柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用基础知识：定理：如果为两组实数，则（*）当且仅当时等号成立。若，则不等式的等号成立的条件是。我们称不等式（*）为柯西不等式。证明：1）两个实数的柯西不等式的证明：对于实数，恒有，当且仅当时等号成立。如果则等式成立的条件是。证明：对于任意实数，恒有，而，故当且仅当时等号成立。不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有异于原点的两点，，由距离公式得：||，||||设与的夹角为，由余弦定理得。因为，所以，即，即当且仅当时等号成立，即共线时等号成立。这时有，即。（2）多元柯西不等式的证明：1）配方法：作差：因为所以，即即当且仅当即时等号成立。3）利用判别式证明（构造二次函数法）i)若，则不等式显然成立。ii)若至少有一个不为，则>对于任意的实数，总有,。当时，将以上个式子相加，有当时，上面的不等式对于所有的均成立。故有判别式即。当时，因为。故。同理可得。两式相乘，得即不等式的等号成立。不等式的等号成立，即时，有则关于的方程则有于是，即，即。5）用向量法证明设维空间中有二个向量，，其中为任意两组实数。由向量的长度定义，有,又由内积的定义，,是的夹角，且有。因||，故|，于是||即当且仅当||时，即与共线时等号成立。由共线可知即由以上，命题得证。柯西不等式的应用：典型例题：用柯西不等式推导点到直线的距离公式已知点及直线设点p是直线上的任意一点，则（1）（2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得：即（3）当且仅当（3）式取等号即点到直线的距离公式即解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。证明不等式例2已知正数满足证明证明：利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故求最值例4已知实数满足，试求的最值解：由柯西不等式得，有,即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程解：由柯西不等式，得①又即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得6）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记，，则，，由柯西不等式有，当时，此时，，为常数。点均在直线上，当时，即而为常数。此时，此时，，为常数点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。例1：已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数，有不等式。证明：由柯西不等式：于是。又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的数不小于，最大的不小于，这样就有。所以有。因为而所以有。例2：设，则证明：证明：由柯西不等式，对于任意的个实数，有即于是。2）求函数的极值柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由可得，如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时，则可知的最大值与最小值分别是与，且取最大值与最小值的充要条件是。反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。例1：求函数的极值，其中是常数。解：故有。当且仅当时，即时，函数有极小值，极大值。例2：已知为常数，当时，求函数的最大值与最小值。解：由柯西不等式：故。当且仅当，即（为常数）时等号成立。将代入得则，即当时，分别为所求的最大与最小值。4）解三角与几何问题例1：在三角形中，证明。证明：由柯西不等式：即（1）因为故（2）又因为因而（3）将（3）代入（2）得（4）将（4）代入（1）得即。例2：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即，其中为三角形的三边长，为三角形的面积。证明：由海伦——秦九韶面积公式，其中。于是由柯西不等式，有当且仅当，即时等式成立。于是。变形得：。即（是三角形的面积）故有，当且仅当时等号成立。（2012湖北理）6．设是正数，且，，，则A． B．C．D．考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：★★解析：由于等号成立当且仅当则a=txb=tyc=tz，所以由题知又，答案选C.（2012·湖北卷）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则eq\f(a＋b＋c,x＋y＋z)＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)解析由柯西不等式得(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝10×40≥(ax＋by＋cz)2＝202，显然上