第04讲 导数在研究函数中的应用（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）

第04讲导数在研究函数中的应用【人教A版2019】·模块一导数中的函数零点（方程根）问题·模块二导数中的不等式证明·模块三导数中的恒成立、能成立问题·模块四课后作业模块一模块一导数中的函数零点（方程根）问题1．导数中的函数零点（方程根）问题利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【考点1利用导数研究函数的零点（方程的根）】【例1.1】（2023上·天津滨海新·高三校考阶段练习）已知函数fx=xex+1x≥0A．1,1+1e∪C．1,1+1e∪【例1.2】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数fx=xex,x<0-x2+2x,x≥0，若关于A．-∞,-1e B．-1e【变式1.1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）已知fx=xexA．存在实数k，使得对任意实数m，函数gxB．存在实数m，使得对任意实数k，函数gx至少有2C．对于任意实数m，存在实数k，使得函数gx恰有2D．对于任意实数k，存在实数m，使得函数gx恰有3【变式1.2】（2020·湖北黄冈·黄冈中学校考模拟预测）已知函数fx=x,x>0e2x,x≤0，gx=-x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程gfxA．32-ln2 B．-32模块二模块二导数中的不等式证明1．导数中的不等式证明(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．【考点1

利用导数证明不等式】【例1.1】（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数f(x)=ax+lnx+1，(1)若f(x)的极大值为1，求实数a的值；(2)若a=-1，求证：f(x)≤g(x).【例1.2】（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当a≤0时，若fx1=fx2【变式1.1】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数fx(1)当a=1时，求fx(2)若fx≥0，求(3)求证：sin1【变式1.2】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)若方程fx=1-xlnx有两个不等的实数根x1，模块三模块三导数中的恒成立、能成立问题1．导数中的恒（能）成立问题解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.【考点1

利用导数研究不等式恒成立问题】【例1.1】（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）若关于x的不等式ea+x⋅lnx<x2+axA．-∞,0 B．-1,0 C．-1,+∞【例1.2】（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）设函数f(x)=12x2-4x+alnx，若函数y=f(x)存在两个极值点xA．-∞，-1 B．-∞，-16-8【变式1.1】（2023上·河北保定·高三校联考期末）已知函数f(x)=xln(1)讨论f(x)x(2)已知g(x)=2x-ex-1-1，若f(x)≥g(x)【变式1.2】（2023上·福建莆田·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)求曲线y=fx在1,f(2)若对∀x∈0,+∞，fx≤a【考点2利用导数研究能成立问题】【例2.1】（2023下·贵州铜仁·高二统考期末）已知函数fx=lnx，若存在x0∈1A．1,12+C．12+ln【例2.2】（2023下·湖北·高二校联考期中）若存在x0∈0,1，使不等式x0+eA．12e,e2 B．1e【变式2.1】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数fx=a2e2x(1)若a=3，求y=gx(2)若存在实数x∈0,1使fx>3【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=ax+(1)当a=e（e是自然对数的底数）时，求函数f(2)若∃x1,x2【考点3\o"利用导数研究函数图象及性质"\t"/gzsx/zsd28301/_blank"利用导数研究函数图象及性质】【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）作函数fx=【例3.2】（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知函数fx(1)若fx≥0在1,+∞(2)若a=-1，求证：函数fx的图象在函数gx【变式3.1】（2023下·四川乐山·高二期末）已知函数fx=e(1)求a；(2)若直线y=b与y=fx和y=g【变式3.2】（2023·河南开封·统考二模）已知函数fx=lnx图象上三个不同的点Mm,(1)求函数fx在点P(2)若PM=PN，探究线段MN的中点【考点4

导数在实际问题中的应用】【例4.1】（2023·全国·高二课堂例题）某企业要生产容积为Vm3的圆柱形密闭容器，如图，已知该容器侧面耗材为1元/m2，上下底面的耗材为1.5元/m2．问：如何设计圆柱的高度hm和上下底面的半径rm，使得费用最少？

【例4.2】（2023上·福建福州·高三校考期中）福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P和栈道PA、PB、PC、AB，观景台P在半圆形的中轴线OC上（如图，OC与直径AB垂直，P与O,C不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知AB=200米，∠PAB=θ，栈道总长度为L．

(1)求L关于θ的函数关系式．(2)若栈道的造价为每米5千元，问：栈道PC长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．【变式4.1】（2023下·北京怀柔·高二统考期末）已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产x万件，需另投入成本px万元，假设该企业年内共生产该产品x万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且(1)求出年利润y（万元）关于年生产零件x（万件）的函数关系式（注：年利润=年销售收入-年总成本）；(2)将年产量x定为多少万件时，企业所获年利润最大.【变式4.2】（2023·全国·高二随堂练习）工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；(2)随着x的变化，y的变化有何规律？(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？模块四模块四课后作业1．（2023·四川资阳·统考模拟预测）给出下列四个图象：

函数fx=aA．①③ B．②③ C．②④ D．②③④2．（2023上·全国·高三专题练习）设函数f(x)=13x-lnxA．在区间(1e,1)B．在区间(1e,1)C．在区间(1e,1)D．在区间(1e,1)3．（2022上·广东广州·高三校考阶段练习）已知函数fx=2x-xlnx的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=1的对称点在kx+y-1=0的图象上，则实数A．-∞,1 BC．0,1 D．-4．（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数fx的导函数为f'x，且f'xA．fln3>3f0 B．f2<5．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）如图，正方形EFGH的中心与正方形ABCD的中心重合，正方形ABCD的面积为2，截去如图所示的阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥M-EFGH(A，B，C，D四点重合于点M)，当四棱锥体积达到最大值时，图中阴影部分面积为（

）

A．25 B．45 C．436．（2023上·辽宁·高三校联考期中）已知函数fx=sinx-2ax-axcosx，∀x≥0，A．14,+∞ B．0,14 C7．（2023·四川乐山·统考二模）若存在x0∈-1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．1e8．（2023上·湖北·高三校联考期中）已知函数fx=xexx≤0lnxxx>0，若关于A．-∞,-1C．0,1e D9．（2023上·四川德阳·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=mex+lnm,g(x)=lnx，若f(x)≥g(x)A．(-∞,1e] B．(0,110．（2023下·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）设函数fx与gx是定义在同一区间a,b上的两个函敉，若对任意的x∈a,b，都有fx-gx≤kk>0，则称fx与gx在a,b上是“k度和谐函数”，a,b称为“k度密切区间”．设函数fx=lnxA．-e-1,1 BC．1e-e11．（2023下·高二课时练习）已知函数fx=12x2+ln12．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx(1)当a=4时，求fx的极值及曲线y=fx在点(2)若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围13．（2023下·重庆南岸·高二校考阶段练习）学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池.如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O，C不重合)，其中