大值分别

是(C)

A.3TT和鱼B.3TC和2C.6n和/D.6n和2

［解析］因为函数/(%)=sin|+cos|=V2dsing+弓cos：)=V2(singeos：+

cos|sinE)=V2sin(：+：)，

所以函数/(%)的最小正周期T=竽=6n,最大值为四.故选C.

3

【方法技巧】一般地，关注以下结论在解题中的运用，可提高解题的速度和准

确性：sinx±cosx=V2sin('士,V3sinx+cosx=2sin(%±§),sinx+

V3cosx=2sin(%±］).

8.［2021全国卷乙，5分］把函数y=/(%)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;

倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移;个单位长度，得到函数、=

sin(%-9的图象，则/(%)=(B)

A.sin(--—)B.sin(-+—)C.sinf2%--)D.sinf2%+—)

\2127\2127k12/V127

［解析］依题意，将、=sin(%-§的图象向左平移g个单位长度，再将所得曲线

上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到/(%)的图象，所以y=

/什、将其图象向左平移微个单位长度/

sin(%—-J---------------------------->y=sinyx+—J的图象

所有点的横坐标扩大到原来的2倍

------------------------------->/(x)=sin(1+S)的图象•

9.［2021北京，4分］已知函数/(%)=cosx—cos2x,则该函数(D)

A.是奇函数，最大值为2B.是偶函数，最大值为2

C.是奇函数，最大值为9D.是偶函数，最大值为：

［解析］因为无eR,/(—%)=cos(—%)—cos(—2%)=cosx—cos2x=/(%),所以

函数/(%)=cosx—cos2x为偶函数.

1、29

(COS%—］)+手,当且仅

当cos第=：时，f(x)取得最大值9,所以/(工)的最大值为晟.故选D.

488

【速解】因为偶函数+偶函数=偶函数，所以排除A,C；易知当cos%=l

时，cos2%W,故函数/(无)最大值取不到2,排除B.故选D.

10.［2019全国卷11,5分］若石--,x=—是函数/(%)=sin0)%(0)>0)两

424

个相邻的极值点，则3=(A)

31

A.2B.-C.1D.-

22

［解析］依题意得函数/(%)的最小正周期T=詈=2X(苧—§=TT,解得3=

2,选A.

11.［2019全国卷II,5分］下列函数中，以;为周期且在区间单调递增的

是(A)

A./(%)=|cos2x\B./(%)=|sin2x\C./(%)=cos|x|D./(%)=sin|x|

［解析］A中，函数/(%)=|cos2%|的周期为:，当%€仁，］)时，2%C&TC),

函数/(%)单调递增，故A正确；B中，函数/(无)=|sin2%|的周期为］,当久G

时，2%C(Q),函数/(%)单调递减，故B不正确；C中，函数/(%)=

cos|%|=cos%的周期为2n,故C不正确；D中，/(%)=sin|%|=

{-sin^%<0由正弦函数图象知，在％20和％<0时，/(%)均以如为周

期，但在整个定义域上/(久)不是周期函数，故D不正确.选A.

12.［2020新高考卷I,5分］(多选题)如图是函数y=sin(ax+⑴)的部分图

象，贝ljsin(3%+夕)=(BC)

A.sin（%+；）B.sinQ—2xjC.cos（2%+£）D.cos（弋一2%）

［解析］由题图可知，函数的最小正周期T=2得—印=n，•喘=r,3=±2.

不妨取a>0，则3=2,y=sin（2x+cp），将点0）代入得,sin（2x£+0）=

02x^+cp=2/cir+IT,/CGZ，即R=2/CIT+g,/ceZ,故y=sin（2x+g）.

由于y=sin（2x+=sin［ir—（2x+詈）］=sin4—2%），故选项B正确；y=

sinQ—2%）=cos碎—Q—2%）］=cos（2x+，选项C正确；对于选项A,当

TT271

%?时,sinC+弓）=1H0,错误；对于选项D,当％=1产=整

6\63/212

时，cos偿-2x瑞）=1工-1,错误.综上，选BC.

二、填空题

13.［2022北京，5分］若函数/（%）=Asin%—百cos%的一个零点为（则4=

上/图7・

［解析］依题意得/（；）=4*J一旧X：=0,解得4=1，所以/（%）=sin%-

V5cosx=2sin（第一小，所以/=2sin忌一：）=—V2.

14.(2022全国卷乙，5分)记函数/(%)=COS(MT+歹)(3>0,0<p<it)的

最小正周期为T.若/(T)=?,x=^为/(%)的零点，则a的最小值为3.

［解析］因为T-—(―)="，所以COS(2TT+p)=f，即cos卬=".又0<(p<

，所以3=%因为％=2为/(久)的零点，所以白山+^=^+^^^6Z),解得

1T69962

a=9/c+3(/cCZ).又口>0,所以当k=0时，3取得最小值，且最小值为3.

15.(2020全国卷HI,5分)关于函数/(%)=sin%+有如下四个命题：

①/(久)的图象关于y轴对称.

②f(x)的图象关于原点对称.

③/(%)的图象关于直线％=5对称.

④/(%)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是②③.

［解析］由题意知/(%)的定义域为｛为|%kn,keZ),且关于原点对称.又

/(一%)=sin(-x)+—7—=-(sin%+/一)=-7(%),所以函数/(久)为奇函

数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题.因为%)=

/一=/(%),所以函数/(%)的图象关于直线％=

sin(u-%)+si.n(二ii%)=sin%+sinx

］对称，③为真命题.当sin%<0时，/(%)<0,所以④为假命题.

16.［2019北京，5分］函数/(%)=sin22x的最小正周期是1.

［解析］：/(久)=sin22x=,•••/(%)的最小正周期T=芋=，

242

三、解答题

17.［2021浙江，14分］设函数/(%)=sin%+cos%(%ER).

(I)求函数y=[/(%+])]2的最小正周期；

[答案]因为/(%)=sinx+cosx,

所以/(%+])=sin(%+/)+cos(%+/)=cos%—sin%,

所以y=[/(%+1)]?=(cosx—sin%)2=1—sin2%.

所以函数y=[f(x+])]2的最小正周期T=等=冗.

(II)求函数y=/(%)/(%*)在[0,，上的最大值.

［答案］/(久一9=sin(%-?)+cos(x—=V2sinx,

所以y=f(x)f(%_：)=V2sinx(sinx+cos%)=V2(sinxcosx+sin2%)=

V2Qsin2x—71cos2x+=1)=sin(2x—

22+今

当xW［0弓］时，2汽一-GH，%

4

所以当2%-，即％=詈■时，函数y=/(%)/(%-习在［。门上取得最大

值，Mymax=1+y.

题组二

一、选择题

1.［2023全国卷甲，5分］函数y=/(%)的图象由函数y=cos(2x+§的图象向

左平移J个单位长度得到，则y=/(%)的图象与直线y=；尤-;的交点个数为

622

(C)

A.1B.2C.3D.4

［解析］把函数y=cos(2%+2的图象向左平移:个单位长度后得到函数/(%)=

cos［2(%+%)+1-cos(2x+］)=-sin2x的图象.作出函数/(%)的部分图象

和直线y=*-［如图所示•观察图象知，共有3个交点.故选C.

2.［2022新高考卷I,5分］记函数/(久)=sin(3%+：)+>°)的最小正周

期为T.若曰<T<n，且y=/(%)的图象关于点停,2)中心对称，则/信)=

(A)

35

A.1B.-C.-D.3

22

［解析］因为?<T<7T,所以？<-<TT,解得2<3<3.因为y=fix)的图

33to

象关于点停,2)中心对称，所以b=2,且5山(亨3+；)+6=2,即

sin(―a+当=0,所以邓to+-=fcn(/ceZ)，又2<a<3,所以空<—o)+

\24/2442

耳,所以军a+T=4",解得3=1,所以/(%)=sin(|x+：)+2,所

4424z\Z4/

以，(5)=s'11ex3+：)+2=sin号+2=1.故选A.

3.［2022全国卷甲，5分］设函数/(%)=sin(3%+§在区间(0,TT)恰有三个极值

点、两个零点，则3的取值范围是(C)

A」|为D.《争

［解析］由％G(0,n),得s+§•根据函数/(%)在区间(0,n)恰有三

个极值点，知Fcna+Jw?,得?<3根据函数/(久)在区间(0,n)恰

23266

有两个零点，知2“<1X60+-<3TC,得三G).综上，&)的取值范围为上<

33<<3-6

,8

3v.

4.［2022天津，5分］已知/(%)=|sin2x,关于该函数有下列四个说法：

①/(%)的最小正周期为21T;

②/(%)在［-：，m上单调递增；

44

③当％G［」,勺时，/(%)的取值范围为;

6344

④/(无)的图象可由g(£)=卜也(2%+9的图象向左平移/个单位长度得到.

其中，正确说法的个数为(A)

A.1B.2C.3D.4

［解析］因为/(久)=|sin2%,所以/(久)的最小正周期T=y=n，所以①错误；

当％C［—%：时，2%G［-p^］,所以函数/(%)=/in2%在上单调递

增，所以②正确；

当％C［—巳三时，2%£［—，?］,所以sin2%C［―£1］,所以函数/(无)=

6333Z

；sin2%的值域为［―,所以③错误；

242

将g(x)=；sin(2久+»的图象向左平移？个单位长度后，其图象对应解析式为

y=3sin［2(%+£)+：］=|sin9％+］)=gcos2x丰/(%),所以④错误.

综上，正确说法的个数为1,故选A.

5.［2019天津,5分］已知函数/(%)=i4sin(a)x+卬)(4>O,o>>0,\(p\<IT)是奇

函数，且/(久)的最小正周期为TT,将y=/(%)的图象上所有点的横坐标伸长到

原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若=遮，则

信)=(0

A.-2B,-V2C,V2D.2

［解析］由/(%)为奇函数可得w=GZ)，由|伊|<n,得(P-0，又/(%)的最

小正周期为TT，所以詈=n,o>=2.所以/(久)=Asin2%.所以g(%)=Asin%.由

g(；)=Asin；=V2,得A=2，所以/(%)=2sin2x，故/管)=2sin亨=V2.

【方法技巧】若f(%)=4sin(3］+>)(%GR)为奇函数,则g=kir(kGZ),若

f(x)-i4sin(a)x+(p)(xER)为偶函数，则夕—ku+^(kEZ).

6.［2019全国卷I,5分］关于函数/(%)=sin|x|+|sinx\有下述四个结论：

①/(%)是偶函数

②/(%)在区间(Q)单调递增

③/(%)在|-1T,1T］有4个零点

④/(%)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是(C)

A.①②④B.②④C.①④D.①③

［解析］解法一：/(一%)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx\=/(%)，：./(%)

为偶函数，故①正确；当］<%<71时，/(%)=sin%+sinx-2sinx,：•/W

在单调递减，故②不正确；/(久)在［-殖河的图象如图所示，由图可知函

数/(%)在［-叫a］只有3个零点，故③不正确；

y

*“

y-sin|x|与y=|sinx\的最大值都为1且可以同时取到，；./(%)可以取到最

大值2,故④正确.综上，正确结论的序号是①④.故选C.

解法二,•,/(—%)=sin|—%|+|sin(—x)|=sin|x|+|sinx\—/(%),/(%)为偶

函数，故①正确，排除B；当］<%<a时，/(%)=sin%+sinx-2sinx

/(%)在&TT)单调递减，故②不正确，排除Ay=sin|%|与y=|sinx|的最大

值都为1且可以同时取到，・•./(%)的最大值为2,故④正确.选C.

7.［2019全国卷III,5分］设函数/(%)=sin(口%+§⑷>0),已知/(%)在

［0,2n有且仅有5个零点.下述四个结论：

①/(%)在(0,2n)有且仅有3个极大值点

②/(%)在(0,2n)有且仅有2个极小值点

③/⑺在(0*)单调递增

④3的取值范围是件，靠

其中所有正确结论的编号是(D)

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

［解析］画出函数/(%)的大致图象，如图所示，根据题意知，xA<2u<xB,根

据图象可知函数/(久)在(0,2TT)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会

有3个极小值点，所以②错误；根据/w211<出，有等工2n〈等，得甘4

50)50)5

3〈柒所以④正确；当%时，^<a)x+3詈+9因为

荒，所以詈+X箸所以函数/(%)在(0*)单调递增，所以③正确.故选

D.

8.［2022新高考卷II,5分］(多选题)已知函数/•(%)=sin(2x+0)(0<8<

n)的图象关于点得，0)中心对称，则(AD)

A./(%)在区间(0泻)单调递减B./(%)在区间?詈)有两个极值

点

C.直线％=?是曲线y=/(%)的对称轴D.直线y=第一％是曲线y=/(%)的

62

切线

［解析］因为函数/(%)的图象关于点管,0)中心对称，所以sin(2x曰+卬)=

0,所以詈+(P=kn(kEZ),结合。<W<1T,得(P=y,所以/(%)=

sin卜％+野.

对于A,当为€(0,工)时,2%+^G(y,y),所以函数/(%)在区间(O,\)单

调递减，故A正确；

对于B,当％C(-2等)时，2%+yG(py),所以函数/(%)在区间

(—*詈)只有一个极值点，故B不正确；

对于C，因为/(9)=sin(2xr+詈)=sin3n=0,所以％=?不是曲线y=

/(%)的对称轴，故C不正确；

对于D,因为/'(%)=2cos@久+§),若直线y=乎一％为曲线y=/(%)的切

线，则由2cos(2。+等)=-1,得2%+等=2kir+*或2%+*=2kir+

等(keZ),所以％=krc或%=时+］(/cCZ).当％=CZ)时，/(%)=

y,则由？=乎一eZ),解得k=o；当％=/CTI+式左eZ)时，/(%)=

--y,方程—j=?—ku—g(/ccZ)无解.综上所述，直线y=^—%为曲线

y=/(%)的切线，故D正确.

综上所述，选AD.

二、填空题

9.［2023新高考卷I,5分］已知函数f(%)=cosa)x-l(w>0)在区间［0,2n］

有且仅有3个零点，则a的取值范围是3.

［解析］函数/(%)=cosa)x-1在区间［0,2ir］有且仅有3个零点，即coscox-1

在区间［0,2刊有且仅有3个根，因为a>0,XC［0,2可，所以3%G［0,2O)TI］,则

由余弦函数的图象可知，4TT<2OITI<6TI,解得2W<3,即3的取值范围

是［2,3).

10.［2023新高考卷II,5分］已知函数/(%)=sin(。％+3)，如图，,B是直线

y=：与曲线y=/(%)的两个交点，若则/(n)=二空.

26z

［解析］对比正弦函数y=sin%的图象易知，点(詈,0)为“五点(画图)法”中

的第五点，(提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点

(画图)法”中的哪一个点)

所以日3+3=2TT①.

,TI

由题知|2B|=-久4=!，I51T两式相减，得3(打一%4)=3，

6(3%B+W=£，6

即三3=空，解得3=4.

66

代入①，得夕=一詈，所以/(a)=sin(4n_詈)=_sin*=一争

11.［2021全国卷甲,5分］已知函数/(%)=2cos(3%+0)的部分图象如图所示,

则满足条件(/(%)—(/(%)—f管))>0的最小正整数%为2.

［解析］由题图可知，3=等—：亨(T为/(%)的最小正周期)，得7=

TC,所以3=2,所以/(%)=2cos(2%+3).点&0)可看作''五点作图法”中

的第二个点，贝I］2x2+w=/得8=一，所以/(%)=2cos(2%—),所以

326\6/

/(_—)=2cos［2x-］=2cos(-等)=2cos==l,/(y)=

2cos(2x詈一§=2cosm=0，所以(/(%)—/(―十］(/(无)—f得))>0，

即(/(久)-1)/(%)>0,可得/(%)>1或/(%)<0,所以cos(2%—">3或

cos(2x—：)<0.当cos(2x—：)<0时，］+2/CTI<2%—^<^+2/cn,kE

Z,解得］+Mr<%<詈+Mr,kEZ，此时最小正整数%为2.当cos(2x一§)>

”寸，4+2加V2%-汴？+2kn,kEZ，解得-^+kTi<x<^+kn,kEZ,

此时最小正整数%为3.综上，最小正整数%为2.

12.［2020江苏，5分］将函数y=3sin(2%+§的图象向右平移，个单位长度，

则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是久=-,.

［解析］将函数y=3sin(2%+^的图象向右平移方个单位长度，得到y=

3sin［2(%—方)+弓=3sin(2%—的图象,由2%—卜='+Mr=eZ,得对

称轴方程为久=*+(/cn,keZ,其中与y轴最近的对称轴的方程为久=-空.

【易错警示】解决此类试题时，经常因为不理解图象平移变换的规则而出错，

要注意“左加右减”是对自变量%来说的.

考点16解三角形

题组一

一、选择题

1.12023全国卷乙，5分］在△ABC中，内角4,B,C的对边分别是a力,c,若

acosB—bcosA—c，且C=£,则B=(C)

A.—B.-C.—D.—

105105

［解析］因为acosB—bcos4=c,所以由正弦定理得sinZcosB—sinBcosA—

sinC—sin(B+A),则2sinBcos2=0.在△ABC中，sinB二0,则cosA—

0/=；.所以B=Ti—A—C=n-］—£=工，故选C.

2.［2021全国卷甲，5分］在△ABC中，已知B=120°,AC=V19,ZB=2,

则BC=(D)

A.1B.V2C.V5D.3

得

［解析］由余弦定理=AB2+BC2_2ABBC-cosB,BC2+2BC-15=

0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D.

3.［2020全国卷III,5分］在△ABC中，cosC=1/C=4,BC=3,则cosB=

(A)

A.-B.-