第04讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式章末重点题型大总结（精讲）（原卷版）

第04讲第二章一元二次函数、方程和不等式章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01不等关系和不等式性质的认知【典例1】（2023·高一课时练习）已知，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·高一课时练习）阅读材料：（1）若，且，则有（2）若，则有．请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【变式1】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式2】（2023·重庆·高二统考学业考试）若实数a，b，c满足，，则（）A． B． C．

题型02一元二次（分式）不等式【典例1】（2023·高一课时练习）不等式的解集是__________【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·高一课时练习）不等式的解集为___________.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）求下列不等式的解集：（1）；（2）题型03利用基本不等式求函数和代数式的最值【典例1】（2023·全国·高一专题练习）若，则取最大值时x的值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________．【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（

）A．的最大值为1 B．的最大值为2C．的最小值为2 D．的最大值为1【变式1】（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知为正实数，且满足，则的最大值为______．【变式2】（2023·高一课时练习）若，且，则的最小值为______.题型04“1”的代换转化为基本不等式求最值【典例1】（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知正数、满足，则的最小值为_______.【典例2】（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________．【典例3】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为__________.【变式1】（2023春·浙江·高二统考学业考试）正实数x，y满足，则的最小值是（

）A．3 B．7 C． D．【变式2】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知正实数满足，则的最小值为__________.【变式3】（2023·重庆·统考一模）已知，则的最小值是___________.题型05条件最值问题【典例1】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．4【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的最大值为（

）A．9 B．6 C．4 D．1【典例3】（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，且，则的最大值为________.【变式1】（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.【变式2】（2023·浙江·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为______．题型06与基本不等式有关的恒成立问题【典例1】（多选）（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．7.5【典例2】（2023·高一课时练习）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【变式1】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．25 C．16 D．12【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（

）A． B．2 C．1 D．题型07不等式与实际问题的关联【典例1】（多选）（2023春·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；乙：第一次涨幅，第二次涨幅；丙：第一次涨幅，第二次涨幅.其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（

）A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多【典例2】（2023秋·云南·高一校联考期末）某房屋开发公司用37500万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高600元．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为6000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成______层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为______元．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（

）A．方案一更经济 B．方案二更经济C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定三、数学思想01函数与方程的思想【典例1】（2023秋·云南西双版纳·高一统考期末）已知不等式的解集是，则__________.【典例2】（多选）（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若关于的二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的解集是 D．的解集是02分类讨论思想【典例1】（2023·高一课时练习）不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：．【典例3】（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）已