2023年九年级中考数学突破：圆的综合压轴题

(1)求证：AC是NDAB的角平分线;

2023年中考数学专项突破：圆的综合压轴题

(2)若AD=21AB=3,求AC的长.

一、综合题

4.如图，在OO中，AB是直径，点。是。。上一点，且ZBOD=60°,过点D作O。的切

1.已知：如图，在AABC中，BC=AC,以BC为直径的。O与边AB相交于点D,DElAC,垂足为点E.y

轴于点F,则AF_LoN,利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.线CZ)交延长线于点C,E为弧AD的中点，连接DE>EB,EB与OD交于点Q.

(1)求证：点D是AB的中点；(1)求证：EB//CD；

(2)判断DE与OO的位置关系，并证明你的结论：(2)已知图中阴影部分面积为6π.

①求OO的半径尸：

(3)若。O的直径为18,CosB=-,求DE的长.

3

②直接写出图中阴影部分的周长.

2.如图，PA、PB是。。的切线，A、B是切点，AC是OO的直径，连接。尸，交OO

5.如图，AB是。0的直径，点C在。O上，半径OD_LAC,DE_LAB于点E,交弦AC于点F,连接BD,

AD

(1)若NABD=25。，求NDAC的度数(提示：半径0D_LAC,可根据垂径定理解题)；

(2)若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16√3，求阴影部分的面积：

(2)求证：DF=AF.

(3)若sin=1,且JD=2√3，求切线PA的长.

6.如图，AB是。0的直径，点C在半圆上，点D在圆外，DE_LAB于点E交AC于点F,且DF=CD

3.如图，AB为OO的直径，点C是OO上一点，CD与。。相切于点C,过点A作ADlDC,

连接AC,BC.

D

(1)求证：CD是OO的切线;

(2)若点F是AC的中点，DF=2EF=2√3,求。O半径.

7.在平面直角坐标系Xoy中，。。的半径为r(r>0).给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d,满

足!∕∙<d≤∣√∙,则称点P为。O的“随心点”.

22

外

5-5-

4-4-

3■3-

2-2-

1-1-

345%

1234-5-4-3-2-1012(1)若CE=DF,求证：四边形AEBF是菱形.

-2(2)过点。作OG_LE8,分别交E8,Oo于点〃，点G,连接SG.

-3

①若/C。G=/E8G,判断aOBG的形状，说明理由.

-4

-5②若点E是。。的中点，求器的值.

备用图HO

；J)中，C)O的“随

(1)当C)O的半径r=2时，A(3,O),B(0,4),C(D(10.如图，AB为OO的直径，C是OO上的一点，连接AC,BC.D是前的中点，过

22

心点”是.BC于点F.

(2)若点E(4,3)是。O的“随心点”，求。O的半径r的取值范围:

(3)当。O的半径r=2时，直线y=x+b(b≠0)与X轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在

。。的“随心点”，直接写出b的取值范围.

8.如图1,/8为圆。直径，点。为45下方圆上一点，点C为弧力8。中点，连结CO,CA.

(2)若AC=6,48=10,求DF的长.

11.如图1,点E为AABC边力8上的♦点，。。为NBCE的外接圆，点D为BDC上任意一点.若/E=4O2",

(1)ZABD=IOo,求NBCC的度数；

(2)如图2,过点C作CEJ于点H,交,AD于息E,∕CAD=a,求//CE(用含口的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，若OH=5,AD=24,求线段OE的长.

9.如图，AB,CZ)是。O的两条直径，且45_LCQ,点、E,点E分别在半径。C,ODk(不与点。点C,点

。重合)，连接EB,BF,FA.

(2)①如图2,当CD过圆心。时，①将a/CD绕点4顺时针旋转得ZSXEF,连接DR请补全图形，猜或“=”)：

想8、DE、OF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若片3,求4)的长.(2)问题探究

12.阅读材料：如图②，。。的直径为20,点A,B,C都在。O上，AB=T2,求“BC面积的最大值；

(3)问题解决

在平面直角坐标系xθy中，点P(X(I,%)至IJ直线o-v+*v+c=0的距图公式为=.

√4-+Zr如图③，在"BC中，ZACB=9Qo,AB=20,BC=IO,根据设计要求，点D为ZABC内

例如：求点4(0,0)到直线4.Y+3>-3=0的距离.部一点，且ZADB=60°,过点C作CEHAD交BD于点E,连接AE,CD,试求满足设计要求的四边形

ADCE的最大面积.

解：由直线4x+3y-3=0知，a=4,6=3,c=-3,

14.如图，矩形ABCD中，AB=6,49=8,动点E,F同时分别从点AB出发，分别沿着射线AD和

∣4×0+3×0-3∣3射线的方向均以每秒个单位的速度运动，连接以为直径作。交射线于点设运动时间

・・・点《(0,0)到直线4x+3y-3=0的距离为-τ==1=7.BD1EF,EFOBDM,

√42+325

为t.

35

(1)问期1：点6(3,4)到直线ʃ=--x+4的距离为_________；

44

(2)当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE,DM.

(2)问题2：已知OC是以点C(2,l)为圆心，1为半径的圆，OC与直线y=--x+b相切，求实

4(3)在整个运动过程中，

数b的值；

①连接CM,当t为何值时，KDM为等腰三角形；

(3)问题3：如图，设点P为问题2中OC上的任意一点，点、A、B为直线3x+4y+5=0上的②圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时，求t的取值范围直接写出答案.

15.如图，已知NMON=90。,OT是NMON的平分线，A是射线OM上一点，OA=Scm.动

两点，且AB=2y请求出SMBP的最大值和最小值.

点P从点A出发，以ICmZS的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以ICmZs

的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接尸。，交OT于点B.经过O,P,Q三点作圆，交OT于点

C,连接PC,QC.设运动时间为/(5),其中0<f<8.

S)问题提出

如图①，已知直线a∏b,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,则SCtA四S"(填“>皿<”

（1）求OP+O0的值；

（2）是否存在实数t,使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

（3）在点P,Q运动过程中（0<f<8）,四边形OPCQ的面积是否变化.如果面积变化，请说出四边

形OP面积变化的趋势；如果四边形。。。。面积不变化，请求出它的面积.

16.如图，OO的半径为5,弦BC=6,A为BC所对优弧上一动点，ZXABC的外角平分线AP交。O于点P,

（1）求证:BC∖∖PF；

直线AP与直线BC交于点E.

（2）若。O的半径为石，DE=I,求AE的长度:

（3）在（2）的条件下，求AOCP的面积.

图1图2备用图

（1）如图1,①求证：点P为瓦它的中点；

②求sin/BAC的值；

（2）如图2,若点A为丽的中点,求CE的长；

（3）若AABC为非锐角三角形，求PA∙AE的最大值.

17.如图，四边形ABCD为正方形，取AB中点O,以AB为直径，O圆心作圆.

（1）如图1,取CD的中点P,连接BP交。O于Q,连接DQ并延长交AB的延长线于E,求证:

QE2-BE×AE：

（2）如图2,连接CO并延长交。O于M点，求tanM的值.

18.如图，AB为。O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧前的中点，过点D作。O的切线与AC的延长线交

于点P,与AB的延长线交于点F,AD与BC交于点E.

答案解析部分・••NEOB+NOBE=90。

〈AC是。0的直径

1.(1)证明：连接CD,

.*.ZABC=90o

VBC为直径，

NEBo+/CBO=9/

：.ZBDC=90o,

・••NEoB=NCBO

ΛCD±AB,

：.BC//OP

又YAC=BC,

(2)解：∙.∙E是OD的中点，且AB_LOD,

ΛAD=BD,

ΛAOAD,

・•・点D是AB的中点.

又AO=OD

(2)解：DE是G)O的切线.

・••aAOD是等边三角形

证明：连接OD,

.∖ZAOD=60o

VOB=OC,AD=BD

〈PA是OO的切线，OA是。。的半径，

ΛDO是AABC的中位线，

.•・ZOAP=90o

ΛDO∕∕AC,

・•・NAPo=30°

VDE±AC,

ΛPO=2AO

ΛDE±OD,

在RtMOE中，ZAOE=60o

∙∙∙DE是。O的切线：

o

I：•ZOAE=30

(3)解：VAC=BC,ΛZB=ZA,：.COSB=CoSA=—，

3O

设OA=R,则OE=一

2

ʌAE=R

2

，AB=IAE=y∣3R,PO=2AO=2R

Y四边形OAPB的面积是16√3，

Λ∣JB∙PO=16√3,即ɪJJκ∙2H=16√?

BD]

在RtZXBDC中，VcosB=——=-,BC=18,

BC3解得，R=±4(负值舍去)

.∙.BD=6,.∙.AD=6,

ʌJB=4√3,OE=Z

AE1

在Rt△ADE中YcosA==—,.∙.AE=2,

AD3；ZAOD=60°

∣22

,DE=yAD-AE=4√2•・•・ZAOB=120°

2.(1)证明：YPA,PB是QO的切线2

.120Λ∙×(4)∖r-16f-

・・S阴影=S网形和8-S08=--------------τ7x4√3×2=-π-4>β

：.POlAB,即NOE3=90。AJ36U23

(3)解：VZJ5C=90o.∖ZJCD+ZDJC=90°,

：.sinZ.BAC==—：・NACO=/DAC,

AC3

-OA=OC,

故设BC=m,则AC=3m,

3ΛZOAC=ZOCA,

：•AO=-m

2,NDAC=NCλ4C,

,,,OE∕∕BC

：.AC是NDAB的角平分线：

：.OE=-BC=-m

22(2)解：Y力8是QO的直径,

DE=OD-OE=-m--m=m：.ZACB=90°,

22

ΛZD=ZACB=90°,

在RtΔAEO中，AE=4AO1-OE1=√2∕H

VZDAC=ZBAC,

在RtΔAED中，AE2+DE2=AD2

：.RsADCSRSACB,

Λ(√2W)2+W2=(2^)2.ADAC

''~AC~~AB'

.*∙rn=2(负值舍去)

ʌAC2=ADAB=2×3=6，

ʌAE=2√2

ΛJC=√6(负值已舍去).

o

VZOAE+ΛAOE=90tΛAPO+^AOE=90°

4.(1)如图，连接OE,

・•・ZOAE=NAPo

sinNAPO=sinZLBAC=-

3

.AE1

1・-----=一

PA3

:∙PA=3AE=66

3.(1)证明：连接OC,如图，

D

VCD为OO的切线，OD为OO的半径，

ΛOD1CD,ZODC=90°,

VAB为Oo的直径，ZBOD=60o,E为弧力。的中点,

ΛZEOD=60o,OE=OD,

VCP与OO相切于点C,

：.△EOD为等边三角形，

ΛZOCD=90°,

/.OE=OD=OB,

工∕ACD+NACO=9V,

ΛZEOD=ZBOD=60°,

VADɪDC，

/.OD1EB,

ΛZJZ)C=90°

,OQB=90。=NODC,∙∙AD=DC'

：・EBIlCD；：.NB=NDAC,

(2)®VZEDO=ZBOD=60o,NEQD=/BQO,DE=OBΛZDAC=ZADE,

ΛAF=DF.

：,4BOQMEDQ,

6.(1)证明：连接OC如图1所示:

∙'∙S&BOQ=StkEDQ»

.∙.阴影部分的面积为扇形BOD的面积，即^-πr1=6π,

360

解得：r=6；

②RIABOQ中，^ρ=O5∙sin60o=6×^=3>Λ，

：.EB=2BQ=60，VDElAB,

ΛZAED=90°,

♦：八EOD为等边三角形，

ΛZBAC+ZAFE=90°,

.*.ED=OD=OB=G,

VDF=CD,

・•・丽=2Q∙%=2小6・里=2万

360360ΛZDFC=ZDCF,

・•・图中阴影部分的周长=BD+ED+EB=2π+6+6y∕3.VOA=OC,

5.(1)解：TAB是。O的直径，ΛZBAC=ZOCA,

ΛZADB=90o,VZDFC=ZAFE,

•：NABD=25。，・•・NDCF+NOCA=90。，

ΛZDAB=65o,ZDOA=50°,ΛZOCD=90o,

VOD±AC,ΛOClCD,

ΛZEAF=40o,•••CD是。O的切线；

ΛZDAC=65o-40o=25o;(2)解：连接BC,作DH_LAC于点H,如图2所示:

(2)证明：YDELAB于点E,

ΛZDEO=90o,

,NEDB+NB=90。，

VZADB=90o,

ΛZADE÷ZBDE=90o,

AZB=ZADE,

VDF=CD,

VOD±AC,

1

ΛFH=CH=-CF,(3)解：如图a〃b〃c〃d,

2

Y点F是AC的中点，DF=2EF=2√3,

11-

ΛAF=CF=-AC,FH=-AC,EF=√r3,

24

VZAED=ZDHF=90o,ZAFE=ZDFH,

，△AFEsZXDFH,

.AF_EF

**DF—~FH'

ΛAF∙FH=DF∙EF,

即：-AC×-AC=2√3×√3»

24

的半径r=2,随心点范围-r<d<-r,

解得：AC=±4√3(负值不合题意舍去)，22

Λ1<≤3，

Y直线MN的解析式为y=x+b,

2222∙'∙x=0时，y=b；y=0时,x=-b,

,AE=y∣AF-EF=√(2√3)-(√3)=3

/.OM=ON,

YAB是。O的直径，

・•・直线MN与y轴夹角为45。，

ΛZACB=ZAED=90o,

①点N在y轴正半轴时，

VZBAC=ZFAE,

当点M是。O的“随心点”，此时，点M(-1,0),

Λ∆BAC<^∆FAE,

.AB_AC将M(-1,0)代入直线MN的解析式y=x+b中，O=-l+b,

**AF—AE'

解得，b=l,

∙∙.b的最小值为I,

过点O作OG_LMN于G,

解得：AB=8,

当点G是距离OO最远的其中一个“随心点”时，此时0G=3,

，。0半径=-AB=—×8=4.在∖中，。，

22RtZONG/ONG=45

7.(1)A,C.∙∙G0=3

(2)解：Y点E(4,3),

・•・在RtZ∖GNN'中，sinZGN'N=sin45°=—=—，

22ON'2

ΛOE=√3+4=5，即d=5,

Y点E(4,3)是。O的“随心点”，解得ON=3√2，

,∖-r≤5≤-r,将N，(O,3√2)代入直线MN的解析式y=x+b中，30=b，

22

解得—≤r≤10；∙∙∙b的最大值为30

3

∙*∙1≤6≤3√2，(3)解：连Co并延长交AD于F,

②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出-3√2≤h≤-l»

综上所述，b的取值范围为1≤6≤3五或-3√2≤∕>≤-l.

8.(1)解：连结AD、BC,

TC为弧ABD中点，

.*.CF±AD*FD=AF=-AD=12.

2