高等数学56-定积分的物理应用新

11三月2024高等数学56定积分的物理应用新5.9定积分的物理应用二.液体压力一.变力沿直线做功习例1三.万有引力四、函数的平均值与均方根习例2习例定积分的物理应用习例一、变力沿直线所作的功变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、克服阻力作功、万有引力作功、弹力作功等.解题思路：(1)适当选取坐标系及积分变量；(2)写出功元素dw的表达式；(以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得w.一、变力沿直线所作的功由于力的大小随物体所在的位置变化而变化，因此它是一个的函数，记为，并且假定在上连续。求变力在上所作的功？设物体在轴上运动，且在从移动到的过程中，一直受到跟轴的正方向一致的变力的作用，如图所示

考虑用定积分的元素法。选为积分变量，则(2)在上任取一小区间,当物体从移动到时，由于位移很小，变力近似于恒力，则在此小区间上变力所做功的元素为(3)变力在上所作的功为：

在弹性限度内，弹簧拉伸（或压缩）的长度与外力成正比，已知弹簧拉长0.02（m），需用9.8（N）的力，求把弹簧拉长0.1（m）所做的功。例1

设拉力为，弹簧的伸长量为则（为比例系数），从而有

在上任取一小区间，则在此小区间上变力所做功的元素为解即变力函数为：

如图建立坐标系，取为积分变量于是，拉力所做的功为

则在此小区间上变力所做功的元素为解建立坐标系如图。例2

在上任取一小区间问题：物体在变力F(x)的作用下，从x轴上a点移动到b点，求变力所做的功。用积分元素法1）在[a,b]上考虑小区间[x,x+x]，在此小区间上wdw=F(x)dx2）将dw从a到b求定积分，就得到所求的功

总结：变力沿直线所作的功习例1例3(1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？(2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？例4半径为R，比重为

(大于1)的球沉入深为H(>2R)的水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？例5

用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？习例解答解功元素所求功为点击图片任意处播放\暂停解建立坐标系如图习例解答这一薄层水的重力为功元素为(千焦)．习例解答例3(1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？(2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？解(1)如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为选x为积分变量，这一薄层水的重力为习例解答(2)如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为选y为积分变量，这一薄层水的重力为习例解答注意：也可建立另一如图所示的坐标系，则边界曲线方程为选x为积分变量，这一薄层水的重力为习例解答例4半径为R，比重为

(大于1)的球沉入深为H(>2R)的水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？解如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为选x为积分变量，将其取出水面总行程为H,在水中行程为H

2R

x,在水外行程为H

(H

2R

x)

2R

x,习例解答在水中作功的力为在水外作功的力为此时功元素为两部分之和(水中与水外)习例解答解设木板对铁钉的阻力为例5

用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？第一次锤击时所作的功为设

次击入的总深度为厘米次锤击所作的总功为习例解答依题意知，每次锤击所作的功相等．次击入的总深度为第次击入的深度为习例解答二、液体压力解题思路：(1)适当选取坐标系及积分变量；(2)写出液体压力元素dF的表达式；(以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得F.二、液体压力习例2解在端面建立坐标系如图习例2---解答习例2---解答解建立坐标系如图斜边方程为积分变量为小面积习例2---解答则在此小区间上闸门所受压力的元素为解在上任取一小区间例8一个竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐标如图所示，当水面齐闸门时，求闸门所受的压力？从而三、万有引力解题思路：(1)适当选取坐标系及积分变量；(2)写出引力元素dF的表达式；(以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得F.三、万有引力解建立坐标系如图将典型小段近似看成质点小段的质量为万有引力习例及解答小段与质点的距离为引力元素水平方向的分力元素万有引力习例及解答铅直方向的分力元素万有引力习例及解答设质点的质量为m,绕轴l转动，角速度为,则线速度为v=r,转动动能为E=1/2m(r)2=1/2J2转动惯量例求长为l,

=1的细杆关于y轴的转动惯量.xyol解

x(0,l)

,把小段[x,x+dx]视为质量集中于x处的质点，则

m=x=dxdJ=dmx2=x2dx四、转动惯量（J=mr2)例有一质量为M,半径为R的均匀圆片，求（1）对垂直圆面中心轴的转动惯量；（2）对直径的转动惯量。解（1）与轴等距离的点转动惯量相同故

x(0,R)

,视位于[x,x+dx]的小圆环质量是集中于x处的质点，dJ=dmx2=x2dA=（2）

x(0,R)

,视小细条[x,x+dx]的质量集中于x处，dJ=dmx2=

五、函数的平均值与均方根

1.平均值实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌.算术平均值公式只适用于有限个数值问题：求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：连续函数在区间上的平均值.讨论思想：分割、求和、取极限.(1)分割：每个小区间的长度设各分点处的函数值为函数在区间上的平均值近似为每个小区间的长度趋于零.(2)求和：(3)取极限：五、函数的平均值与均方根函数在区间上的平均值为几何平均值公式区间长度五、函数的平均值与均方根解设电阻为R,功率一个周期区间平均功率则电路中的电压为函数的平均值习例及解答结论：