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文档简介

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.8以旋转为载体的几何综合问题大题专练(培优强化30题)

一、解答题

1.(2021・湖北武汉•九年级期中)【问题背景】如图1,尸为△ABC内一点,连PB、PC.贝IPC+PB<AB+AC.

小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”,延长交AC于E,就可以证明上面结论.请按小明的思路

完成证明过程;

【迁移应用】如图2,在△ABC中,ZBAO120°,P为△ABC内一点,求证:PA+PB+POAB+AC.

【拓展创新】己知△ABC中,BC=a,AB=c,AC=b,〃+b=4c,6a+3b=19c,P为△ABC所在平面内一点,

则出+PB+PC的最小值为(用含c的式子表示).(直接写出结果)

【答案】问题背景:见解析;迁移应用:见解析;拓展创新:y

【分析】问题背景:在△ABE中和中,分别利用两边之和大于第三边即可证明;

迁移应用:将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△D4Q,连接P。,BD,PD,可得△AP。是等边三角形,

则/BAC+/CAO>180°,则可证明;

拓展创新:首先可得a=g,6=m,作BTLCA,交CA的延长线于T,设AT=d,利用勾股定理得出NABT

=30°,将△APC绕点A逆时针旋转60°,则8、A、C共线,从而解决问题.

【详解】解:【问题背景】

证明:如图1,延长BP交AC于点E,

在AABE中,AE+AB>BE=BP+PE,

在中,PE+CE>PC,

:.AB+AE+CE+PE>PB+PE+PC,

:.AB+AC>PB+PC,

故:PC+PB<AB+AC;

【迁移应用】证明:如图2,将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△D4Q,连接P。,BD,PD,

图2

由旋转可得:△D4。丝△CAP,ZCAD=ZPAQ=60°,

:.AD=AC,AQ=AP,DQ=PC,

.•.△AP。是等边三角形,

:.PQ=AP=AQ,

VZBAO120°,

:.ZBAC+ZCAD>180°,

,由问题背景可知:在△BPO中,PB+PD>AB+AD,

在△QPD中,PQ+QD>PD,

:.PB+PQ+QD>AB+AD,

故:PA+PB+POAB+AC;

【拓展创新】解:由问题背景知,

Va+b=4c,6a+36=19c,

・7c75c

・・4=­,b=-,

33

作8T_LC4,交C4的延长线于T,设AT=d,

...(Z£)2=(%+d)2+c2-d2,

33

化简得,d=,c,

AZABT=30°,

:.ZBAC=nO°,

将△APC绕点A逆时针旋转60°,贝Ij3、A、C共线,

,PA+PB+PC=PB+PP'+P'C,

:.PA+PB+PC的最小值为AB+AC=C+y=y,

故答案为:y.

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系,等边三角形的判定与性质,旋转的性质等知识,熟练掌握三角

形三边关系进行转化是解题的关键,有一定的难度.

2.(2022•福建・上杭县第三中学九年级阶段练习)如图,在边长为8的等边△ABC中,点。是A8的中点,

点E是平面上4ABC外一点,且DE=2,连接BE,将线段EB绕点£顺时针旋转60。得到线段EF,连接AF,

CE.

备用图

(1)判断ABEF的形状,并说明理由;

⑵求证:AF=CE;

(3)当点。,E,尸在同一直线上时,请你在备用图中画出符合条件的图形,并求出此时8E的长.

【答案】(1八8跖是等边三角形

(2)证明见解析

(3)713-1

【分析】(1)根据旋转即可证明ABE/是等边三角形;

(2)由4班/是等边三角形,可得依=即,再证明/厂区4=/班0又因为所以可证明△FBA^/XEBC,

进而可得AF=CE;

(3)当点Z),E,尸在同一直线上时,过B作/于再在放△中利用勾股定理列方程求解即

可.

(1)

V将线段EB绕点E顺时针旋转60。得到线段EF,

:.EB=EF,NFEB=60°

ABEF是等边三角形

(2)

•.,等边△43(7和4BEF

:.BF=BE,AB=BC,AEBF=/.ABC=60°

;.4EBF+乙ABE=Z.ABC+乙ABE

即ZFBA=ZEBC

:./\FBA^/\EBC(SAS)

:.AF=CE

(3)

图形如图所示:

过B作尸于M,

,/ABEF是等边三角形

:.BE=2EM,BM=WEM

:点。是AB的中点,

BD--AB—4

2

在RtABMD中,BM2+DM2=BD2

•;DE=2

:.(V3EM)2+(EM+2尸=42

解得EM=二岁或EM=二>(舍去)

:.BE=2EM=713-1

【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理的运用,旋转的性质,等边三角形

的判定和性质,解一元二次方程,利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键.

3.(2022•福建・福州立志中学九年级阶段练习)已知乙4BC=90。,BA=BC,在同一平面内将等腰直角△ABC

绕顶点A逆时针旋转(旋转角小于180。)得△ADE.

图⑴图(3)备用图

⑴若AE//8O如图(1),求旋转角乙度数;

(2)当旋转角为60。时,延长网)与BC交于点R如图(2).求证:AC平分NZMF

⑶点尸是边BC上动点,将AP绕点A逆时针旋转15。到AG,如图(3)示例,设A8=BC=a,求CG长度最

小值(用含a式子表示)

【答案]⑴90。

(2)证明过程见详解

(3)"2a

【分析】(1)*AE//BD,推出“DB=45。,得△4BD为等腰直角三角形,即可得到答案.

(2)由旋转60。可推出NC4。=15。,再证AAB旌△ADF,再推角,即可证出.

(3)将AC绕点A逆时针旋转15。到AH,再证AAPC三△AGH,可知G在GM上动,由点到直线垂线段最

短可知,CG最小值为CF长.

(1)

解:ZABC=90°,BA=BC

J.Z.BAC=45°

由旋转可知AB=AD,乙BAC=/.DAE=45°

又,:AEHBD

:./.DAE=乙ADB=45°

:.^ABD为等腰直角三角形

/.BAD=90°

(2)

证:由旋转可知NB4D=60°

又=45°

:.^CAD=15°

,:/.ADE=90°

Z.ADF=90°

在RtAABF和RtAADF中

AB=AD

([AF=AF

:.丛ABF2ADF(HL)

^BAF=/.DAF=30°

/.FAC=15°

:.^CAD=^FAC

;.AC平分NZMF

(3)

解:如图,将AC绕点A逆时针旋转15。到AH,连接G”

过C作GH垂线,垂足为尸

由旋转,易证AAPCmAAGH

:.^H=乙ACB=45°

:.乙HKC=15°+45°=60°

过A作”G延长线垂线,垂足为M

可得三角形为等腰直角三角形

\"AB=a

:.AH=AC-y[2a

.\AM=a

:.AK^-a,KC=^2a--a

33

•c尸_y/6a—2a

••一2

•♦.CG长度最小值为丝二.

【点睛】本题考查了图像旋转与三角形全等综合,还考查了瓜豆原理.瓜豆原理总结:两动点、两定值.两

定值:主动点与定点距离和从动点与定点距离比值为定值;主动点与从动点分别和定点组成的线段夹角为

定值.满足两定值时,两动点轨迹相同.

4.(2022•北京・清华附中九年级阶段练习)在AaBC中,ZC=90°,Z.BAC=30°,点。是CB延长线上一点

(^ADC>30°),连接4。,将线段4。绕点。顺时针旋转60。,得到线段。E,连接EC.

(1)依题意,补全图形;

(2)若BD=BC=2,求CE的长.

(3)延长EC交4B于F,用等式表示线段CE,CF之间的数量关系,并证明.

【答案】(1)答案见解析

⑵2

(3)CF=CF,理由见解析

【分析】(1)按照题意进行画图即可;

(2)根据已知条件得到CD=AB,4BAD=乙EDB,然后得到DEC,从而求出CE=BD=2;

(3)作△ABC关于AC所在直线的对称图形△4GC,并作点F关于4c所在直线的对称点为点H,连接CH,EG,由题

意可证得AADE、AABG是等边三角形,利用等边三角形的性质以及等量代换可证得48gAEZG、△

CGH<4CGE,最后得到CE=CF.

(1)

解:如图所示,

E

(2)

解:如图所示,在RtZkABC中,

V^BAC=30°,

:.AB=2BC=4,

•:BD=BC=2,

:.CD=4=AB,

V£.BAD+Z.BDA=Z.ABC=60°,Z.EDB+4BDA=60°,

AZ-BAD=乙EDB,

在△ADB和△DEC中,

(AB=DC

\^BAD=乙CDE,

(AD=DE

:.LADB^LDEC,

则CE=BD=2.

(3)

解:CE=CF,理由如下,

如图所示,作^关于4C所在直线的对称图形△4GC,并作点尸关于ZC所在直线的对称点为点乩连接

CH,EG,

9:AD=DE,Z.ADE=60°,

・•・△4DE是等边三角形,40=AE^DAE=60°,

,:Z.ACB=90°,Z-BAC=30°,

J△48G是等边三角形,/-BAG=Z.AGB=60°,

VZ.DAB+^BAE=^BAE+乙EAG=60°,

:.Z.DAB=Z.EAG,

在和△及4G中,

'DA=EA

乙DAB=EAG,

、AB=AG

:.LDAB^^EAG,

:.Z.AGE=乙ABD=180°-60°=120°,^CGE=/.AGE一4AGC=60°=(CGH,

■:乙BCF=乙GCE,乙GCH=(BCF,

:"CE=乙GCH,

在△CG”和△CGE中,

2GCH=乙GCE

GC=GC,

/CGH=乙CGE

・•・△CGE,

:.CH=CE,

VCH=CF,

:.CE=CF.

【点睛】本题考查了图形旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、特殊角三角函

数等知识,牢固掌握全等三角形的判定与性质,采用等量代换的方法是解题关键.

5.(2022.福建・福州立志中学九年级阶段练习)在△ABC中,ZACB=90°,BC=AC=2,将△ABC绕点A顺时

针方向旋转60。至4A9U的位置.

B'B'

BC

图1图2

(1)如图1,连接C'C与AB交于点M,则CC,=,BC'=

(2)如图2,连接8夕,延长CC,交BB,于点。,求CD的长.

【答案】(1)2,V6-V2

(2)1+V3

【分析】(1)由旋转的性质易得出AC'=4C=2,NC4C'=60°,即证明△C4C'为等边三角形,从而得出CC'=

2;连接BB',延长BC'交2B'于点E.由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出4B=或8(?=2企.又易

证44BB'为等边三角形,即得出4B=BB'=2&,乙ABB'=60°.由“SSS”可证△ABC=LB'BC,得出

4ABC'=4B'BC'=3乙ABB'=30°,即得出BE148,,AE=五,BE=显.最后根据NEAC,=45。,即可

求出EC,=AE=VL最后由BC,=BE-EC,即可求解;

(2)过点2作BF1C。于点F.由等边三角形的性质可知NDBM=乙4cM=60°.又易证4BDM=4a4M=

45。,即得出ABDF为等腰直角三角形,从而得出DF=BF.再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股

定理可求出BF==1,CF=y[?,BF=V3,最后由CD=DF+CF求解即可.

(1)

解:由旋转的性质可知AC'=4C=2,ACAC=60°,

...△C4C'为等边三角形,

:.CC=AC=AC=2;

如图,连接BB,,延长BC,交于点E.

VZACB=90°,BC=AC=2,

:.AB=V2BC=2A/2.

由旋转可知AB=AB'=2A/2,^CAC=60°,

.♦.△ABB'为等边三角形,

:.AB=BB'=2V2,乙ABB'=60°,

又=BC,AC=B'C,

:.AABC三4B'BC'(SSS),

-1

:乙

.^ABC=B'BC'=-22LABB'=30°,

:.BE1AB',

'.AE--2AB-V2,

:.BE=V3AE=5/6.

V/-EAC=45°,

:.^EAC=Z.ECA=45°,

:.EC=AE=V2,

:.BC=BE—EC=屉一近.

故答案为:2,V6-V2

(2)

如图,过点2作BFLCD于点?

B'_

A

C

•••△ABB'为等边三角形,

;.4DBM=/.ACM=60°.

又,:乙DMB=^AMC,

:.Z.BDM=/.CAM=45°,

.•.△BDF为等腰直角三角形,

:.DF=BF.

':Z.ACM=60°,

:.乙BCF=30°,

1

.BF=-2BC=1,

:.DF=1,CF=y/3BF=V3,

CDDF+CF=1+^/3.

【点睛】本题考查旋转的性质,等腰直角三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,等边三角形的

判定和性质,含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识,较难.正确的作出辅助线是解题关键.

6.(2022・湖北•武汉市武珞路中学九年级阶段练习)如图,等边AA8C与等腰三角形AEOC有公共顶点C,

其中NE£»C=120。,AB=CE=2巡,连接BE,尸为BE的中点,连接尸。、AD

⑴为了研究线段AO与PD的数量关系,将图1中的△EDC绕点、C旋转一个适当的角度,使CE与CA重合,

如图2,请直接写出AO与的数量关系;

(2)如图1,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

(3)如图3,若NACZ)=45。,求△加。的面积.

【答案】(1)4£)=2尸。

(2)成立,证明见解析

⑶SAPAD=4百一3加

【分析】(1)利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.

(2)结论成立.如图1中,延长到F,使得DF=DE,连接8凡CF.利用三角形的中位线定理证明

BF=2PD,再证明/即可解决问题.

(3)如图1中,延长8/交A。于G,由(2)得到/EBC=ND4C,首先证明/AOP=60。,解直角三角形

求出力。2即可解决问题.

(1)

解:如图2中,

图2

'CDC^DA,NCZM=120。,

:.ZPCA=30°,

':△ABC是等边三角形,

:.ZCAP^60°,

:.ZCFA=9Q°,

由题意:在RdAP。中,ZAPD=9Q°,ZB4£>=30°,

:.AD^2PD.

(2)

结论成立.

理由:如图1中,延长即到R使得DF=DE,连接2RCF.

A

图1

•:BP=EP,DE=DF,

:.BF=2PD,BF\\PDf

•・・NEDC=120。,

:.ZFDC=60°f

・;DF=DE=DC,

:.△。FC是等边三角形,

*:CB=CAfZBCA=ZDCF=60°,

:.ZBCF=ZACD,

•;CF=CD,

.'.ABCF^AACD(SAS),

:.BF=AD,

:.AD=2PD.

(3)

如图1中,延长3/交A。于G,由(2)得到N五3C=ND4C,

图1

・•・ZAGB=ZACB=60°,

,:DP\\BG,

:.ZADP=ZAGB=60°,

如图3中,作。M_LAC于M,PN工AD于N.设DN=a,则尸。=2〃,AD=2PD=4a,PN=W,可得PN

4

图3

在等腰△COE中,VC£=2V6,ZCDE=120°,

过点。作DQ1EC,贝|CQ=QE,Z.DCE=乙DEC=30°

:.DQ=^CD,CQ=痘DQ=^CD

CE=V3CD

CD=DE=242,

ZACD=45°,

:.CM=DM=2.AM=2^6-2,

在R/AAOM中,AD2=(2V6-2)2+22=32-8V6.

在Rt&巩。中,SXPAD=--AD-PN=—AD2=4V3-3V2.

28

【点睛】本题考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.

7.(2021•河南•睢县第二中学九年级期中)已知:NAOB=NCO£>=90。,OA^OB,OC=OD.(OO当OA)

图1图2

(1)如图1,连AC、BD,判断:AC与8。之间的关系;并说明理由.

(2)若将△COD绕点、。逆时针旋转,如图2,当点C恰好在AB边上时,请写出AC、BC、OC之间数量关系;

并说明理由.

【答案】(1)AC=B。,ACLBD,理由见解析

(2)BC2+AC2=2OC2,理由见解析

【分析】(1)由可证△AOC^ZiB。。,可得AC=BD,ZCAO=ZDBO,可证AC_LB。;

(2)连接B。,由“&4S”可证△AOC丝△2。。,可得AC=B£>,ZCAO=ZDBO=45°,由勾股定理可得结论.

(1)

解:AC=BD,ACLBD,

理由如下:设AC与2。交于N,交2D于E,

图1

ZAOB=ZCOD=90°,

:.ZAOC=ZBOD,

在AAOC和△BOZ)中,

-AO=B0

/.AOC=乙BOD,

.CO=DO

:.AAOC^ABOD(SAS),

:.AC=BD,ZCAO=ZDBO,

又•:NBNE=/ANO,

:./BEN=/AON=9Q0,

:.AC±BD;

(2)

BC2+AC2=20c2,

理由如下:如图2,连接2。,

VZAOB=ZCOD=90°,OA=OB,OC=OD,

:.ZAOC=ZBODfZBAO=ZABO=45°fCD=y[2OC,

在△AOC和△50。中,

AO=B0

Z.AOC—乙BOD,

.CO=DO

:./\AOC^/\BOD(SAS),

:.AC=BD,ZCAO=ZDBO=45°,

:.ZCBD=90°,

:.BC2+BD2=CD2,

:.BC2+AC2=20cz.

【点睛】本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,旋转的性质,勾股定理,等腰直角三

角形的性质等知识,灵活运用这些知识解决问题是本题的关键.

8.(2021•黑龙江佳木斯・九年级期中)已知:正方形48CD中,ZMAN=45°,NK4N绕点A顺时针旋转,

它的两边分别交CB、0c(或它们的延长线)于点M、N.当/MAN绕点A旋转到8M=£W时,(如图1),

易证BM+DN=MN.

(1)当/MAN绕点A旋转到时(如图2),线段BM、0V和之间有怎样的数量关系?写出猜想,

并加以证明;

(2)当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段3M、OV和之间又有怎样的数量关系?请直接写出你

的猜想.

【答案】(1)BM+DN=MN,理由见解析;

(2)DN—BM=MN,理由见解析

【分析】(1)把△力DN绕点4顺时针旋转90。,得到AABE,然后证明得到A4EM三AANM,从而证得ME=MN,

可得结论;

(2)首先证明AADQ三AABM,得DQ=BM,再证明A4MN三ZL4QN,得MN=QN,可得结论;

(1)

解:BM+DN=MN.

理由如下:如图2,把AADN绕点4顺时针旋转90。,得至必4BE,

图2

•••^ABE=AADN=90°,AE=AN,BE=DN,

.­./.ABE+Z.ABC=180°,

•••点E,点B,点C三点共线,

•••/LEAM=90°-ZM4M=90°-45°=45°,

又•:4NAM=45°,

在AAEM与A4VM中,

'AE=AN

^EAM=乙NAM,

.AM=AM

•••t^AEM三AANM(SAS),

ME=MN,

ME=BE+BM=DN+BM,

•­,DN+BM=MN;

(2)

解:DN-BM=MN.

理由如下:在线段DN上截取DQ=BM,

在A4DQ与A48M中,

AD=AB

^ADQ=/.ABM,

、DQ=BM

:・kADQ=LABM(SAS),

・•・Z-DAQ=Z-BAM,

・•・(QAN=4MAN.

在A4MN和A4QN中,

AQ=AM

(QAN=乙MAN,

AN=AN

:.kAMN三XAQN(SAS),

・•.MN=QN,

・•.DN-BM=MN.

【点睛】本题是四边形综合题,考查正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知

识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题.

9.(2022.广东・广州市番禺区实验中学九年级期中)如图,已知直线y=卜+1与%轴交于点4与y轴交于

点、B,将△ZOB绕点。顺时针旋转90。后得到△COD.

(1)点。的坐标是,线段40的长等于

(2)点”是CD的中点,抛物线y=/+6x+c经过点C、M.

①求b和c的值.

②如果点E在y轴上,且位于点C的下方,点F在直线2C上,那么在抛物线y=/+6%+c上是否存在点P,

使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出该菱形的周长I;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)(0,3),4

⑵①b=_三,c=3②存在,菱形CFEP的周长Z为10a或18迎-8

【分析】(1)先利用一次函数解析式确定力(一3,0),B(0,1),贝|。4=3,OB=1,再利用旋转的性质得

oc=OA=3,OD=OB=1,从而得到C(0,3),AD=4;

Q—3

(2)①先确定M([,|),然后把M点和C点坐标代入y=x2+bx+c得乜+工入十0=三,再解方程组可确定6、

4T2-2

C的值;

②抛物线的解析式为y=/—(%+3,易得直线4C的解析式为y=x+3,讨论:当CE为对角线时,如图1,

利用菱形的性质得点F与点P关于y轴对称,设尸(t,t+3),则P(—t,t+3),再把P(—t,t+3)代入y=/一(久+

3得t2+)+3=t+3,解方程求出t得到尸点坐标,然后计算CF的长,从而得到菱形CFEP的周长/;当CE为

边时,如图2,设尸(t,t+3),则C尸=V2t,利用菱形的性质得PFIICE,PF=CF,则可表示出P(t,t+3-&t),

再把P(t,t+3-V^t)代入y=x2-(x+3得t2-Tt+3=t+3-V^,解方程求出3然后计算可得

到此时菱形CFEP的周长2.

(1)

解:当y=0时,|x+1=0,解得x=-3,则4(一3,0),

当x=0时,y=|x+1=1,则B(0,1),

OA=3,OB=1,

•・•△40B绕点。顺时针旋转90。后得到△COD,

OC=OA=3,OD=OB=1,

・•・C(0,3),4。=。4+00=3+1=4;

故答案为(0,3),4;

(2)

①••・C(0,3),D(l,0),

而点M是CD的中点,

|);

c=3

把C(0,3),|)代入y=/+法+c得{i03,

zznu~rL——

解得6=—I,c—3;

②存在.

抛物线的解析式为y=x2-1x+3,

•・•力(-3,0),C(0,3),

直线4C的解析式为y—x+3,

当CE为对角线时,如图1,

C、E点在y轴上,四边形CFEP为菱形,

•・•点F与点P关于y轴对称,

设F(t,t+3),则P(—t,t+3),

把P(-t,t+3)代入y=--•gx+3得产+(t+3=t+3,解得=0(舍去),12=-

此时尸(一|4),

3)2著,

・•.菱形CF"的周长I=10V2;

当CE为边时,如图2,设F(t,t+3),则CF=,"+4+3-3尸=企3

vPFIICE,PF=CF,

P(t,t+3—V2t),

把P(t,力+3-代入y=%?——x+3得/——t+3=t+3—解得=0(舍去),12=万—

・•・止匕时菱形CFEP的周长2=4V2t=4A/2(1一企)=18近一8,

综上所述,菱形CFEP的周长/为10位或18&-8.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握旋转的性质、二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性

质;会利用待定系数法求二次函数的解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式.

10.(2020•北京房山•九年级期中)如图,在AABC中,NB2C=90。,AB=AC,点。是△28C内一动点(不

包括△ABC的边界),连接40.将线段AD绕点2顺时针旋转90。,得到线段4E.连接CD,BE.

A

备用图

(2)求证:BE=CD;

⑶延长CD交4B于尸,交BE于G.连接8D,DE.当4BDE为等腰直角三角形时,请你直接写出,=.

BD

【答案】(1)图见解析

⑵证明见解析

⑶手或与

【分析】(1)根据题意画出图形即可;

(2)利用SAS即可证明△止4B三AZMC,即可得到结论;

(3)①根据两角相等的两个三角形相似即可判断;

②分两种情形分别求解即可.

(1)

解:图形如图所示:

E

证明::线段4。绕点力顺时针旋转90。,得到线段4E,

:.AD=AE,Z.DAE=90°,

/.BAG=90°,

/.CAD+^.BAD=Z.BAE+乙BAD=90°,

J.Z.CAD=^BAE.

在△£148和中,

-AE=AD

Z.EAB=Z-DAC,

、AB=AC

•••△EZBw△O/C(SAS),

:.BE=CD.

(3)

解:熊=手或色=当

①当4EDB=90。时,如图,设40=Q,

9

:AD=AEfZ,DAE=90°,

:.AE=AD=a,/.AED=45°

••DE=y/AE2+AD2=Va2+a2=V2a,

•••△BDE为等腰直角三角形,

:.BD=DE=V2a,乙BED=45°,

:.BE=>/BD2+DE2=J(V2a)2+=2a,

乙4EB=乙BED+Z.AED=45°+45°=90°,

:.AB=y/BE2+AE2=V(2a)2+a2=V5a,

・AB_V5a_V1O

.・BD-V2a-2;

c

②当乙BED=90。时,如图,设4D=a,

\'AD=AE,ADAE=90°,

:.AE=40=a,/_ADE=45°

DE=yjAE2+AD2=Va2+a2—V2a,

•••△BDE为等腰直角三角形,

:.BE=DE=V2a,4EDB=45°,

:.BD=>JBE2+DE2=J(V2a)2+(V2a)2=2a,

Z.ADB=4EDB+Z.ADE=45°+45°=90°,

:.AB=>IBE2+AE2=7(2a)2+a2=V5a,

・AB_V5a_V5

.・BD-2a~2,

故答案为:将^或日.

A

D

BC

【点睛】本题几何变换综合题,考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质、

勾股定理等知识,运用了分类讨论的思想方法.解题的关键是利用参数解决问题.

11.(2021・福建・平潭翰英中学九年级期中)阅读下列材料:问题:如图1,在正方形A8C。内有一点P,PA=

V5,PB=&,PC=1,求/8PC的度数.小明同学的想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分

散的已知条件集中在一起,于是他将△绕点B逆时针旋转90°,得到了△(如图2),然后连接PP'.请

你参考小明同学的思路,解决下列问题:

(1)如图2,猜想AAPP是否为直角三角形.并说明理由.并求出NBPC的度数

(2)如图3,若在正六边形A8C£)所内有一点P,且以=2旧,PB=4,PC=2,则求:

①的度数;

②直接写出正六边形ABCDEF的边长.

【答案】&)△APP是直角三角形,理由见解析,135。

(2)①120。;②2行

【分析】(1)由旋转的性质得出/P8P=90。,BP'=BP=<2,P'A=PC=1,ZBP'A=ZBPC,则得出△BPP,为等

腰直角三角形,NBFP=45。,证出AU=p,p2+pz2,可得出△APP为直角三角形,据此即可求得/8PC

的度数;

(2)①把△BPC绕点8逆时针旋转120。,得到了△8Pa,根据旋转的性质得到NPBP=120。,BP'=BP=4,

P'A=PC=2,ZBP'A=ZBPC,则/2尸7=/即波=30。,得至U尸7/=尸",利用含30。的直角三角形三边的关系得

到BH=^BP'=2,P'H=2百,得到P'P=2P'H=48,再利用勾股定理的逆定理可得到△APP为直角三角形,

S.ZAP'P=9Q°,即可求得/2PC的度数;②过A作AGL2P于G点,利用含30。的直角三角形三边的关系

得到GP=1,AG=心,然后在放AAGB中利用勾股定理计算出AB的长即可.

(1)

解:猜想AAPP是直角三角形.

理由如下:

如图2,「△BPC绕点2逆时针旋转90。,得到了△BPA,

AZP'BP=90°,BP'=BP=y[2,P'A=PC=\,ZBP'A=ZBPC,

...△BPP为等腰直角三角形,

:.PP'=V2PB=2,NBPP=45。,

在AAPP'中,AP=A/5,PP'=2,AP'=\,

V(V5)2=22+l2,

:.AP2=P'P2+P'A2,

.♦.△APP为直角三角形,NAPP=90。,

N8PA=/BPC=450+90°=135°;

(2)

解:①六边形ABCDEF为正六边形,

ZABC=120°,

•..把△2PC绕点2逆时针旋转120°,得到了△BPA,

AZP'BP=12O°,BP'=BP=4,P'A=PC=2,ZBP'A=ZBPC,

:.ZBP'P=ZBPP'=30°,

如图3:过B作于H,

\'BP'=BP,

:,P'H=PH,

在RfABPH中,NBFH=30。,BP'=4,

:.BH=:BP,=2,P'H=yJP'B2-BH2=V42-22=2次,

:,P'P=2P'H=4V3,

在乙APP中,AP=2V13,PP'=4V3,AP'=2,

V(2V13)2=(4V3)2+22,

:.AP2=P'P2+P'A2,

.♦.△APP为直角三角形,且/APP=90。,

ZBP,A=30°+90°=120°,

:.ZBPC=120°,

②过A作AGJ_8产于G点,

/APG=60。,ZGAP'=30°,

在MAAGP中,AP'=2,

:.GP'=\AP'=1,AG=y/P'A2-P'G2=V22-I2=V3,

在MAAGB中,GB=GP'+P'B=1+4=5,

:.AB=V4G2+GB2=J(a2+52=277,

即正六边形ABCDEF的边长为2V7.

【点睛】本题属于四边形综合题,考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相

等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性

质、勾股定理与逆定理以及含30。的直角三角形三边的关系,解题的关键是熟练掌握旋转的性质.

12.(2020.湖北.公安县教学研究中心九年级期中)将两块全等的含30。角的直角三角板按图1的方式放置,

(1)固定三角板AiBC然后将三角板A8C绕点C顺时针方向旋转至图2的位置,与A1。、&/分别交

于点。、E,AC与A】交于点

①当旋转角等于45。时,求NBCBi的度数;

②当A8_LAiBi时,试说明AO=CD

(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置,当时,试猜想41n与的数量

关系,并说明理由.

【答案】(1)①135。;②见解析

(2)4。=。。,理由见解析

【分析】(1)①根据旋转的性质可得;②根据题意证明△DAC为等腰三角形即可得到解答;

(2)利用含30。的直角三角形的性质和旋转的性质证明即可.

(1)

①由旋转的性质得,ZACAr=45°

:.ZBCD=ZACB-NAC4i=900-45。=45。

,oo

..ZBC^1=ZBC£)+Z>l1CF1=45+90=135

②・.・A5_LAiB]

:.ZA1ED=90°

V4。=30。

o

・•・Zi41Z)E=90°-ZAr=9Q-30。=60。

・•・ZBDC=ZArDE=60°

VZA=30°,ZACB=90°

:.ZB=60°

:.ZDCB=180°-ZBDC-ZB=60°

・•・ZACAt=30°

NA=30。

ZACAr=ZA

・•・△n4c为等腰三角形

:.AD=CD

(2)

结论:ArD=CDf理由如下:

u

:ABLArC

:.ZADC=90°

*:NA=30。

:.CD=-AC

2

由旋转的性质得,ArC=AC

CD=|a%。.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质和含30。直角三角形的性质,解决本题的关键是

掌握以上的性质进行求解即可.

13.(2020・广东・惠州市惠城区第三十九学校九年级期中)【问题提出】如图①,四边形ABCD中,AD=CD,

ZABC=120°,ZADC=60°,AB=2,BC=1,求四边形ABCD的面积.

【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题.

①②③

(1)如图②,连接8Q,由于AO=CD,ZADC=60°,因此可以将△OC8绕点。按顺时针方向旋转60。,得

到AD4B',则△BOB'的形状是;

(2)在(1)的基础上,求四边形的面积.

【类比应用】

(3)如图③,四边形A3C。中,AD^CD,/ABC=75。,NAZ)C=60。,AB=2,8C=应,求四边形ABC。

的面积.

【答案】(1)等边三角形

⑵逋

-4

【分析】(1)根据旋转的性质得出8D=Z)B,,ZBDB'=60°,所以△是等边三角形;

(2)根据旋转的性质知等边三角形的边长为3,过点夕作夕ML2。,利用等边三角形的性质及勾股定理得

出三角形的高,求出的面积即可;

(3)类比(1),连接8£),由于AD=C。,所以可将△BCD绕点。逆时针方向旋转60。,得到△£)49,连

接8夕,延长区4,作出ELBE;易证△A尸夕是等腰直角三角形,△A仍是等腰直角三角形,利用勾股定理

计算AE=B'E=1,BB'=V10,求△ABB'和△BOB'的面积差即可.

(1)

解:如图2,连接BC,由于AO=C£>,所以可将△OC8绕点。顺时针方向旋转60。,得到△D4夕,

,:BD=B'D,/BDB'=60。

:.△BOB'是等边三角形,

故答案为:等边三角形;

图2

(2)

由旋转的性质得:ABCD经△B'AD,

二四边形ABCD的面积=等边△BOB,的面积,

':BC=AB'=\

:.BB'=AB+AB'=2+1^3,

:.BB'=BD=3,

过点夕作夕MLB。,如图2所示:

BM

:.=2-9

:.B'M=^32-(|)2=手,

•C—C—1yQV3瓜_9H

••J四边形4BC0_~22~4,

(3)

如图3,连接BD,由于AQ=C£>,所以可将△BCD绕点。逆时针方向旋转60。,得到△D4B,,

图3

连接8夕,延长A4,作出ELBE;

由旋转得公BCD丝AB'AD

•・S四边形ARC。一S四边形BQD

VZABC=75°,ZADC=60°,

:.ZBCD+ZBAD=3600-ZABC-ZADC=225°,

JNB,AD+/BAD=/BCD+/BAD=225。,

:.ZBABf=360°-(ZBfAD+ZBAD)=135°

:.ZBfAE=45°,

・・・A9AE为等腰直角三角形,

•:B,A=BC=0,

:.BrE=AE=l,

:.BE=AB+AE=2-^1=3,

:.BBr=yjBE2+BrE2=V10,

:"S>ABB,=5x48xB,E—1>

•;NBDB'=60。,BD=B'D,

・•・ABO夕为等边三角形,

同(2)中方法一致,得ABDB,得高为苧

・c1n~r\V305A/3

•・S"DB,=aXvlOx,

•・S四边形4BC0=S四边形BDB,4=SABDB'_ShABB'=~~^'

【点睛】题目主要考查旋转的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理解三角形,理解题意,综合运用

这些知识点并作出相应图形是解题关键.

14.(2020•天津市红桥区教师发展中心九年级期中)如图,在RtAABC中,N/1CB=90。,将AABC绕点C顺

时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点2的对应点。落在线段4B上,DE与BC相交于点F,连接BE.

A

E

(1)求证:DC平分N/WE;

(2)试判断8E与AB的位置关系,并说明理由;

(3)若BE=BD,求NABC的大小(直接写出结果即可).

【答案】(1)见解析

(2)BE1AB,理由见解析

(3)乙4BC的大小为22.5。

【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可;

(2)结论:AB±BE.证明/。2石+/。。石=180。,即可解决问题;

(3)连接A尸.过点B作交CD的延长线于X,作BTLCE于T,证明△BHDg/SBTK推出C2

是/QCE的角平分线,得到乙4。=45。,据此求解即可解决问题.

(1)

证明:•.,△DCE是由AACB旋转得到,

ACA=CD,ZA=ZCDE,

:.ZA=ZCDA,

:./CDA=/CDE,

平分乙4£>E;

(2)

解:结论:BE±AB.

由旋转的性质可知,ZACD=ZBCE,

VCA=CD,CB=CE,

ZCAD=ZCDA=ZCBE=ZCEB,

ZABC+ZCAB+ZACD+ZDCB=l?,0o,

:.ZABC+ZCBE+ZDCB+ZBCE=180°,

:./DCE+/DBE=180。,

ZDCE=90°,

:.ZDBE=90°,

:.BE±AB;

(3)

解:如图,连接AR过点8作5H_LCO交CD的延长线于H,作3T_LCE于T,

ZH=ZBTC=ZHCT=90°,

:.ZHBT=ZDBE=90°,

:./DBH=/EBT,

■:BD=BE,ZH=ZBTE=90°,

:./\BHD^/\BTE(AAS),

:.BH=BT,

■:BH工CH,BT_LCE,

・•・CB是/DCE的角平分线,

・・

•ZDCB=ZECB2=-ZDCE=45°,

丁ZACB=90°,

:.ZACD=ZFCD=45°,

VAC=CZ),

1R0°—4^0

•••/CA庆4*=^=67.5。,

ZABC=90°-ZCAD=22.5°.

【点睛】本题属于三角形综合题,考查了旋转变换,全等三角形的判定和性质,角平分线的判定和性质,

等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是证明△3HQ也△BTE

15.(2021.黑龙江.海林市朝鲜族中学九年级期中)如图1,在△ABC中,AB=ACfZBAC=60°,D为BC

边上一点(不与点-C重合),将线段绕点A逆时针旋转60。得到AE连接EC,则:

(1)①/ACE的度数是;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是.

拓展探究:

(2)如图2,在AA8C中,AB=AC,ZBAC=90°,。为BC边上一点(不与点8,C重合),将线段绕点

A逆时针旋转90。得到AE,连接EC,请写出NACE的度数及线段AD,BD,CO之间的数量关系,并说明

理由;

【答案】(1)60。,AC=DC+EC;

⑵NACE=45°,BD2+CD2=2AD2

【分析】(1)证明△BAOgZXCAE,根据全等三角形的性质解答;

(2)根据全等三角形的性质得到2ZXCE,NACE=/B,得到/OCE=90。,根据勾股定理计算即可;

(1)

解:(1)•.,在AABC中,AB=AC,ZBAC=6Q°,

:.ZBAC=ZDAE^60°,

:.ZBAC-ZDAC=ADAE-ADAC,即ZBAD=ZCAE,

'AB=AC

在4&4。和小CAE中,hBAD=/.CAE,

.AD=AE

:.ABAD^AC4£(SAS),

:.ZACE=ZB=60°,BD=CE,

:.BC=BD+CD=EC+CD,

:.AC=BC=EC+CD;

故答案为:60°,AC=DC+EC;

(2)

/ACE=45°,BD2+CD2=2AD2,

理由如下:

由(1)得,△BAD乌ACAE,

:.BD=CE,ZACE=ZB=45°,

:.ZDCE=9Q°,

:.CE2+CD2=ED2,

在我公ADE中,AD2+AE2ED2,又AZ)=AE,

:.BD2+CD2=2AD2.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质,掌握全等三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

16.(2022・全国•九年级期中)(1)如图1,正方形ABC。,E、尸分别为8C、CD上的点,Z.EAF=45°,求

证:EF=BE+小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图1

证明上述结论.

图1

(2)如图2,若点E、尸分别在正方形ABCD的边C8、OC的延长线上,AEAF=45°,那么线段EF、DF、

BE之间有怎样的数量关系?请证明你的结论.

【答案】(1)见解析;(2)DF=EF+BE,理由见解析

【分析】(1)根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可;

(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,结合(1)中证明方法进行证明即可.

【详解】证明:(1)-:AB=AD,

:.把4ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,可使与AD重合,

VZ-ADC=LB=90°,

:.^FDG=180°,即点尸、D、G共线,

:.^DAG=£.BAE,AE=AG,

Z-FAG=Z.FAD+AGAD=Z,FAD+/.EAE=90°-45°=45°=Z,EAF,

BPzEi4F=Z-FAG.

*:AF=AF,AE=AG

:.△AFG=^AFE

:.EF=FG.

:.EF=DF+DG=DF+BE,

即EF=BE+DF

(2)DF=EF+BE.

理由:如图2所示.

FCGD

图2

\9AB=AD,

:.把^ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,使AB与AD重合,

VZ.ADC=/.ABE=90°

・••点C、D、G在一条直线上.

:.EB=DG,AE=AG,AEAB=£.GAD.

9:£.BAG+^LGAD=90°

J./-EAG=乙BAD=90°.

,:LEAF=

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