2023-2024学年高一数学幂函数8种常见考法归类（解析版）

6.1幕函数8种常见考法归类

解题策略

1.幕函数的概念

我们把形如丁=y的函数称为募函数，其中x是自变量，a是常数.

2.幕函数的图象和性质

(1)幕函数的图象

1

在同一平面直角坐标系中，嘉函数y=龙，y=j?,丁=步】的图象如图所示:

y二43

(2)事函数的性质

1

2y=x3l

尸Xy=x_2y=x~

y—x

定义域RRR[0,+°°)(一8,0)U(0,+°0)

值域R[0,+°°)R[0,+°°)(一8,0)U(0,+°0)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

在(一8,0］

在(-8,+在(-8,十在(-8,0)上是减函

上是减函数，在［0,+8)

单调性8)上是增函8)上是增函数，在(0,+8)上是

在［0,+8)上是增函数

数数减函数

上是增函数

定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)

注：(1)当a>0时，募函数丁=靖具有如下性质：

①函数的图象过点(0,0),(1,1).

②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间［0,+8)上是增函数.

⑵当a<0时，募函数y=产具有的性质为：

①函数的图象都过点(1,1).

②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0,+8)上是减函数.

n

3.对于形如/(%)=尤"(其中机GN*,"GZ,机与W互质)的幕函数

(1)当W为偶数时，/(X)为偶函数，图象关于y轴对称；

(2)当m,w都为奇数时，犬x)为奇函数，图象关于原点对称；

(3)当初为偶数时，%>0(或xNO),/(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点

处)

4.露函数的概念

判断一个函数是否为赛函数的依据是该函数是否为y=%«(a为常数)的形式，需满足：①指数

为常数，②底数为自变量，③;1a系数为1.形如y=(3x)。，、=2产，、=尸+5…形式的函数都不

是露函数.反过来，若一个函数为幕函数，则该函数也必具有这一形式.

注：求嘉函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为人%)=产，根据条件求出a.

5.作基函数图象的步骤如下：

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若塞函数的定义域为(0,+oo)或［0,+co),作图已完成；

若在(-8,0)或(-00,0］上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

6.解决赛函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断赛的指数大小，相关结论为：

①在(0,1)上，森的指数越大，赛函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1,+8)上，

幕的指数越大，赛函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定赛的指数a与0,1的大小关系，即根据露函数在第一象限内的图象(类似于y

1

=x~l或或y=%3)来判断.

7.比较幕值大小的两种基本方法

(

两当森的指数相同时，可直接利用系函数的单

调性来比较

|#犷|

法当属的指数不相同时，可以先转化为相同赛

〕指数，再运用单调性比较大小

8.赛函数性质的综合应用

赛函数y=x«中只有一个参数a,幕函数的所有性质都与a的取值有关，故可由a确定赛函数

的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制a的取值.

第二署

高频考点

考点一事函数的概念考点五由募函数单调性比较大小

考点二基函数定义域和值域问题考点六利用暴函数单调性解不等式

考点三募函数的图象及应用考点七利用事函数单调性求参数

考点四塞函数过定点问题考点八暴函数性质的综合应用

考点一篇函数的概念

1.【多选】（2023上•四川广安•高一校考期中）下列选项中哪些是累函数（）.

A.y=xeB.y=(2x)2

cy=l

,J2D.y--x2

X

【答案】AC

【分析】由事函数的定义依次判断各项即可.

【详解】因为幕函数定义：一般地，函数y=叫做事函数，其中x是自变量，。是常数,

又y=3=1

,所以A项、c项正确.

故选：AC.

2.【多选】(2023上•陕西咸阳•高一统考期中)下列函数为幕函数的是()

A.y=2x，B.y=x3C.y=(x+l)2D.y=x-1

【答案】BD

【分析】根据幕函数定义求解.

【详解】根据幕函数的定义知，y=x1y=/是幕函数，y=2x；y=(x+l)2不是事函数.

故选：BD

3.(2023・全国•高一专题练习)判断下列函数是不是基函数？

⑴y=/；

⑵y=2x2；

(3)1；

(4)y=尸;

(5)y=x3+x2；

(6)y=(x+1)2.

【答案】⑴是

⑵不是

(3)不是

⑷是

(5)不是

(6)不是

【分析】根据幕函数的定义判断.

【详解】(1)y=/是塞函数，

(2)>=2/不是幕函数，

(3)y=3”不是塞函数；

(4)>是塞函数，

(5)y=/+无2不是塞函数，

(6)y=(x+l>不是塞函数，

4.(2023上•四川成者B•高一四川省成都列五中学校考期中)已知幕函数y=/(x)的图象过点,则/(3)

的值为（）

A.9B.3C.V3D.-

【答案】A

【分析】设y=/（x）=x",根据/=g求出a,即可求出函数解析式，再代入计算可得.

【详解】设＞=/（力=y，则/[¥[=[=g，所以&=2，

贝Ij/（x）=x2,所以"3）=32=9.

故选：A

5.（2023上•河南•高一校联考期中）若幕函数/（x）=/的图象过点（2,0）,则实数加=（）

A.2B.3C.-1D.1

【答案】D

【分析】将点的坐标代入求解即可.

【详解】幕函数/的图象过点（2,夜），

所以42）=2小=应，故小=，

故选：D

6.（2023上•新疆克孜勒苏・高三统考期中）已知幕函数的图象经过点口，则/⑻的值等于.

【答案】1/0.125

O

【分析】设基函数〃X）=x〃，代入点计算。=-1,计算得到答案.

【详解】设幕函数/（"=/，则”5）=5。=4,故a=-l,即/⑺=/，/（8）=1,

58

故答案为：:

o

7.（2023上•重庆•高一重庆市实验中学校联考期中）已知事函数/（©=/,且〃2）=8/。），则实数/（-2）=

（）

A.-8B.-9C.8D.9

【答案】A

【分析】首先代入求出。的值，即可得到函数解析式，再代入求值即可.

【详解】因为/■（x）=x",且"2）=8/⑴，即20=8x1“，解得a=3,

所以/（x）=d则〃_2）=（-2）3=_8.

故选：A

8.（2023上•河北邢台・某中学校联考阶段练习）若幕函数〃到="3卜"的图象过点（6

贝l]a=.

【答案】2

【分析】根据幕函数的解析式和性质，求的解析式进而可得函数值

【详解】由题意得—3=1,贝卜=4,由3）=（也）°=；=2,得a=2.

故答案为：2.

9.（2023上•河南南阳•高一统考期中）基函数〃x）=,2-2a+2）f（a>0）的图象经过点（2,4）,则a+6=

【答案】3

【分析】根据幕函数的定义可求出。的值，再由/（2）=4可求出6的值，由此可得出a+b的值.

【详解】因为幕函数〃%）=（/-2“+2产（4>0）的图象经过点（2,4）,

则2a+2=l,即（a—1）~=0,可得a=l,则〃x）=x",

又因为〃2）=2〃=4,解得6=2,因此a+b=3.

故答案为：3.

10.（2023上广东湛江・高一统考期中）已知塞函数/@）=（〃一1々+£|产的图象经过第三象限,则&=

【答案】3

【分析】根据幕函数的定义及常见累函数的图象求解即可.

751

【详解】由题意，^a2--«+<=l,解得a=彳或&=3.

222

1।

当[=5时，/（同=丁=石的图象不经过第三象限，不符合题意.

当a=3时，/（x）=Y经过第三象限，符合题意.

故答案为：3.

考点二篇函数定义域和值域问题

11.（2023上•江苏南京・高一南京师大附中校考期中）已知事函数/（无）=x"+2，”的定义域为R,且加eZ,

则加的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据募函数定义域得到不等式，结合meZ求出机=1,检验后得到答案.

【详解】因为累函数的定义域为R,故-加+2〃?>o,

解得0<〃z<2,

又〃zeZ,所以m=1,

检验，zn=l时，-用+29=1,即/（x）=x,满足题意.

故选：C

1

12.（2023上•湖南益阳•高一统考期末）函数/（%）=丁1+/的定义域为（）

A.（-oo,+oo）B.（-a?,0）U（0,+oo）

C.[。,+8）D.（0,+<x>）

【答案】D

【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于犬的不等式组，由此可解得原函数的定义域.

,li/—fxwO

【详解】因为/（切=犷1+二=：+&,贝Mx>0，可得尤>0，

故函数〃尤）的定义域为（0,+"）.

故选：D.

13.（2023上・广东广州•高一广州市第二中学校考期中）塞函数/⑴图象过点[2,亭]，则y=f（x）+/（2-附

的定义域为（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2]D.（-2,2）

【答案】A

fx>0

【分析】设出幕函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到。।।八，解得答案.

[2-|x|>0

【详解】设塞函数为f（x）=x"，贝1"2）=2"=亨，故。=4,〃尤）=/，

则的定义域为（O,+8）,

।[x>0

故y"(无)+/(z2-国)满足12Tx>0,解得0<x<2.

故选：A

14.（2023上•黑龙江绥化•高一校联考期末）函数/（x）=（尤-ly+J」一的定义域为（

)

Vx+2

A.(1,+8)B.(—2,+oo)C.(-+8)D.R

【答案】B

【分析】求使函数有意义的光的取值范围可得答案.

【详解】由已知」>0解得无>-2,所以八x）的定义域为（-2,+8）.

故选：B.

3

15.（2023上•上海静安•高三上海市市西中学校考期中）函数y=（3x-2）W的定义域为.

【答案】（]”）

【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.

【详解】由y=（3尤-2）73,使得式子有意义，贝lj3x-2>0,则定义域为（右2口）.

2

故答案为：（->+°°）

._____________1

16.（2023上•北京•高三北师大实验中学校考阶段练习）函数/（%）=J-/+2工+3+『3的定义域

是.

【答案】[T0）（0,3]

【分析】利用具体函数定义域求法可令根号下的式子大于等于0,且分母不为0,解不等式即可求出定义域.

【详解】易知"X）=J4+2X+3+方-/+2x+320

,要使式子有意义则需满足

五w0

-l<x<3

解得

x。0

所以函数“X）的定义域为（0,3].

故答案为：卜1,。）（0,3].

1

17.(2023下•山东日照•高二校考期末)已知幕函数y=〃力的图象过点(4,2),则G*定义域为

【答案】(-8,；)

【分析】首先求幕函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.

【详解】•••y=/(x)=xQ'的图象过点(4,2),=〃1_2x)=Ji'x；X应该满足：1一2》＞。,

即..•舟词的定义域为「双

故答案为：巩万]

m2+4zn+3

18.(2023上•上海青浦•高一上海市青浦高级中学校考期中)若幕函数丫=+的定义域为R,

求实数加的值.

【答案】1

【分析】由幕函数的概念建立方程，再验证定义域是否为R.

m2+4m+3

【详解】因为＞=("/+根.1)”^^是事函数，

所以苏+根-1=1,解得m=1,或根=-2.

当机=1时，y=爹，即尸而，定义域为R,满足题意；

当机=-2时，＞=＞,即"R，定义域为(-8,o)(o，+8),故不满足题意.

综上所述，实数加的值为L

4

19.(2023・全国•高一课堂例题)(1)函数丫_必的定义域是,值域是

(2)函数y=xq的定义域是，值域是；

3

(3)函数y=R的定义域是，值域是；

3

(4)函数y=的定义域是,值域是.

【答案】R[0,+oo)(-oo,0)u(0,+oo)(0,+ao)[0,+oo)[0,+oo)(0,+(»)

(O,+＜®)

【分析】(1)(2)(3)(4)将分数指数幕化成根式形式，依据根式有意义求定义域.

4

【详解】(1)y=/=泞的定义域为R,

因为无420,所以疗20，所以值域为［0,+8).

21

⑵y=

由在W0,得xwO,所以定义域为(-8,0)U(0,+s),

由正＞0，得彳g＞。，所以值域为(。,+8).

3__

(3)y=x^=V?

由炉20,得XNO,所以定义域为［0,+8),

因为d20，所以正20，所以值域为［。,+°°).

41

(4)y=x4=-r=,

由_?>0,得x>0,所以定义域为(0,+“)，

因为/>0,所以正>0，则/r>°，所以值域为(°，+°°)-

故答案为：R,[0,+℃>),(―oo,0)U(0,+co),(0,+8),[0,+oo),[0,+℃),(0,+«?),(0,+动

20.(2023・上海•高一专题练习)研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象.

⑴y=H；

5

⑵y=xE；

i

(^3)丫=/；

3

(4)y=x2.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)答案见解析；

(4)答案见解析.

【分析】将嘉函数化为根式的形式，分析其定义域和值域，由奇偶性的定义判断其奇偶性，由指数的正负

结合幕函数的性质先判断出函数在第一象限内的单调性，再根据奇偶性得出单调区间，作出其大致图象.

【详解】(1)、=婚，设/⑺=/=二，定义域：(_^o)U(O,+«);

因为g＞0,所以值域为（0,+8）,显然/（x）=f（T）,"X）为偶函数，图象关于y轴对称;

在＞=无，中，-2＜0,/（X）为偶函数，所以在（-8,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减.

由6f。，所以值域：（F,0）U（0,4w）；

由g（x）=-g（-x），所以g（x）为奇函数，图象关于原点对称；

在”一中，3＜。，g（x）为奇函数，所以在（-8,0）上单调递减，在（。,+巧上单调递减.

11

（3）y=W，设//（＞）=/=g，定义域：R，值域：R;

由h（x）=-h（-x）,所以//（可为奇函数，图象关于原点对称；

在y=）中，J＞。，MX）为奇函数，所以在（口,口）上单调递增.

33__

（4））=妙，设夕（尤）=?=1/，由无3NO得定义域：［0,+8）,值域：［0,+8）；

因为定义域：［。,+e）,所以夕（天）非奇非偶函数，图象不具备对称性；

3

在y=/中，（3>0,定义域为［o,+8）,所以°（x）在［0,+司上单调递增.

/2

21.（2023上•湖北襄阳•高一统考期末）下列函数中，值域为（0,+8）的是（）

A./（x）=VxB.尤）=尤+,0>0）

C./（x）=jJ［D.y（尤）=1—：（尤>1）

【答案】C

【分析】根据函数的定义域、幕函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即

可.

【详解】由已知=«值域为［0,+8），故A错误；

x>0,f（x）=：x+—>2.XX--2,x=1时，等号成立，所以〃x）=x+乂尤>0）的值域是［2,+8）,B错误;

XVxx

'"）=WzT因为定义域为无«一1'+8）'Vx+T>o,函数值域为（。,+8）,故c正确；

/（x）=1—（x>1）,—€（0,1）,£（一1,。），所以/（%）£（。」）,故D错误.

九XX

故选：C.

21

22.（2023•高一课时练习）函数y=Q+2/+4,其中苫…-8,则其值域为.

【答案】［3,+s）/@W3）

【分析】用J用换元法将函数化为>=产+2/+4=。+1）2+3,结合二次函数的性质即可得出结果.

【详解】设一），则y=产+2f+4=«+l）2+3.因为无…-8,所以心..-2.当t=T时，/。=3.所以函数的值

域为［3,+8）.

故答案为：［3,+8）

23.（2023下•上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知函数干若函数一⑺的

［尤，尤>a

值域为R,则实数。的取值范围为.

【答案】［0』

【分析】判断y=孤单调递增，讨论“<0或根据分段函数的值域可得。20且/总妫，解不等式即

可求解.

【详解】由函数y=正单调递增，

①当a<0时，若有电cS也<0,

而尤220,此时函数/（X）的值域不是R；

②当a20时，若有也4妫，而

若函数Ax）的值域为R,必有a2M板,可得OVaVl.

则实数。的取值范围为［0,1］

故答案为：［0』

2

24.（2023・高一课时练习）（1）使用五点作图法，在图中画出了（x）=#的图象，并注明定义域.

42

(2)求函数〃(尤)=/—2x3一3的值域.

【答案】(1)作图见解析，定义域为R；(2)［Y,y).

【分析】(1)根据函数解析式，求出图象上的五个点坐标，描点即可画出图象，观察解析式即可得出定义

域；

(2)设点SO,从而有M*)=根⑺=〃—2r—3=(…l)2—4NT,即可得出无(x)的值域.

2,_

【详解】解：(1)由于〃*)=声=浮，

则"0)=0，/(-1)=/(1)=1,〃_8)=〃8)=存=4,

2

所以〃力=必过点(0,0),(-1,1),(1,1),(-8,4),(8,4),

2

故7(x)=#的图象，如图所示，函数的定义域为R；

42

(2)由题可知力(%)=元§—2/—3，

27

设户=.>0,则/z(x)==/-2，-3=(/—1)—4>—4,

当，=1时取等号，故M%)的值域为［te).

考点三指函数的图象及应用

25.(2023上•上海嘉定•高一校考期中)图中C］、C”G为三个暴函数V=在第一象限内的图象，则解析

式中指数a的值依次可以是（)

【分析】利用特值验证即可区分出三个基函数图象分别对应的指数a的值.

【详解】在题给坐标系中，作直线x=g,分别交曲线C3，g，G于A、B、C三点

则以＜力＜/，又（口=；＜¥=gj＜2=gj

则点A在暴函数y=V图像上，点B在褰函数＞=X：图像上，

点C在累函数＞=厂|图像上，

则曲线C1C，G对应的指数分别为T,g,3

26.（2023上•广东广州•高一广州空港实验中学校考期中）下图给出4个事函数的图象，则图象与函数大致

对应的是（）

B.①y=V,②y=*,③>=婷，@y=xi

C.①y=②y=③y=/，④)=彳5

-1

D.①y=V,@y=xi,④y=x2,®y=x

【答案】A

【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像.

【详解】嘉函数y=%3的定义域为R,且为奇函数，在（0,+8）上单调递增，对应图像①;

累函数y=r的定义域为R,且为偶函数，在（0,+8）上单调递增，对应图像②；

暴函数y=%的定义域为［0,+0，为非奇非偶函数，在（0,+8）上单调递增，对应图像③；

幕函数y=x-的定义域为（T,0）U（0,+W）,且为奇函数，在（0,+8）上单调递减，对应图像④；

故选：A.

27.（2023上•四川成都•高一校考期中）若幕函数AM的图像经过点［2,则Ax）的图像可能是（）

【答案】D

【分析】函数/（无）=尤0,代入图像经过的点，求得a的值，分析函数性质，选择函数图像.

【详解】设备函数〃x）=x",因为图像经过点（2,：）,

所以2。=：,解得£=-2,则此募函数的表达式为〃x）=F.

募函数/（x）=x-2=5，函数定义域为（T,O）U（O,E）,在（。,+s）上单调递减，

/（-x）=Vr=g="x）,函数为偶函数，图像关于了轴对称，

（t）》

只有D选项符合.

故选：D

]

28.（2023上•浙江•高一校联考期中）塞函数〃"=户丽工eN*）的大致图像是（）

【答案】B

【分析】由幕函数的定义域和单调性判断图像形状.

]

【详解】•."wN*时，〃（〃+1）为偶数且大于0,，/（*=苫而的定义域为[°，+8），且在定义域上单调递

只有B选项符合条件.

答案:B.

29.（2023上•上海青浦•高一统考期末）幕函数y=x-2的大致图象是（）

【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.

尸=*定义域为{x|xw0},目.〃T)=［斤=B=〃x),

【详解】幕函数y=/（x）

所以y=/（X）="2为偶函数，函数图象关于y轴对称,

又当xe（0,y）时y=〃尤）=尤-2单调递减，则y=/（X）=X-2在（-8,0）上单调递增,

故符合题意的只有c.

故选：c

1

30.（2023上•浙江•高一校联考期中）函数〃力=|尤|3的图象大致为（）

【答案】C

【分析】判断出/（x）=|x«的奇偶性，结合幕函数的图象得到答案.

【详解】/（X）=国5的定义域为R,又/（—x）=卜#=国5=/（尤），

故〃尤）=|中为偶函数，

当x>0时，/（彳）=#，结合塞函数的图象可知，C正确.

故选：C

31.【多选】（2023上•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考期中）在同一坐标系下，函数y=x"与、="+1在

其定义域内的图像可能是（）

【答案】AB

【分析】根据幕函数以及一次函数的性质即可求解.

【详解】若。<0,则直线、=依+1和函数y=x。均为（0,+8）上的单调递减函数，故可排除CD；

当a=—2,此时y=-7,>=-2尤+1满足图象B,

X"

若。>0,则直线、=分+1和函数y=x"均为（。,+8）上的单调递增函数，比如a=2时，此时A选项中的图

象满足，

故选：AB

32.（2023上•山东青岛•高一校考阶段练习）函数〃力=依2+2》+1与g（x）=x〃在同一直角坐标系中的图象

不可能为（）

【分析】利用二次函数的图象得出。的正负，结合幕函数特点可得答案.

【详解】对于A,二次函数开口向下，所以“<0,此时g(x)=x"与图中符合；

对于B,二次函数开口向上，所以。>0,此时g(x)=/在(0,+动为增函数，不符合；

对于C,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x"在(0,+。)为增函数，符合；

对于D,二次函数开口向上，所以。>0,此时g(x)=x"在(0,+8)为增函数，符合；

故选：B.

33.(2023上•江西南昌・高一南昌大学附属中学校考期中)已知幕函数〃x)=(苏+〃-1卜"'的图像与坐标轴

没有公共点，则/(2)=()

A.JB.&C.—D.2^2

【答案】C

【分析】由幕函数的定义得出加的值，结合“元)的图像与坐标轴没有公共点，确定义龙)，代值计算即可得

出答案.

【详解】因为/*)为幕函数，

所以加2+根—1=1,即m2+m-2=(m+2)(m-l)=0,解得加=-2或根=1,

则/(%)=%一2或/(九)=%,

又因为的图像与坐标轴没有公共点,

所以7(x)=x-2,则“2)=2-2=1，

4

故选：C.

34.(2023上•上海黄浦•高一格致中学校考期中)已知函数丫=("-加-1)--2小是累函数，且函数图象不

经过第二象限，则实数用的值为.

【答案】2

【分析】根据函数为幕函数，可列式加一机_i=i,计算得"2的值，验证后即得答案.

【详解】由题意函数y=(苏-〃7-1)是幕函数，

故病一加一1二1,即加2—根一2=0,

解得m=2或相=-1,

当机=2时，>=/为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意；

当相=-1时，y=x2,其图象经过第二象限，不符合题意；

故机=2,

故答案为：2

35.(2023上•上海•高一上海市第二中学校考期中)塞函数y=/T乂加eZ)的图象关于y轴成轴对称，且与

无轴、y轴均无交点，求机的值.

【答案】0或2或4.

【分析】由幕函数与x轴、y轴均无交点得疗-4加40,再根据meZ求出用的值，结合幕函数的图象和性

质分类验证是否满足题意即可.

【详解】由事函数y=/一.(“EZ)的图像与X轴、y轴均无交点，

得加2_4根40，解得XmeZ,

所以m=0,1,2,3,4.

当机=0或4时，y=巴定义域为(一8,0)(0,+oo),

即函数y=i(xwo),其图象关于y轴对称，满足题意；

当根=1或3时，y=x”,即丁=4，

设〃x)=1,由/(1)=1,/(—1)=一1>/(1),

故其图象不关于y轴对称，不满足题意;

当〃z=2时，片婷，即y=\,定义域为（y,0）（0,+®）,

X

设g（X）=F，则g（T）=（_x）4=7=g（X），

故/a）是偶函数，则图象关于y轴对称，满足题意.

综上所述，机=0或2或4.

考点四赛函数过定点问题

36.（2023下•山西朔州•高一校考阶段练习）幕函数y=（a是常数）的图象一定经过点（）

A.（0,0）B.（1,1）C.（-1,1）D.（1,-1）

【答案】B

【分析】根据幕函数的图象和性质即可确定答案.

【详解】由题意可知当x=l时，＞=1,此时函数值与a取何值无关，

故幕函数y=x°（。是常数）的图象一定经过点（L1）,

故选：B

37.（2023上广东东莞•高一校考期中）函数尸X—2g为常数）的图象过定点.

【答案】（1,-1）

【分析】利用1。=1求得正确答案.

【详解】当x=l时，y=la-2=-l,

所以定点为（1,-1）.

故答案为：（1,-1）

38.（2023上•上海静安•高一上海市市西中学校考期中）不论实数。取何值，函数y=（x-l）"+2恒过的定点

坐标是.

【答案】（2,3）

【分析】根据1"=1，即可知y=（x-l）"+2恒过定点（2,3）.

【详解】因为1"=1，故当x—1=1,即x=2时，y=3,

即函数丫=（》-1）0+2恒过定点（2,3）.

故答案为：（2,3）.

39.(2023上•福建莆田•高一校考期中)已知函数y=的图象恒过定点A,若点A在一次函数V=〃a+〃的

图象上，其中加>0,n>0,则'+'的最小值为.

mn

【答案】4

【分析】求出函数>=》。的图象恒过定点AQ1),得到根+〃=1,使用基本不等式求工+工的最小值.

mn

【详解】函数y=%a的图象恒过定点41,1),所以根+〃=1,

因为根,〃〉0,所以一+—=(一+一)(m+〃)=2+—+—=2+2J—X—=4,

mnmnnm\几m

当加=〃=1时，,+」的最小值为4.

2mn

故答案为：4

考点五由赛函数单调性比较大小

40.(2023上•北京•高一北京十四中校考期中)设©"ceR,且Q>〃，则()

A.ac2>be2B.—<C.a2>b2D.a3>b3

ab

【答案】D

【分析】根据不等式的基本性质，以及函数y=d的单调性，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，当。=0时，可得比2=儿;2,所以A不正确；

对于B中，由=因为。>6,则a<0,但而符号不确定，所以B错误；

对于C中，例如。=11=-2,可得/<凡所以c错误；

对于D中，由函数y=d为单调递增函数，所以/>/,所以D正确.

故选：D.

41.(2023・全国•高一课堂例题)比较下列各组中两个数的大小：

(1)1531.6%

(2)1,5。4,1.604；

(3)1.5-5,16”.

【答案】(1)154<164

(2)1.5。4<1.6。-4

(3)1.5一“>16”

【分析】利用募函数的单调性，比较函数值的大小.

【详解】（1）15”,16"可看作募函数y=/的两个函数值.该函数在［0,+向上递增，由于底数1.5<1.6,

所以1.5「4<1.6工

（2）1.5°4,1.6°”可看作幕函数y=x°4的两个函数值.该函数在［0,+8）上递增，由于底数1.5<1.6,所以

1.504<1,60-4.

（3）1.5一巴1.6*可看作幕函数y=的两个函数值.该函数在（0,+8）上递减，由于底数1.5<1.6,所以

1.5-1-5.

422

42.（2023上•重庆・高一西南大学附中校考期中）已知Q=2§/=43C=3§，则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】c

【分析】利用募函数的单调性判定即可.

2

【详解】由y=W（x>（））单调递增，

242

则可知c=3§<4=2=43，

由y=%i"x〉0）单调递增，

（2、15（2

63221510522

又加5=45=4=（4）=64,C==3=（3）=243,可得b<c

所以.

故选：C.

221

43.（2023上•广东佛山・高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）若〃=&『，TOc=U'则"、

b、c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】利用幕函数y=涓在第一象限内是增函数，即可判断。，瓦C的大小.

2212

【详解】因为a=,『，b=cjqm

2112

又丁=/在第一象限内是增函数，-<-<->

222

所以<]!)3,gp/?<6Z<c>

故选：D.

i

44.（2023上•云南昆明•高一云南师大附中校考期中）已知幕函数了（%）=#，且Ov，＜〃vl,则下列选项中正

确的是（）

A）（叫■⑹胃小心"什/（叫

B.

c./（叫“⑺M门oD.小卜，（叫＜弓H⑺

【答案】C

【分析】根据函数单调性及二＞:＞1＞62＞片＞0,比较出大小关系.

ab

【详解】因为g＞o,所以“X）在（0,+8）上单调递增，

又因为Ovav^vl,

所以>-y>1>b2>a2>0,

ab

所以《"6》/伊)>小).

故选：C.

考点六利用赛函数单调性解不等式

45.（2023上•新疆•高一新疆实验校考期中）已知幕函数/（x）=xa（tzeR）的图象经过点［g,4）且

。（。+1）＜/（3）,则〃的取值范围为（）

A.[72,+OO)B.(-4,2)LJ(2,+co)C.(-4,2)D.(f,Y)u(2,E)

【答案】D

【分析】先将点代入/（幻=严，解得。=-2,再利用事函数的性质即可求解.

【详解】由题意可知，/（1）=（1r=4,解得，«=-2,

故/（尤）=/，其定义域为（T,0）U（0,y）,

所以/（x）=—在（0,+s）上单调递减,

因为〃-x)=(-x)-2==[=—=/(x),

所以为偶函数，

所以/(x)=/(|x|)，

所以由⑶,得•a+l|)</(3),

所以|a+l|>3,所以。+1<—3或。+1>3,解得，。<-4或々>2.

故〃的取值范围为(-°°,-4)u(2,+oo).

故选：D.

46.(2023上•陕西西安•高一陕西师大附中校考期中)已知函数〃x)=^+x+l,若“1-9)+"2〃2)>2,

则加的取值范围是()

A.(-l,+oo)B.(l,+oo)C.(-oo,-l)D.(-oo,l)

【答案】A

【分析】由题意构造函数g(x)=F(x)-l=^+x,首先得出g(x)的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等

价转换即可得解.

【详解】令g(x)=〃x)-l=V^+x，因为g(x)的定义域为R关于原点对称，且

g(-X)=+(-x)="Vx-x=-g(x),

所以g(x)是R上的奇函数，

注意到幕函数y=五,y=x都是R上的增函数，

所以g(x)是R上的增函数，

而/(1-/«)+/(2/7?)>2/(1-771)-1>一0g(1-m)>-g(2/n)=g(-2m),

所以1-加>-2m，解得机>-l,

综上所述，加的取值范围是(-L+s).

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式.

47.(2023・上海•高一专题练习)己知嘉函数〃力=/，若〃8-2a),则a的取值范围是.

【答案】(3,4)

【分析】根据幕函数的单调性和定义域求参数取值范围

_11

【详解】解：幕函数尤）=尤2=下，所以/（X）定义域为（0,+8）且在定义域上单调递减，

y/X

所以需满足”-l>8-2a>0,解得3<。<4,

故答案为：（3,4）.

48.（2023上•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期中）若嘉函数/（x）过点（-4,2）,则满足不等式

/（2-a）>/（2a-l）的实数。的取值范围是.

【答案】（-M）

【分析】根据事函数所过点得到/（X）为偶函数，在第一象限过（4,2）,从而求出解析式，根据幕函数单调性

得到不等式，求出实数。的取值范围.

【详解】幕函数〃尤）的图象过点（-4,2）,

为偶函数，在第一象限过（4,2）；

当xWO,设〃司=—则4。=2,解得1=（;

一、，2

••累函数/（%）=/（XER）,

22

由于彳>。，故f（x）=J（xeR）在xe[a+°°）上单调递增，

不等式〃2-4）>/（24-1）0川2-附>/（3-力0|2-4>&-1|,

平方得4—4。+/>4储一4。+1,解得一1<1<1；

所以实数〃的取值范围是（-1,1）.

故答案为：（-1,1）

49.（2023