第六章、网络综合基础

§6-1复频率与复平面§6-2

网络函数及其性质§6-3

霍尔维茨多项式§6-4

无源性和正实函数§6-5

归一化和去归一化第六章网络综合基础§6-1复频率与复平面

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傅立叶变换对拉普拉斯变换对

复频率

将正频率推广到负频率将实频率推广到复频率

——复频率通过拉普拉斯变换将电路的微分方程转换为代数方程，便于求解。用来标记复频率s的复数平面就称为复平面或s平面。

复平面

§6-2网络函数及其性质

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在单一激励的线性非时变电路中，网络函数定义为零初始状态下，响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比，并用符号H表示。设激励e(t)的拉普拉斯变换为E(s)，响应r(t)的拉普拉斯变换为R(s)，则网络函数为

网络函数的定义和分类

激励响应激励与响应的位置关系网络函数类型电流源电压激励与响应在同一端口驱动点阻抗（函数）Z(s)电压源电流激励与响应在同一端口驱动点导纳（函数）Y(s)电流源电压激励与响应不在同一端口转移阻抗（函数）电压源电压激励与响应不在同一端口转移电压比（函数）电流源电流激励与响应不在同一端口转移电流比（函数）电压源电流激励与响应不在同一端口转移导纳（函数）网络函数的定义和分类驱动点函数实质上是描述单口网络外部特性的量，而转移函数则是描述双口网络传输特性的量。网络函数的性质

1网络函数是s的是系数有理函数N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式，、均为实数。（线性、集总、非时变网络）

2网络函数的零点和极点对轴对称——零点——极点标示了网络函数零、极点位置的s平面称为网络函数的零、极点图。通常用“º”表示零点，用“

”表示极点。网络函数的性质

3网络函数的的极点与网络稳定性的关系稳定网络是指当网络加上冲激后，其响应是有界的，而不是无限大。无源网络是稳定网络。

若冲激响应是有界的，则网络就是稳定的，否则就是不稳定的。稳定网络的H(s)应具有如下形式：、、均为非负实数分子多项式的幂次最多比分母多项式的幂次高一次。网络函数的性质

右半开平面：不包含纵轴的右半平面。网络函数的性质

严格霍氏多项式：根只在s左半开平面的实系数多项式。霍氏多项式：根不在s右半开平面，且无重根的实系数多项式叫做霍尔维茨（Hurwitz）多项式，简称霍氏多项式。广义霍氏多项式：根不在s右半开平面，但具有轴单根的实系数多项式。线性、集总、非时变网络稳定时，其网络函数应具有如下性质：（1）必须是s的实系数有理函数。（2）分母多项式必须是霍氏多项式。（3）分子多项式的幂次最多比分母多项式高一次。如果网络函数的极点全在左半平面，零点全在右半平面，且零点和极点对虚轴对称，则称这样的函数为全通函数，其所对应的网络称为全通网络。如果网络函数的零点只在左半平面，则称其为最小相移函数，否则称为非最小相移函数。其所对应的网络分别称为最小相移网络和非最小相移网络。

全通网络、最小相移网络和非最小相移网络

全通函数的幅频特性，所以，全通网络可作为相移或时延网络。一个非最小相移函数总可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积。

全通网络、最小相移网络和非最小相移网络

H(s)只具有左半平面的零、极点。H2(s)只具有左半平面的零、极点，是最小相移网络。

全通函数§6-3霍尔维茨多项式

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n阶霍氏多项式可写为如下一般形式：(1)严格霍氏多项式的最高幂次项与最低幂次项之间不能有缺项，且系数为正。(必要条件）

霍尔维茨多项式的性质(2)广义霍氏多项式可以缺常数项、奇次项或偶次项。(3)将严格霍氏多项式分解为偶部和奇部之和，即则偶部与奇部之比，或奇部与偶部之比展开成连分式时，所得各商数项都为正。即

因为所有商数均为正数，所以P(s)是一个严格霍氏多项式。

试判断是否为严格霍氏多项式。霍尔维茨多项式的检验解例5－2P(s)的偶部和奇部分别为

利用辗转相除法可得

检验多项式是否为霍氏多项式最直接的方法是求出多项式的根。如果各个根的实部均为负值，则该多项式一定是严格霍氏多项式；如果某些根的实部为负，某些根的实部为零，则是广义霍氏多项式；否则就不是霍氏多项式。当M(s)和N(s)有公因式时，会使相除的次数减少，则一定不是严格霍氏多项式，但是否为广义霍氏多项式，需要进一步分析公因式的根。如果根全为纯虚数，即在虚轴上，则是广义霍氏多项式，否则就不是霍氏多项式。霍尔维茨多项式的检验§6-4无源性和正实函数

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由R、L、C、M等无源元件组成的网络，其驱动点函数是有理正实函数，这是无源单口网络可以实现的充分必要条件，是无源网络综合的基础。

如果F(s)又是有理函数，则称其为有理正实函数。如果函数F(s)满足:(1)当s为实数时，F(s)也为实数；(2)当

时，则就称其为正实函数，简记为P.r.。

无源网络驱动点函数的正实性质

是有理正实函数。

正实函数的性质

1正实函数的倒数也是正实函数

证明

假定F(s)是正实函数，则它必满足条件(1)和(2)。因此(1)当s为实数时，因为F(s)为实数，所以，其倒数也为实数，即满足条件(1)。(2)设，则有因为当时有，所以由上式可知，即满足条件（2），性质得证。2正实函数之和仍为正实函数

正实函数的性质

3正实函数的复合函数仍为正实函数

设F(s)和f(s)都是正实函数，则其复合函数F[f(s)]也是正实函数。证明

当s为实数时，f(s)为实数，所以，F[f(s)]也为实数，满足条件（1）。

当时，，从而，满足条件（2）。所以，复合函数是正实函数。正实函数条件的等价条件

(a)当s为实数时，也F(s)为实数；

(b)

，即在虚轴上F(s)的实部大于等于零；

(c)F(s)在s的右半平面内解析，即:（i）极点不能在s的右半开平面，（ii）若虚轴上有极点，则这些极点应为单阶且其留数为正实数。正实函数的检验

条件(b):先将分子、分母多项式的奇部和偶部分开，如果、为负，则一定不符合条件(b)，因此，不需再进一步检验。而如果P(x)中的所有系数均为正，则P(x)必然非负，F(x)符合条件(b)。如果除、为正外，其他某些系数为负，则必须要求P(x)在除原点外的正x轴上不能有奇数个根才能保证对所有都有。偶数个根和复数根是允许的。

条件（c）:先看s的右半平面是否有极点，这可以通过检查有理函数的分母多项式是否是霍氏多项式来判断；其次看虚轴极点是否单阶且有正留数，这可将有理函数展开成部分分式后加以确定。正实函数的检验

三个极点的留数都是正实数，所以条件(c)满足。因此F(s)是正实函数。正实函数的检验解例5－5条件(a)显然满足。

检验是否是正实函数。由于，所以，从而，因此条件(b)也满足。F(s)的分母显然是霍氏多项式，其根为。§6-5归一化和去归一化

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归一化频率

归一化频率归一化——频率归一化因子，无量纲的量

——实际频率