对角互补模型-中考复习讲义及练习（解析版）

模块二常见模型专练

专题31对角互补模型

H（2021•安徽安庆・中考真题）如图，点尸为定角NAo8的平分线上的一个定点,且NMPN

与NA05互补，若NMPN在绕点尸旋转的过程中，其两边分别与。4、OB相交于M、N两

点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+0N的值不变；（3）四边形PMON的面

积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.I

如图，作尸E_LOA于2PF_LoB于E

；NPEO=NP/0=90。，

.∖ZEPF+ZAOB=180o,

∙/NMPN+/AOB=T8。。,

，ZEPF=ZMPNf

：.ZEPM=ZFPN,

YO尸平分NAO8,PEJ_OA于E,PFLOB^Ff

,PE=PF,

在APOE和APOb中，

OP=OP

PE=PF

J.∕∖POE^∕∖POF,

：.OE=OF,

在APEM和APFN中，

,NMPE=NNPF

<PE=PF

Z.PEM=NPFN

：.丛PEMm丛PFN,

：.EM=NF,PM=PN,故（1）正确，

,SXPEM=SAPNF,

:∙S!V初形PMON=S四位形PEOF=定恒,故（3）正确，

"：0M+0N=0E+ME+0F-NF=20E=定值,故（2）正确，

MN的长度是变化的，故（4）错误，

故选：B.

瓯（2022.贵州遵义.统考中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该

小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段AC同侧有两点8,D,连接AO,AB,BC,CD,如果NB=那么A,

B,C,D四点在同一个圆上.

图1

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的O,在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合）,连接AE,

CE则NAEC+NO=180。（依据1）

图2

ZB=ND

.∙.ZAEC+NB=180°

•・.点A,B,C,E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)

点B,。在点A,C,E所确定的。上(依据2)

，点A,B,C,E四点在同一个圆上

(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；依据2：.

(2)图3,在四边形ABC。中，N1=N2,/3=45。，则N4的度数为

(3)拓展探究：如图4,已知°ABC是等腰三角形，AB=AC,点。在8C上(不与BC的中

点重合)，连接AO.作点C关于AO的对称点E,连接£»并延长交AO的延长线于F,连

接AE,DE.

图4

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若AB=2√∑,AZλA尸的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理

由.

【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

（2）45°

（3）①见解析；②不发生变化，值为8

【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；

（3）①根据（1）中的结论证明NAEz）=NABZ）即可得证；②证明aBAZA⅛E4jB,根据相似

三角形的性质即可求解.

（1）

如图2,作经过点A,C,O的（O,在劣弧AC上取一点E（不与A,C重:合），连接AE,

CE则NAEC+/。=180。（圆内接四边形对角互补）

图2

ZB=ZD

.∙.ZAEC+Zfi=180°

•・•点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

，点8,。在点A,C,E所确定的。匕（同圆中，同弧所对的圆周角相等）

点A,B,C,E四点在同一个圆上

故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

（2）

，在线段CD同侧有两点A,B,Z1=Z2

A,8,C,3四点共圆，

AD=AD

.∙.Z4=Z3=45o

故答案为：45°

（3）

ΦVAB=AC,

:.ZABCZACB.

E点与C点关于AO时称，

.∙.ZACD=ZAED,

..ZAED=ZABD

.∙.AR5,E四点共圆;

②AZ)∙AF=8,理由如下，

如图，AO民七四点共圆,

.∙.NFBD=NDAE,

AE,AC关于AO对称，

.∙.ZDAE=ZDAC,

"DAC=/DBF,

ΛADC=ABDF,

:."=NACD,

AB=AC,

:.ΛABD=ZACD.

.∖ZF=ZABD,

又NBAD=NFAB,

.「BADB,

,ABAD

*AF^AB,

.∙.ADAF=AB2^

AB=Zyfi，

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似

三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

瓯(2020.湖南益阳•统考中考真题)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，

且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称"直等补''四边形,

根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1,正方形ABC。中，E是Co上的点，将ΔBCE绕8点旋转，使8C与54重合，

此时点E的对应点尸在D4的延长线上，则四边形BEo尸为"直等补''四边形，为什么？

(2)如图2,已知四边形ABQ)是“直等补”四边形，AB^BC=5,CD=I,AD>AB,

B到直线AD的距离为BE.

①求BE的长.

②若M、N分别是A3、Ao边上的动点，求ΔMNC周长的最小值.

12备用图

【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；②ΔMNC周长的最小值为80

【分析】（1）由旋转性质证得∕F+∕BED=NBEC+NBED=180CJ,

NFBE=NABF+NABE=NCBE+NABE=90。,BF=BE,进而可证得四边形BEr）F为"直等补''四

边形；

（2）如图2,将AABE绕点B顺时针旋转90。得到ACBF,可证得四边形EBFD是正方形，

则有BE=FD,设BE=x,则FC=X-I,由勾股定理列方程解之即可；

（3）如图3,延长CD至UP,使DP=CD=1,延长CB至IJT,使TB=BC=5,贝IJNP=NC,MT=MC,

由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的

周长取得最小值PT，过P作PH_LBC交BC延长线于H,易证△BFCs∕∖PHC,求得CH、

PH,进而求得TH,在RtAPHT中，由勾股定理求得PT,即可求得周长的最小值.

【详解】（1）如图1由旋转的性质得：ZF=ZBEC,ZABF=ZCBE,BF=BE

∙.∙ZBEC+ZBED=180°,ZCBE+ZABE=90o,

ΛZF+ZBED=180o,

NABF+NABE=90。即ZFBE=90o,

故满足“直等补'’四边形的定义，

四边形BEDF为"直等补''四边形；

（2）•••四边形ABeD是“直等补”四边形,AB=BC,

ΛZA+ZBCD=180o,ZABC=ZD=90o,

如图2,将4ABE绕点B顺时针旋转90。得到△CBF,

则NF=∕AEB=90°,∕BCF+NBCD=180°,BF=BE

；.D、C、F共线，

二四边形EBFD是正方形，

.∙.BE=FD,

设BE=X,贝!JCF=X-1,

在RSBFC中，BC=5,

由勾股定理得：X2+(X-D2=25,BPX2-X-12=0,

解得：x=4或X=-3(舍去),

ΛBE=4

(3)如图3,延长CD到P,使DP=CD=1,延长CB到T,使TB=BC=5,

则NP=NC,MT=MC,

Λ∆MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPNPT

当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT,

过P作PH_LBC,交BC延长线于H,

,.∙ZF=ZPHC=90o,ZBCF=ZPCH.

；.△BCFs△PCH,

.BCBFCF

„„543

即一=---=----,

2PHCH

解得：Cw=I,PH=*

在RsPHT中，TH=5+5+-=-,

55

PT=yjPH2+HT2=8√2-

AMNC周氏的最小值为80.

【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、

解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解

答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思

路，进而进行推理、探究、发现和计算.

厚命题自的

对角互补模型特指在四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等三角形的证明、倒角的计算、线段数量

关系的证明、旋转的构造等综合性较高的几何知识，在校内考试、中考中一直都是热门考点。

对角互补模型在初二陆续就会出现,一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，

既有选填压轴的题型，也经常会以简答题进行考察。

常见的四边形对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-

(180-2a)对角互补模型。本文会分享对角互补模型常见的两种处理策略：①过顶点做双

垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等.

模型1:全等形——90°对角互补模型

模型2：全等形—120°对角互补模型

模型3：全等形一一任意角对角互补模型

模型4：相似形—90°对角互补模型

A

T∖c

■容就叫缎

【变式1］（2022•江苏常州,统考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且

ΛΓ

ZBAC=ZDAC,AB=15,AD=12.过顶点C作CE_ZAB于E,则——的值为（）

A.√73B.9C.6D.7.2

【答案】B

【分析】要求黑的值,主要求出AE和BE的长即可,注意到AC是角平分线,于是作CF,AD

BE

交AO的延长线于点F,可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，

从而解决问题.

【详解】解：作CF_LA力交AO的延长线于点F,则/CTD=90。，

BC

'：CELAB,

：.ZCEB=90o,

：.NCFD=NCEB=90。,

,：ABAC=ΛDAC,

,AC平分NAAO,

CE=CF,

：四边形ABCO对角互补,

.,.NABC+NADC=180。，

又VZCDF+NADC=180°,

.∙.ZCBE=ZCDF,

在4CBEWΔCOF中，

A?CEB?CFD

!?CBEICDF,

∖CE^CF

MCBEWACDF(AAS),

：.BE=DF,

在AAEC和aAFC中，

i?A£C?AFC

!?£AC?FAC,

∖AC=AC

：.ΛAEC^ΛAFC(AA5),

.∖AE^AF,

设BE-a,则DF-a,

∖"AB=∖5,AD=∖2,

,12+24=15,得α=1.5,

.".AC=12+«=13.5,BE=a=1.5,

.AE13.5C

..---=----=9,

BE1.5

故选B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造

全等三角形进而得出等量关系.

【变式2](2022•广东佛山・佛山市华英学校校考一模)定义：有一组邻边相等且对角互补

的四边形叫做等补四边形.例：如图1,四边形内接于。O,AB=AD.则四边形ABCD是

等补四边形.

探究与运用：如图2,在等补四边形ABCD中，AB=AD,其外角NE4。的平分线交C。的

延长线于点凡若CD=I0,AF=5,则。尸的长为_.

图1图2

【答案】5√2-5

【分析】思路引领：连接AC,先证ZEAO=NBCD,推出ZFCA=NMD,再证

ΔACF^∕∖DAF,利用相似三角形对应边的比相等可求。尸的长.

【详解】如图所示，连接AC,

Y四边形ABC。是等补四边形，

NBA。+/BCZ)=I80。，

又N8A0+∕EA0=18O°,

INEAD=NBCD,

尸平分/E4O,

.".ZFAD=-ZEAD,

2

Y四边形A8CZ)是等补四边形，

ΛA,B,C,。四点共圆，

'：AB=AD,

∙*∙AB=AD，

：・ZACD-ZACBf

：.ZFCA=-^BCD,

2

.,.ZFCA=ZFAD,

又∕AFC=ND∕¾,

.∙.∆4CF^∆DAF,

.AFCF

"~DF~~AF'

即且=空当

DF5

DF=5√2-5.

故答案为：5√2-5.

【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，角平分线的判定，相似三角形的判

定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等.

【变式3］（2021•浙江金华•校考三模）如图，点尸为定角NAoB的平分线上的一个定点，

且/MPN与NAoB互补，若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与04、OB相交于

M、N两点，则以下结论：（I）PM=PN恒成立；（2）0M-ON的值不变；（3）△OMN

的周长不变；（4）四边形PMoN的面积不变，其中正确的序号为.

【分析】如图作PE_Le）A于E,PF_Lc）B于F.只要证明△POE丝Z∖P0F,△PEM^ΔPFN,

即可一一判断.

【详解】解：如图作PE_LOA于E,PF_LOB于F.

ΛZEPF+ZAOB=180°,

MPN+/AoB=I80°,

ΛZEPF=ZMPN,

ΛZEPM=ZFPN,

：OP平分/AOB,PE1OATE,PF_LOB于F,

PE=PF,

在4Pe)E和^POF中，

∖OP=OP

∖PE=PF

ΛRtΔPOE^RtΔPOF(HL),

ΛOE=OF,

在4PEM和丛PFN中,

NMPE=ZNPF

PE=PF

Z.PEM=乙PFN

ΛΔPEM^ΔPFN(ASA),

ΛEM=NF,PM=PN,故(1)正确,

SAPEM=SAPNF,

∙'∙S四边杉PMON=Sl⅛S杉PEOF=定值，故(4)正确,

；OM-C)N=OE+EM-(OF-FN)=2EM,不是定值，故(2)错误，

,.∙OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，

在旋转过程中，APMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN

的长度是变化的，所以AOMN的周长是变化的，故(3)错误，

故答案为：(I)(4).

【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

【变式4](2022•浙江宁波•校考三模)【基础巩固】

A

Af--------------7乙K____________7,D/\-------刁D

(1)如图①，在四边形ABCD中，AD/∕BC,ZACD=NB,求证：ABC^DCA；

(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形A68中，点E在BC上，NAEz)与NC互补，

BE=2,EC=4,求AE的长；

(3)【拓展提高】如图③，在菱形ABCo中，E为其内部一点，与NC互补，点F在CO

上，EF//AD,且AD=2EF,AE=3,CF=I,求DE的长.

【答案】(1)见解析

(2)2√3

(3)6-√2

【分析】(1)由AD〃BC,可得NACB=NC4£>,再利用NB=NA8,即可得出

ABCSdca.

(2)根据两组角相等可求得A48ESZ∖0E4,可得4E2=BE∙A∕),进而可求得AE的值；

(3)延长FE交AB于G,则四边形AGFD是平行四边形，AD=GF,由AZ)=2所得

AEADDE

AD=GF=2EF=2GE,ill(2)可得.∕∖ABE^∕∖DEA—=—=—,可得

GEAEAG

AE2=GE-AD=^-,即空=当=&,ΛD=√2AE=3√2,根据菱形48C。得

2AGAE

AB=CD=AD=3旧则AG=D尸=3√Σ-1，即可求解.

【详解】(1)证明：YAP〃BC,

:、ZACB=ZCAD,

乂，：/B=ZACD,

：.£ABC^,DCA；

(2)解：•・・四边形ABCQ是平行四边形，

.,.AD//BC,AB//CD.AD=BC,

ΛZDAE=ZAEB,NC+NB=180。，

,.∙ZAED+ZC=180°,

：,ZAED=ZB,

∕∖ABE^∕∖DEA，

.BEAE

••---=---，

AEAD

∙>∙AE2=BEADf

'：BE=2,EC=4,

JAD=BC=G,

AE?=BE∙AD=2义6=12,

：.AE=2√J；

(3)解：延长在交A5于G,

••四边形48CQ是菱形，

∖AB//CD9AB=CD=ADf

:EF//AD,

••四边形AGFD是平行四边形,

,

.AD=GF9AG=DF,

：AD=IEF,

・.AD=GF=2EF=2GE,

.AD

・GE=-----•

由(2)可得.∆ABE^>ADEA,

.AEADDE

''~GE~~AE~~AG

ΔΓ)2

：.AE2=GE-AD=——，

2

∙∙∙AD=近AE=3曰匹=丝=逑=

AGAE3

：•AB=CD=AD=3及，

∙*∙AG=DF=3五-1，

DE=正,

3√2-l

；•DE=6-√2.

【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质、菱形的性质、相似三角形

的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质、菱形的性质，证明三角形相似是解决问

题的关键.

【变式5](2022.江西南昌.模拟预测)【模型建立】

图1

(1)如图1,在正方形ABeD中，E,尸分别是边8C,CQ上的点，且ZfXF=45。，探究图

中线段EF,BE,£>F之间的数量关系.

小明的探究思路如下：延长CB到点G,使BG=DF,连接4G,先证明.4。尸与ΛBG,

再证明户丝ZVlEG.

①EF,BE,OF之间的数量关系为；

②小亮发现这里ABG可以由4ADF经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过

程.像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相

等的几何模型称为半角模型.

【类比探究】

(2)如图2,在四边形ABCn中，AB=AD,//WC与NT)互补，E,尸分别是边BC,CD

上的点，且NE4F=gN8AO,试问线段EF,BE,。尸之间具有怎样的数量关系？判断并说

明理由.

【模型应用】

(3)如图3,在矩形ABCO中，点E在边BC上，AD=6,AB=4,ZCAE=45°,求CE的

长.

［答案】⑴①BE+DF=EF,②将△ADF绕A点顺时针旋转90°

⑵EF=DF+BE,理由见详解

(3)5.2

【分析】(1)①沿着小明的思路，先证ZkACF也ZsABG,再证△AE尸丝zλAEG,即可得出

结论；②在①的基础上，证明NGA∕⅛90。即可得解：

(2)延长CB至点、M,使得BM=DF,连接AM,先证△ABM^∆ADF,再证△MAE^∕∖FAE,

即可得出结论；

(3)过E点作EN_LAC于N点，设EC=x,则有x<6,即BE=6-x,分别在Rr△ABE和RtAADC

中，表示出和求出AG再证AAfN是等腰直角三角形，即可得力E2=2AN=2EN2,

ΛRΛΓ

则有2硒2=42+(6-尤)2,再证Rr△ABCsRdENC,即有^~,进而有

ENEC

ABXEC414

EN=AC=和,则可得一元二次方程2'彩/=42+(6—幻2,解方程就可求出CE

(1)

①B£+£>F=E/，理由如下：

沿着小明的思路进行证明，

在正方形48CT)中，有4O=A8,No=/A8C=90。，

即有NABG=90°,

VBG=DF,AD=AB,ZD=ZAβG≈90o,

∆ADF^∆ABG,

.∖AF^AG,NDAF=NBAG,

VZBAD=90o,NEAF=45°,

二NBAE+NDAF=45°,

.∙.ZBAE+ZBAG=45°=ZEAF,

"：AF=AG,AE=AE,

：.ΛAEF^ΛAEG,

：.EG=EF,

∖,EG=BG+BE,BG=DF,

.∖EF=BE+DF,结论得证；

②将△ADF^.A点顺时针旋转90。即可得到4ABG.

理由如下：

在①已经证得△ADF^ΔABG,并得至IJN84E+ZBAG=45°=NE4凡

/.NG4F=NE4G+NEAG45o+450=9()o,

.,J⅛ΔAQ尸绕A点顺时针旋转90。即可得到aABG；

故答案为：①BE+DF=EF,②将P绕A点顺时针旋转90。；

(2)

EF=DF+BE,理由如下：

延长GB至点M,使得BM=QR连接AM,如图，

图2

∙.βNABC与NO互补，

ΛZD÷ZΛBC=180o,

Y∕ABC+NABM=180。，

ZABM=ZD.

t

:AB=AD9BM=DF,

：.ΔΔADF,

：.ADAF=ABAM,AM=AF,

t

:ZEAF=^ZBAD1

：.ZBAE+ZFAD=^NBAD,

，ZBAE+ZFAD=ZEAFf

'：NDAF=NBAM,

.∖NBAM+NBAE=NEAF,

：.AMAE=ΛEAF,

λ

:AM=AF,AE=AE9

Λ∆MAE^∆ME,

：.ME=EF,

•：ME=BE+MB,MB=DF,

LEF=DF+BE,结论得证；

(3)

过E点作ENLAC于N点，如图,

VAD=6,48=4,

・•・在矩形48CD中，AD=BC=6,AB=Oe=4,ZZ>ZB=90o,

・・・设ECK,则有χV6,

：・BE=BC-EC=6-x,

在放ZkABE中，AE2=AB-+BE2=42+(6-x)2,

在mZkAOC中，AC=^ADL+DC2=√62+42=2√13

0

VZCAE=45,ENlAC9

：.NANE=90。=NENC,

.*.NAEN=45。,

•••△AEN是等腰直角三角形，

∙*∙AE=OAN=CEN，

JAE2=2AN2=2EN∖

即：ZEN?=42+(6-X)2

Y∕ENC=9∕=∕B,ZACB=ZECN1

:.RMABCsRmENC,

.ABAC

,,fiV^EC,

VΛβ=4,AC=2√13,EC=X,

LZAB×EC4x

EN=——=—7=,

AC2√13

.∙.EM=土χ2,

13

∙/IEN2=42+(6-X)2,

4->OO

.*.2×-X2=4'+(6-x),

工结合XV6,解得X=5.2,

ΛCE=5.2.

【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的

知识、等腰宜角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造

TB优练习］

,112O22秋•福建厦门•九年级厦门市第五中学校考期中）如图，ZAOB=a（α是常量）.点

P在/AOB的平分线上，且0P=2,以点P为顶点的NMPN绕点尸逆时针旋转，在旋转的

过程中，NTWPN的两边分别与OB,Q4相交于M,N两点，若/MPN始终与NAOB互补,

则以下四个结论：®PM=PN;②OM+ON的值不变；③四边形PMaV的面积不变；④点

M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

【答案】B

【分析】如图作PE∙LO4于点£PFLOB于∙点F,只要证明心PEo&RrPEO,

RtPEN"RtPFM即可——判断.

【详解】解：如图所示：作PELOA于点E,PhOB于点、F,

APEO=ZPFO=90°,

.∙.NEP产+NAOB=180°,

ZMPN+ZAOB=180°,

.∙.ZEPF=ZMPN,

.ZEPF=AEPN+ZNPF,ZMPN=/MPF+ZNPF,

4EPN=乙MPF,

OP平分/AOB,PELOA,PFLOB.

.∙.PE=PF,

在WPEO^WRtPF0ψ,

PO=PO

PE=PF

:.RtpEgRtPFo〈HL），

.∖OE=OF,

在4PEN和M中，

ZEPN=ZFPM

•PE=PF,

ZPEN=NPFM

Rt.PEN^RtPFM（ASA）,

.∙.EN=FM,PN=PM,故①正确，

,∙SAPKN=S&PFM'

・■^VSitlKPMON~S四边物＞EOF=定值，故③正确,

OM+ON=OF+MF+ON=OE+NE+ON=OE+OE=2OE=定值,故②正确，

M、N的位置是变化的，

：.M,N之间的距离也是变化的，故④错误：

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题

的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

2.（2021•山西•九年级专题练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形，如图，

在互补四边形纸片ABCD中，BA=BC,AD=CD,/A=NC=90。，ZADC=30°.将纸

片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后

铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为

【答案】2屈+4近或α+2历.

【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质

以及勾股定理得出CD的长.

【详解】解：如图1所示：从顶点A（或C）剪开纸片，四边形ABCE是平行四边形，

A

根据题意可知：

VBA=BC,AD=CD,ZA=ZC=90o

Λ∆ABD^∆CBD(SAS)

ΛZABD=ZCBD=75o,

四边形ABCE是面积为4的平行四边形，AB=CB

ABCE是菱形，

Λ∆BCE的面积为2,CB=CE=AB,

NBCE=30。，

作BGJ_CE于点G,

BC=2BG,

.∙.CE=2BG,

SABCE=TCE∙BG=2

.∙.BG2=2,

∙*∙BO-5/2，CE-2-^/2，

ΛCG=√3BG=√6,

.∙.CF=CG+GF=CG+AB=CG+CE="+2&.

VZADC=30o,NCFD=90°

ΛCD=2CF=2√6+4√2.

如图2,从顶点B剪开纸片，当四边形BEDF是平行四边形时,

∙∙.平行四边形BEDF是菱形,

：/A=/C=90°,ZB=150o,

ΛZADB=ZBDC=150,

VBE=DE,

.*.NAEB=30。，

设AB=y,则BE=2y,AE=√3y>

ΛDE=2y,

Y四边形BEDF面积为4,

ΛAB×DE=4,

即2y2=4,

解得：y=&,

故AE=〃，DE=2√2，

则CD=AD=#+2近，

综上所述：CD的值为：2瓜+46,或娓+2近.

故答案为25/6+45/2或α+2y∣2-

【点睛】此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质、菱形的性质和判定等

知识，根据题意画出正确图形是解题关键.

3.(2022秋・安徽宿州•九年级统考期中)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等,

且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称"直等补'’四边

形.根据以上定义，解决下列问题：

图2

(1)如图1,正方形ABCD中，E是CO上的点，将一BCE绕B点旋转，使BC与的重合，此

时点E的对应点F在D4的延长线上，则四边形下为"直等补''四边形，为什么？

(2)如图2,已知四边形A3CZ)是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=I,Ar)>AB,点8

到直线AD的距离为BE,求BE的长.

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】（I）根据“直等补”四边形的定义进行逐项证明即可得出结论；

（2）如图（见解析），过C作CF_LM于点尸，首先证明四边形CDEF是矩形，则Z）E=B,

EF=CD=L再证明A4BE="CF,根据全等三角形的判定与性质可得BE=CRAE=BF,

等量代换即可得8E=£>£,由AE=8F,EF=CD=I可得AE=BE-1,设BE=X,根据勾股定理解

出X的值即可；

【详解】（1）；四边形ABa）是正方形，

ZABC=NBAD=NC=No=90°,

：将BCE绕B点、旋转,使8C与84重合，此时点E的对应点尸在ZM的延长线上，

.,.BE=BF,NCBE=ZABF,

：.NEBF=AABC=90°,

NEBF+ND=180°,

•••四边形BEDF为"直等补''四边形：

（2）过C作CVJ/于点片如图，

则NeFE=90。，

Y四边形月Ba)是“直等补"四边形，AB=BC=5,CD=I,AD>AB,

.∙.ZABC=90。，NABC+NO=180。，

.-.ZD=90°

,/BFLAD,

：.ZDEF=90°,

四边形COEF是矩形，

EF=CD=I,

'：ZABE+ZA=ZCBE+ZABE=90°.

：.ZA=NCBF,

•：NAEB=NBFC=90。,AB=BC=5,

:.ABE^.BCF(AAS),

..BE=CF,

设BE=CF=X,则BF=X-1,

,/CE2+BF2=BC2,

X2+(ɪ-l)2=52,

解得，x=4,或X=-3(舍)，

/.BE=4.

【点睛】本题考查四边形的综合，涉及新定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方

形的性质等知识点，有一定难度，熟练掌握相关知识并综合运用是解题关键.

4.(2022秋・江苏•八年级专题练习)定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，

称四边形为余缺四边形.

如图1,四边形ABCO,ZD+ZB=180o,AC平分ND48,则四边形ABa)为余缺四边形.

【概念理解】

(1)用(填序号)一定可以拼成余缺四边形.

①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；

(2)如图1,余缺四边形ABC。，AC平分NZM6,若A£>=6,AB=2,则

S4ADC：SAABC=；

【初步应用】

如图2,已知A4BC,/B4C的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接尸8、PC.

(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；

(4)若AB=9,AC=5,则PT_P4的值为.

【迁移应用】

(5)如图3,ZMAN=90°,等腰用的B、C两点分别在射线AM、AN.1.,且斜边

BC=IOcm(P、A在BC两侧)，若B、C两点在射线40、AN上滑动时，四边形APBC的

面积是否发生变化？若不变化，请说明理由：若变化，直接写出面积的最大的值.

图3

【答案】⑴①

(2)3

(3)见详解

(4)45

(5)变化：最大值是50

【分析】(1)依题意画出图形分析是否满足条件即可得到答案；

(2)利用角平分线上的点到两边距离相等的性质，可得AAQC与，ABC等高，然后运用面

积比等于底边长的比得到答案；

(3)利用A尸是角平分线构造全等一角形证明Z4BP+NACP=180。即可；

(4)运用勾股定理可得尸*=AG?+PG?,PB-=BG-+PG-,然后运用图中等量关系将AG

和BG转化为AB与AC即可；

(5)当AC=BC时面积取得最大值.

【详解】(1)如图4,将两个全等的直角三角形沿斜边拼在一起组成一个新的四边形，则

此四边形满足对角线平分一组对角：且一组对角互补

两个全等的直角三角形一定能拼成余缺四边形；

如图5,将两个全等的等边三角形拼在一起组成一个新的四边形，此四边形的一组对角相加

等于120°

•••两个全等的等边三角形无法拼成余缺四边形；

故答案为：①

图5

(2)如图6,过C点分别作AB,AO的垂线，垂足为E,F

.AC平分/B4C,

'.CE=CF

S4ADC:SAABC={AD∙CF)<AB∙CE)=AD:AB=6:2=3

E,

(3)如图7,过点尸作尸GLA3,PHLAC,垂足为G,H

4P平分/BACPGLAB,PH±AC

..PG=PH

・点。在BC的垂直平分线上

..BP=CP

・・在心PBGfllRtAPCH'^

∖PB=PC

[PG=PH

.△PBG必PCH(HL)

:.NPCH=ZPBG

.∙.ZPBA+ZPCA=ZPCH+ZPCA=180°

"平分/BAC,

.∙.A8PC是余缺四边形.

(4)由勾股定理可知，PA2=AG2+PCr>PB2=BG2+PG2

:.PA2-PB1

=(AG2+PG2)-(BG2+PG2)

=AG2-BG2

=(AG+BG)(AG-BG)

=AB(AH-CH)

=AB∙AC=9x5=45

(5)如图8,取8C中。，连接。4,作AQLBC于点Q,

则在8C运动的过程中，始终有：AQ≤OA

∖∙sA8C是直角三角形，OA是斜边上的中线，

.∙.OA=-BC=S

2

AQ<0A=5

•••%BC=；8CAQ*X10X5=25；

.78C是等腰直角三角形

.∙.BC2=PB2+PC2=2PB2

：.PB2=-BC2=-×∖02=50

22

2

SΔPBC=^PB=^×50=25

SABPC=S4ABC÷S4PBC≤25÷25=50.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定以及勾股定理，综合性较强，熟练掌握全等三角形

的构造与相关证明方法是本题的解题关键.

5.(2022秋.江苏南通.八年级如皋市实验初中校考阶段练习)如图1,我们定义：在四边形

ABCDψ,若AO=BC,且∕AOB+NBCA=180。，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形.

(1)如图2,在等边AABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接8,问四边形ABC。是

互补等对边四边形吗？请说明理由.

(2)如图3,在等腰AABE中，四边形ABCO是互补等对边四边形，求证：NABD=NBAC=

ɪZAEB.

2

(3)如图4,在非等腰AABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问NABO=NBAC

=INAEB是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由.

2

【答案】(1)四边形ABCO是互补等对边四边形，理由见解析

(2)见解析

(3)仍然成立，证明见解析

【分析】(1)先判断出AE=BE,再判断出ZΛDB=90o,即可得出结论.

(2)根据等边对等角可得NEAB=/E8A,根据四边形ABC。是互补等对边四边形，可得

AD=BC,根据SAS可证AABO丝Z∖84C,根据全等三角形的性质可得/A8Z>=/BAC,再根

据等腰三角形的性质即可证明；

(3)仍然成立；理由如卜：如图所示：过点A、8分别作BZ)的延长线与AC的垂线，垂足

分别为G、F,证明AAGQ0ZX8FC,得至IJAG=BF,又AB=BA,所以4A8CgZ∖BAF,得到

ZABD^ZBAC,根据乙4D8+NBCA=180°,得到/EDB+/ECA=I80°,进而得到

ZAEB+ZDHC=ISO0,由/。4C+NB”C=180。，所以NAEB=N8"C.因为

NBHC=NBAC+NABD,NABD=NBAC,f)↑IikZABD=ZBAC=ZAEB.

(1)

解：四边形ABCD是互补等对边四边形，

理由：如图2,

YZXABE是等边三角形，

：.AE=BE,

连接AC,BD,

丫点。是AE的中点，

/.BDlAE,

：.NAftB=90。，

同理：ZBCA=90o,

：.AD=BC,NAOB+NBCA=180。，

•••四边形ABCD是互补等对边四边形.

(2)

解：'：AE=BE,

：.NEAB=NEBA,

V四边形ABCD是互补等对边四边形,

：.AD=BC,

在△48£＞和4BAC中，

AD=BC

■NDAB=/CBA,

AB=BA

：.ΛABD^∕∖BAC(SAS),

.∙.ZADB^ZBCA,

又；ZΛDB+ZBCA=180°,

ZADB=ΛBCA=90o,

,,180o-ZAEJB1

在ΔABE中l，VZEAB=ZEBA=--------------------=90Λ°--ZAEB,

22

ZABD=90o-ZEAB=90o-(90°--NAEB)=LZAEB,

22

同理：NBAC=LNAEB,

2

：.NABD=NBAC=L/AEB；

2

(3)

解：仍然成立；

理由如下：如图4所示：

图4

过点A、8分别作8。的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F,

V四边形ABCD是互补等对边四边形，

：.AD=BC,ZADB+ZBCA=ISOo,

又NAQB+AQG=180°,

：.ZBCA=AADC,

y.'：AG.LBD,BFA.AC,

：.ZAGD=ZBFC=90°,

在4AGO和ABFC中,

'NAGD=NBFC

■ZBCA=ZADC,

AD=BC

：.∆AGD^ABFC(AAS),

：.AG=BF,

在Rt∆ABG和Rt∆BAF中，

∖AB=BA

[AG=BF'

ΛRt∆ABG^RtΔBAF(HL),

.∙.ZABD=ZBAC,

,：ZADB+ZBCA=∖S0o,

ΛZEDB+ZECA=180o,

ZΛEB+ZDHC=180o,

•：NDHC+NBHC=18C,

，ZAEB=ZBHC.

YNBHC=NBAC+NABD,ZABD=ZBACf

：.NABD=NBAC=LNAEB.

2

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三

角形的判定和性质，理解新定义，判断出AABO丝△区4C是解本题的关键.

6.(2022秋•湖南长沙•九年级长沙市怡雅中学校考阶段练习)新定义：有一组邻边相等且

对角互补的四边形叫做等补四边形.如图1,在四边形ABCZ)中，AD=CD,

图1图2图3

(1)在数学活动课上，怡怡小组对等补四边形ABCO进一步探究，发现3。平分NABC.怡怡

小组提供的解题思路是：如图2,过点。分别作DEJ.BC于E,。尸_L84交84的延长线于

F,通过证明ZXADF=aCDE,得DF=DE,再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点

在角的平分线上''得到Bo平分NABC.请你写出怡怡小组的完整证明过程；

(2汝口图3,在平面直角坐标系中，点A、B在X轴上，以A8为直径的。仞交》轴于点C、D,

点尸为弧BC上一动点(不与3、C重合).

①求证：四边形ACPz)始终是一个等补四边形；

②在图3中，若A(T0),8(3,0),连接小,PB,的值是否会随着点尸的移动

而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵①见解析；②PZ)JPU的值不变,等于√L见解析

PA-PB

【分析】(1)过点。分别作Z)E_L8C于E,Z)Fl.54交54的延长线于F,通过证明

ΛADF=∕∖CDE,得D尸=。E即可.

(2)①根据垂径定理，圆内接四边形的性质证明即可.

②过点4作AnLPD,4E_LPC,交PC的延长线于点E,结论变形为土二空=4χ空X组,

PA-PBABAB

利用全等，相似、三角函数计算即可.

(1)

如图，过点。分别作。Ej_8C于E,。尸_LSA交NA的延长线于F,

所以ZAFD=ZCE。=90°,

因为四边形A8C。是等补四边形，

所以AD=CD,ZBAD+ZBCD=180°,

因为ZBAD+ZDAF=180°,

所以NDAF=NDCE,

所以AADF三ACDE,

所以OF=DE,

所以Bo平分NABC.

(2)

①因为AB是圆的直径，且ABLCD,

所以OC=OD,

所以直线AB是线段CD的垂直平分线,

因为四边形ACPD是OM的内接四边形，

所以/ACP+ZADP=180°,

所以四边形ACPO始终是一个等补四边形.

②〃D--/，C的值不变,等于百，理由如下:

PAPB

如图，过点A作AFj_P。，AELPC,交PC的延长线于点£,

因为AC=A。，

所以NAPE=/APF,

所以AE=A尸，

因为AP=AP,

所以△力PE空AAPF,∆AEC^∆AFD,

所以PE=FF,EC=FD.

因为AB是直径，

所以NAPB=ZAFD=90o,

因为NA。F=NAB尸，

所以△川£)/S“BP,

所唠啜

因为PD+PC=PC+PF+DF=PC+EC+PF=PE+PF=2PF,PD-PC=PF+DF-PC=

PE+DF-PC=EC+DF=2DF,

,PD2-PC2(PDtPC)(PD-PC)2PF×2DFPFDF

所c7rs以κ--------------=-------------------------=----------------=4λ×——×——

PAPBPA-PBPAPBPAPB

因为NAPD=NA5D,

所以cosZAPD=CosZABD,

由aPFBD

所以Tr布

PD2-PC-BDAD

所以=4λ×----×-----

PA-PBABAB

因为A(TO),B(3,0),

所以AB=4,圆的半径为2即AM=2,

所以AO=OM=1,

所以。。=在二适=相，

所以Az)=J(G尸+『=2,

连接