版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题2.8以旋转为载体的几何综合问题大题专练(培优强化30题)
一、解答题
1.(2021・湖北武汉•九年级期中)【问题背景】如图1,尸为△ABC内一点,连PB、PC.贝IPC+PB<AB+AC.
小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”,延长交AC于E,就可以证明上面结论.请按小明的思路
完成证明过程;
【迁移应用】如图2,在△ABC中,ZBAO120°,P为△ABC内一点,求证:PA+PB+POAB+AC.
【拓展创新】己知△ABC中,BC=a,AB=c,AC=b,〃+b=4c,6a+3b=19c,P为△ABC所在平面内一点,
则出+PB+PC的最小值为(用含c的式子表示).(直接写出结果)
【答案】问题背景:见解析;迁移应用:见解析;拓展创新:y
【分析】问题背景:在△ABE中和中,分别利用两边之和大于第三边即可证明;
迁移应用:将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△D4Q,连接P。,BD,PD,可得△AP。是等边三角形,
则/BAC+/CAO>180°,则可证明;
拓展创新:首先可得a=g,6=m,作BTLCA,交CA的延长线于T,设AT=d,利用勾股定理得出NABT
=30°,将△APC绕点A逆时针旋转60°,则8、A、C共线,从而解决问题.
【详解】解:【问题背景】
证明:如图1,延长BP交AC于点E,
在AABE中,AE+AB>BE=BP+PE,
在中,PE+CE>PC,
:.AB+AE+CE+PE>PB+PE+PC,
:.AB+AC>PB+PC,
故:PC+PB<AB+AC;
【迁移应用】证明:如图2,将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△D4Q,连接P。,BD,PD,
图2
由旋转可得:△D4。丝△CAP,ZCAD=ZPAQ=60°,
:.AD=AC,AQ=AP,DQ=PC,
.•.△AP。是等边三角形,
:.PQ=AP=AQ,
VZBAO120°,
:.ZBAC+ZCAD>180°,
,由问题背景可知:在△BPO中,PB+PD>AB+AD,
在△QPD中,PQ+QD>PD,
:.PB+PQ+QD>AB+AD,
故:PA+PB+POAB+AC;
【拓展创新】解:由问题背景知,
Va+b=4c,6a+36=19c,
・7c75c
・・4=,b=-,
33
作8T_LC4,交C4的延长线于T,设AT=d,
...(Z£)2=(%+d)2+c2-d2,
33
化简得,d=,c,
AZABT=30°,
:.ZBAC=nO°,
将△APC绕点A逆时针旋转60°,贝Ij3、A、C共线,
,PA+PB+PC=PB+PP'+P'C,
:.PA+PB+PC的最小值为AB+AC=C+y=y,
故答案为:y.
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系,等边三角形的判定与性质,旋转的性质等知识,熟练掌握三角
形三边关系进行转化是解题的关键,有一定的难度.
2.(2022•福建・上杭县第三中学九年级阶段练习)如图,在边长为8的等边△ABC中,点。是A8的中点,
点E是平面上4ABC外一点,且DE=2,连接BE,将线段EB绕点£顺时针旋转60。得到线段EF,连接AF,
CE.
备用图
(1)判断ABEF的形状,并说明理由;
⑵求证:AF=CE;
(3)当点。,E,尸在同一直线上时,请你在备用图中画出符合条件的图形,并求出此时8E的长.
【答案】(1八8跖是等边三角形
(2)证明见解析
(3)713-1
【分析】(1)根据旋转即可证明ABE/是等边三角形;
(2)由4班/是等边三角形,可得依=即,再证明/厂区4=/班0又因为所以可证明△FBA^/XEBC,
进而可得AF=CE;
(3)当点Z),E,尸在同一直线上时,过B作/于再在放△中利用勾股定理列方程求解即
可.
(1)
V将线段EB绕点E顺时针旋转60。得到线段EF,
:.EB=EF,NFEB=60°
ABEF是等边三角形
(2)
•.,等边△43(7和4BEF
:.BF=BE,AB=BC,AEBF=/.ABC=60°
;.4EBF+乙ABE=Z.ABC+乙ABE
即ZFBA=ZEBC
:./\FBA^/\EBC(SAS)
:.AF=CE
(3)
图形如图所示:
过B作尸于M,
,/ABEF是等边三角形
:.BE=2EM,BM=WEM
:点。是AB的中点,
BD--AB—4
2
在RtABMD中,BM2+DM2=BD2
•;DE=2
:.(V3EM)2+(EM+2尸=42
解得EM=二岁或EM=二>(舍去)
:.BE=2EM=713-1
【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理的运用,旋转的性质,等边三角形
的判定和性质,解一元二次方程,利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键.
3.(2022•福建・福州立志中学九年级阶段练习)已知乙4BC=90。,BA=BC,在同一平面内将等腰直角△ABC
绕顶点A逆时针旋转(旋转角小于180。)得△ADE.
图⑴图(3)备用图
⑴若AE//8O如图(1),求旋转角乙度数;
(2)当旋转角为60。时,延长网)与BC交于点R如图(2).求证:AC平分NZMF
⑶点尸是边BC上动点,将AP绕点A逆时针旋转15。到AG,如图(3)示例,设A8=BC=a,求CG长度最
小值(用含a式子表示)
【答案]⑴90。
(2)证明过程见详解
(3)"2a
【分析】(1)*AE//BD,推出“DB=45。,得△4BD为等腰直角三角形,即可得到答案.
(2)由旋转60。可推出NC4。=15。,再证AAB旌△ADF,再推角,即可证出.
(3)将AC绕点A逆时针旋转15。到AH,再证AAPC三△AGH,可知G在GM上动,由点到直线垂线段最
短可知,CG最小值为CF长.
(1)
解:ZABC=90°,BA=BC
J.Z.BAC=45°
由旋转可知AB=AD,乙BAC=/.DAE=45°
又,:AEHBD
:./.DAE=乙ADB=45°
:.^ABD为等腰直角三角形
/.BAD=90°
(2)
证:由旋转可知NB4D=60°
又=45°
:.^CAD=15°
,:/.ADE=90°
Z.ADF=90°
在RtAABF和RtAADF中
AB=AD
([AF=AF
:.丛ABF2ADF(HL)
^BAF=/.DAF=30°
/.FAC=15°
:.^CAD=^FAC
;.AC平分NZMF
(3)
解:如图,将AC绕点A逆时针旋转15。到AH,连接G”
过C作GH垂线,垂足为尸
由旋转,易证AAPCmAAGH
:.^H=乙ACB=45°
:.乙HKC=15°+45°=60°
过A作”G延长线垂线,垂足为M
可得三角形为等腰直角三角形
\"AB=a
:.AH=AC-y[2a
.\AM=a
:.AK^-a,KC=^2a--a
33
•c尸_y/6a—2a
••一2
•♦.CG长度最小值为丝二.
【点睛】本题考查了图像旋转与三角形全等综合,还考查了瓜豆原理.瓜豆原理总结:两动点、两定值.两
定值:主动点与定点距离和从动点与定点距离比值为定值;主动点与从动点分别和定点组成的线段夹角为
定值.满足两定值时,两动点轨迹相同.
4.(2022•北京・清华附中九年级阶段练习)在AaBC中,ZC=90°,Z.BAC=30°,点。是CB延长线上一点
(^ADC>30°),连接4。,将线段4。绕点。顺时针旋转60。,得到线段。E,连接EC.
(1)依题意,补全图形;
(2)若BD=BC=2,求CE的长.
(3)延长EC交4B于F,用等式表示线段CE,CF之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)答案见解析
⑵2
(3)CF=CF,理由见解析
【分析】(1)按照题意进行画图即可;
(2)根据已知条件得到CD=AB,4BAD=乙EDB,然后得到DEC,从而求出CE=BD=2;
(3)作△ABC关于AC所在直线的对称图形△4GC,并作点F关于4c所在直线的对称点为点H,连接CH,EG,由题
意可证得AADE、AABG是等边三角形,利用等边三角形的性质以及等量代换可证得48gAEZG、△
CGH<4CGE,最后得到CE=CF.
(1)
解:如图所示,
E
(2)
解:如图所示,在RtZkABC中,
V^BAC=30°,
:.AB=2BC=4,
•:BD=BC=2,
:.CD=4=AB,
V£.BAD+Z.BDA=Z.ABC=60°,Z.EDB+4BDA=60°,
AZ-BAD=乙EDB,
在△ADB和△DEC中,
(AB=DC
\^BAD=乙CDE,
(AD=DE
:.LADB^LDEC,
则CE=BD=2.
(3)
解:CE=CF,理由如下,
如图所示,作^关于4C所在直线的对称图形△4GC,并作点尸关于ZC所在直线的对称点为点乩连接
CH,EG,
9:AD=DE,Z.ADE=60°,
・•・△4DE是等边三角形,40=AE^DAE=60°,
,:Z.ACB=90°,Z-BAC=30°,
J△48G是等边三角形,/-BAG=Z.AGB=60°,
VZ.DAB+^BAE=^BAE+乙EAG=60°,
:.Z.DAB=Z.EAG,
在和△及4G中,
'DA=EA
乙DAB=EAG,
、AB=AG
:.LDAB^^EAG,
:.Z.AGE=乙ABD=180°-60°=120°,^CGE=/.AGE一4AGC=60°=(CGH,
■:乙BCF=乙GCE,乙GCH=(BCF,
:"CE=乙GCH,
在△CG”和△CGE中,
2GCH=乙GCE
GC=GC,
/CGH=乙CGE
・•・△CGE,
:.CH=CE,
VCH=CF,
:.CE=CF.
【点睛】本题考查了图形旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、特殊角三角函
数等知识,牢固掌握全等三角形的判定与性质,采用等量代换的方法是解题关键.
5.(2022.福建・福州立志中学九年级阶段练习)在△ABC中,ZACB=90°,BC=AC=2,将△ABC绕点A顺时
针方向旋转60。至4A9U的位置.
B'B'
BC
图1图2
(1)如图1,连接C'C与AB交于点M,则CC,=,BC'=
(2)如图2,连接8夕,延长CC,交BB,于点。,求CD的长.
【答案】(1)2,V6-V2
(2)1+V3
【分析】(1)由旋转的性质易得出AC'=4C=2,NC4C'=60°,即证明△C4C'为等边三角形,从而得出CC'=
2;连接BB',延长BC'交2B'于点E.由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出4B=或8(?=2企.又易
证44BB'为等边三角形,即得出4B=BB'=2&,乙ABB'=60°.由“SSS”可证△ABC=LB'BC,得出
4ABC'=4B'BC'=3乙ABB'=30°,即得出BE148,,AE=五,BE=显.最后根据NEAC,=45。,即可
求出EC,=AE=VL最后由BC,=BE-EC,即可求解;
(2)过点2作BF1C。于点F.由等边三角形的性质可知NDBM=乙4cM=60°.又易证4BDM=4a4M=
45。,即得出ABDF为等腰直角三角形,从而得出DF=BF.再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股
定理可求出BF==1,CF=y[?,BF=V3,最后由CD=DF+CF求解即可.
(1)
解:由旋转的性质可知AC'=4C=2,ACAC=60°,
...△C4C'为等边三角形,
:.CC=AC=AC=2;
如图,连接BB,,延长BC,交于点E.
VZACB=90°,BC=AC=2,
:.AB=V2BC=2A/2.
由旋转可知AB=AB'=2A/2,^CAC=60°,
.♦.△ABB'为等边三角形,
:.AB=BB'=2V2,乙ABB'=60°,
又=BC,AC=B'C,
:.AABC三4B'BC'(SSS),
-1
:乙
.^ABC=B'BC'=-22LABB'=30°,
:.BE1AB',
'.AE--2AB-V2,
:.BE=V3AE=5/6.
V/-EAC=45°,
:.^EAC=Z.ECA=45°,
:.EC=AE=V2,
:.BC=BE—EC=屉一近.
故答案为:2,V6-V2
(2)
如图,过点2作BFLCD于点?
B'_
A
C
•••△ABB'为等边三角形,
;.4DBM=/.ACM=60°.
又,:乙DMB=^AMC,
:.Z.BDM=/.CAM=45°,
.•.△BDF为等腰直角三角形,
:.DF=BF.
':Z.ACM=60°,
:.乙BCF=30°,
1
:
.BF=-2BC=1,
:.DF=1,CF=y/3BF=V3,
CDDF+CF=1+^/3.
【点睛】本题考查旋转的性质,等腰直角三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,等边三角形的
判定和性质,含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识,较难.正确的作出辅助线是解题关键.
6.(2022・湖北•武汉市武珞路中学九年级阶段练习)如图,等边AA8C与等腰三角形AEOC有公共顶点C,
其中NE£»C=120。,AB=CE=2巡,连接BE,尸为BE的中点,连接尸。、AD
⑴为了研究线段AO与PD的数量关系,将图1中的△EDC绕点、C旋转一个适当的角度,使CE与CA重合,
如图2,请直接写出AO与的数量关系;
(2)如图1,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若NACZ)=45。,求△加。的面积.
【答案】(1)4£)=2尸。
(2)成立,证明见解析
⑶SAPAD=4百一3加
【分析】(1)利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.
(2)结论成立.如图1中,延长到F,使得DF=DE,连接8凡CF.利用三角形的中位线定理证明
BF=2PD,再证明/即可解决问题.
(3)如图1中,延长8/交A。于G,由(2)得到/EBC=ND4C,首先证明/AOP=60。,解直角三角形
求出力。2即可解决问题.
(1)
解:如图2中,
图2
'CDC^DA,NCZM=120。,
:.ZPCA=30°,
':△ABC是等边三角形,
:.ZCAP^60°,
:.ZCFA=9Q°,
由题意:在RdAP。中,ZAPD=9Q°,ZB4£>=30°,
:.AD^2PD.
(2)
结论成立.
理由:如图1中,延长即到R使得DF=DE,连接2RCF.
A
图1
•:BP=EP,DE=DF,
:.BF=2PD,BF\\PDf
•・・NEDC=120。,
:.ZFDC=60°f
・;DF=DE=DC,
:.△。FC是等边三角形,
*:CB=CAfZBCA=ZDCF=60°,
:.ZBCF=ZACD,
•;CF=CD,
.'.ABCF^AACD(SAS),
:.BF=AD,
:.AD=2PD.
(3)
如图1中,延长3/交A。于G,由(2)得到N五3C=ND4C,
图1
・•・ZAGB=ZACB=60°,
,:DP\\BG,
:.ZADP=ZAGB=60°,
如图3中,作。M_LAC于M,PN工AD于N.设DN=a,则尸。=2〃,AD=2PD=4a,PN=W,可得PN
4
图3
在等腰△COE中,VC£=2V6,ZCDE=120°,
过点。作DQ1EC,贝|CQ=QE,Z.DCE=乙DEC=30°
:.DQ=^CD,CQ=痘DQ=^CD
CE=V3CD
CD=DE=242,
ZACD=45°,
:.CM=DM=2.AM=2^6-2,
在R/AAOM中,AD2=(2V6-2)2+22=32-8V6.
在Rt&巩。中,SXPAD=--AD-PN=—AD2=4V3-3V2.
28
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,
解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
7.(2021•河南•睢县第二中学九年级期中)已知:NAOB=NCO£>=90。,OA^OB,OC=OD.(OO当OA)
图1图2
(1)如图1,连AC、BD,判断:AC与8。之间的关系;并说明理由.
(2)若将△COD绕点、。逆时针旋转,如图2,当点C恰好在AB边上时,请写出AC、BC、OC之间数量关系;
并说明理由.
【答案】(1)AC=B。,ACLBD,理由见解析
(2)BC2+AC2=2OC2,理由见解析
【分析】(1)由可证△AOC^ZiB。。,可得AC=BD,ZCAO=ZDBO,可证AC_LB。;
(2)连接B。,由“&4S”可证△AOC丝△2。。,可得AC=B£>,ZCAO=ZDBO=45°,由勾股定理可得结论.
(1)
解:AC=BD,ACLBD,
理由如下:设AC与2。交于N,交2D于E,
图1
ZAOB=ZCOD=90°,
:.ZAOC=ZBOD,
在AAOC和△BOZ)中,
-AO=B0
/.AOC=乙BOD,
.CO=DO
:.AAOC^ABOD(SAS),
:.AC=BD,ZCAO=ZDBO,
又•:NBNE=/ANO,
:./BEN=/AON=9Q0,
:.AC±BD;
(2)
BC2+AC2=20c2,
理由如下:如图2,连接2。,
VZAOB=ZCOD=90°,OA=OB,OC=OD,
:.ZAOC=ZBODfZBAO=ZABO=45°fCD=y[2OC,
在△AOC和△50。中,
AO=B0
Z.AOC—乙BOD,
.CO=DO
:./\AOC^/\BOD(SAS),
:.AC=BD,ZCAO=ZDBO=45°,
:.ZCBD=90°,
:.BC2+BD2=CD2,
:.BC2+AC2=20cz.
【点睛】本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,旋转的性质,勾股定理,等腰直角三
角形的性质等知识,灵活运用这些知识解决问题是本题的关键.
8.(2021•黑龙江佳木斯・九年级期中)已知:正方形48CD中,ZMAN=45°,NK4N绕点A顺时针旋转,
它的两边分别交CB、0c(或它们的延长线)于点M、N.当/MAN绕点A旋转到8M=£W时,(如图1),
易证BM+DN=MN.
(1)当/MAN绕点A旋转到时(如图2),线段BM、0V和之间有怎样的数量关系?写出猜想,
并加以证明;
(2)当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段3M、OV和之间又有怎样的数量关系?请直接写出你
的猜想.
【答案】(1)BM+DN=MN,理由见解析;
(2)DN—BM=MN,理由见解析
【分析】(1)把△力DN绕点4顺时针旋转90。,得到AABE,然后证明得到A4EM三AANM,从而证得ME=MN,
可得结论;
(2)首先证明AADQ三AABM,得DQ=BM,再证明A4MN三ZL4QN,得MN=QN,可得结论;
(1)
解:BM+DN=MN.
理由如下:如图2,把AADN绕点4顺时针旋转90。,得至必4BE,
图2
•••^ABE=AADN=90°,AE=AN,BE=DN,
../.ABE+Z.ABC=180°,
•••点E,点B,点C三点共线,
•••/LEAM=90°-ZM4M=90°-45°=45°,
又•:4NAM=45°,
在AAEM与A4VM中,
'AE=AN
^EAM=乙NAM,
.AM=AM
•••t^AEM三AANM(SAS),
ME=MN,
ME=BE+BM=DN+BM,
•,DN+BM=MN;
(2)
解:DN-BM=MN.
理由如下:在线段DN上截取DQ=BM,
在A4DQ与A48M中,
AD=AB
^ADQ=/.ABM,
、DQ=BM
:・kADQ=LABM(SAS),
・•・Z-DAQ=Z-BAM,
・•・(QAN=4MAN.
在A4MN和A4QN中,
AQ=AM
(QAN=乙MAN,
AN=AN
:.kAMN三XAQN(SAS),
・•.MN=QN,
・•.DN-BM=MN.
【点睛】本题是四边形综合题,考查正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知
识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题.
9.(2022.广东・广州市番禺区实验中学九年级期中)如图,已知直线y=卜+1与%轴交于点4与y轴交于
点、B,将△ZOB绕点。顺时针旋转90。后得到△COD.
(1)点。的坐标是,线段40的长等于
(2)点”是CD的中点,抛物线y=/+6x+c经过点C、M.
①求b和c的值.
②如果点E在y轴上,且位于点C的下方,点F在直线2C上,那么在抛物线y=/+6%+c上是否存在点P,
使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出该菱形的周长I;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(0,3),4
⑵①b=_三,c=3②存在,菱形CFEP的周长Z为10a或18迎-8
【分析】(1)先利用一次函数解析式确定力(一3,0),B(0,1),贝|。4=3,OB=1,再利用旋转的性质得
oc=OA=3,OD=OB=1,从而得到C(0,3),AD=4;
Q—3
(2)①先确定M([,|),然后把M点和C点坐标代入y=x2+bx+c得乜+工入十0=三,再解方程组可确定6、
4T2-2
C的值;
②抛物线的解析式为y=/—(%+3,易得直线4C的解析式为y=x+3,讨论:当CE为对角线时,如图1,
利用菱形的性质得点F与点P关于y轴对称,设尸(t,t+3),则P(—t,t+3),再把P(—t,t+3)代入y=/一(久+
3得t2+)+3=t+3,解方程求出t得到尸点坐标,然后计算CF的长,从而得到菱形CFEP的周长/;当CE为
边时,如图2,设尸(t,t+3),则C尸=V2t,利用菱形的性质得PFIICE,PF=CF,则可表示出P(t,t+3-&t),
再把P(t,t+3-V^t)代入y=x2-(x+3得t2-Tt+3=t+3-V^,解方程求出3然后计算可得
到此时菱形CFEP的周长2.
(1)
解:当y=0时,|x+1=0,解得x=-3,则4(一3,0),
当x=0时,y=|x+1=1,则B(0,1),
OA=3,OB=1,
•・•△40B绕点。顺时针旋转90。后得到△COD,
OC=OA=3,OD=OB=1,
・•・C(0,3),4。=。4+00=3+1=4;
故答案为(0,3),4;
(2)
①••・C(0,3),D(l,0),
而点M是CD的中点,
|);
c=3
把C(0,3),|)代入y=/+法+c得{i03,
zznu~rL——
解得6=—I,c—3;
②存在.
抛物线的解析式为y=x2-1x+3,
•・•力(-3,0),C(0,3),
直线4C的解析式为y—x+3,
当CE为对角线时,如图1,
C、E点在y轴上,四边形CFEP为菱形,
•・•点F与点P关于y轴对称,
设F(t,t+3),则P(—t,t+3),
把P(-t,t+3)代入y=--•gx+3得产+(t+3=t+3,解得=0(舍去),12=-
此时尸(一|4),
3)2著,
・•.菱形CF"的周长I=10V2;
当CE为边时,如图2,设F(t,t+3),则CF=,"+4+3-3尸=企3
vPFIICE,PF=CF,
P(t,t+3—V2t),
把P(t,力+3-代入y=%?——x+3得/——t+3=t+3—解得=0(舍去),12=万—
・•・止匕时菱形CFEP的周长2=4V2t=4A/2(1一企)=18近一8,
综上所述,菱形CFEP的周长/为10位或18&-8.
【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握旋转的性质、二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性
质;会利用待定系数法求二次函数的解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式.
10.(2020•北京房山•九年级期中)如图,在AABC中,NB2C=90。,AB=AC,点。是△28C内一动点(不
包括△ABC的边界),连接40.将线段AD绕点2顺时针旋转90。,得到线段4E.连接CD,BE.
A
备用图
(2)求证:BE=CD;
⑶延长CD交4B于尸,交BE于G.连接8D,DE.当4BDE为等腰直角三角形时,请你直接写出,=.
BD
【答案】(1)图见解析
⑵证明见解析
⑶手或与
【分析】(1)根据题意画出图形即可;
(2)利用SAS即可证明△止4B三AZMC,即可得到结论;
(3)①根据两角相等的两个三角形相似即可判断;
②分两种情形分别求解即可.
(1)
解:图形如图所示:
E
证明::线段4。绕点力顺时针旋转90。,得到线段4E,
:.AD=AE,Z.DAE=90°,
/.BAG=90°,
/.CAD+^.BAD=Z.BAE+乙BAD=90°,
J.Z.CAD=^BAE.
在△£148和中,
-AE=AD
Z.EAB=Z-DAC,
、AB=AC
•••△EZBw△O/C(SAS),
:.BE=CD.
(3)
解:熊=手或色=当
①当4EDB=90。时,如图,设40=Q,
9
:AD=AEfZ,DAE=90°,
:.AE=AD=a,/.AED=45°
••DE=y/AE2+AD2=Va2+a2=V2a,
•••△BDE为等腰直角三角形,
:.BD=DE=V2a,乙BED=45°,
:.BE=>/BD2+DE2=J(V2a)2+=2a,
乙4EB=乙BED+Z.AED=45°+45°=90°,
:.AB=y/BE2+AE2=V(2a)2+a2=V5a,
・AB_V5a_V1O
.・BD-V2a-2;
c
②当乙BED=90。时,如图,设4D=a,
\'AD=AE,ADAE=90°,
:.AE=40=a,/_ADE=45°
DE=yjAE2+AD2=Va2+a2—V2a,
•••△BDE为等腰直角三角形,
:.BE=DE=V2a,4EDB=45°,
:.BD=>JBE2+DE2=J(V2a)2+(V2a)2=2a,
Z.ADB=4EDB+Z.ADE=45°+45°=90°,
:.AB=>IBE2+AE2=7(2a)2+a2=V5a,
・AB_V5a_V5
.・BD-2a~2,
故答案为:将^或日.
A
D
BC
【点睛】本题几何变换综合题,考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质、
勾股定理等知识,运用了分类讨论的思想方法.解题的关键是利用参数解决问题.
11.(2021・福建・平潭翰英中学九年级期中)阅读下列材料:问题:如图1,在正方形A8C。内有一点P,PA=
V5,PB=&,PC=1,求/8PC的度数.小明同学的想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分
散的已知条件集中在一起,于是他将△绕点B逆时针旋转90°,得到了△(如图2),然后连接PP'.请
你参考小明同学的思路,解决下列问题:
(1)如图2,猜想AAPP是否为直角三角形.并说明理由.并求出NBPC的度数
(2)如图3,若在正六边形A8C£)所内有一点P,且以=2旧,PB=4,PC=2,则求:
①的度数;
②直接写出正六边形ABCDEF的边长.
【答案】&)△APP是直角三角形,理由见解析,135。
(2)①120。;②2行
【分析】(1)由旋转的性质得出/P8P=90。,BP'=BP=<2,P'A=PC=1,ZBP'A=ZBPC,则得出△BPP,为等
腰直角三角形,NBFP=45。,证出AU=p,p2+pz2,可得出△APP为直角三角形,据此即可求得/8PC
的度数;
(2)①把△BPC绕点8逆时针旋转120。,得到了△8Pa,根据旋转的性质得到NPBP=120。,BP'=BP=4,
P'A=PC=2,ZBP'A=ZBPC,则/2尸7=/即波=30。,得至U尸7/=尸",利用含30。的直角三角形三边的关系得
到BH=^BP'=2,P'H=2百,得到P'P=2P'H=48,再利用勾股定理的逆定理可得到△APP为直角三角形,
S.ZAP'P=9Q°,即可求得/2PC的度数;②过A作AGL2P于G点,利用含30。的直角三角形三边的关系
得到GP=1,AG=心,然后在放AAGB中利用勾股定理计算出AB的长即可.
(1)
解:猜想AAPP是直角三角形.
理由如下:
如图2,「△BPC绕点2逆时针旋转90。,得到了△BPA,
AZP'BP=90°,BP'=BP=y[2,P'A=PC=\,ZBP'A=ZBPC,
...△BPP为等腰直角三角形,
:.PP'=V2PB=2,NBPP=45。,
在AAPP'中,AP=A/5,PP'=2,AP'=\,
V(V5)2=22+l2,
:.AP2=P'P2+P'A2,
.♦.△APP为直角三角形,NAPP=90。,
N8PA=/BPC=450+90°=135°;
(2)
解:①六边形ABCDEF为正六边形,
ZABC=120°,
•..把△2PC绕点2逆时针旋转120°,得到了△BPA,
AZP'BP=12O°,BP'=BP=4,P'A=PC=2,ZBP'A=ZBPC,
:.ZBP'P=ZBPP'=30°,
如图3:过B作于H,
\'BP'=BP,
:,P'H=PH,
在RfABPH中,NBFH=30。,BP'=4,
:.BH=:BP,=2,P'H=yJP'B2-BH2=V42-22=2次,
:,P'P=2P'H=4V3,
在乙APP中,AP=2V13,PP'=4V3,AP'=2,
V(2V13)2=(4V3)2+22,
:.AP2=P'P2+P'A2,
.♦.△APP为直角三角形,且/APP=90。,
ZBP,A=30°+90°=120°,
:.ZBPC=120°,
②过A作AGJ_8产于G点,
/APG=60。,ZGAP'=30°,
在MAAGP中,AP'=2,
:.GP'=\AP'=1,AG=y/P'A2-P'G2=V22-I2=V3,
在MAAGB中,GB=GP'+P'B=1+4=5,
:.AB=V4G2+GB2=J(a2+52=277,
即正六边形ABCDEF的边长为2V7.
【点睛】本题属于四边形综合题,考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相
等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性
质、勾股定理与逆定理以及含30。的直角三角形三边的关系,解题的关键是熟练掌握旋转的性质.
12.(2020.湖北.公安县教学研究中心九年级期中)将两块全等的含30。角的直角三角板按图1的方式放置,
(1)固定三角板AiBC然后将三角板A8C绕点C顺时针方向旋转至图2的位置,与A1。、&/分别交
于点。、E,AC与A】交于点
①当旋转角等于45。时,求NBCBi的度数;
②当A8_LAiBi时,试说明AO=CD
(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置,当时,试猜想41n与的数量
关系,并说明理由.
【答案】(1)①135。;②见解析
(2)4。=。。,理由见解析
【分析】(1)①根据旋转的性质可得;②根据题意证明△DAC为等腰三角形即可得到解答;
(2)利用含30。的直角三角形的性质和旋转的性质证明即可.
(1)
①由旋转的性质得,ZACAr=45°
:.ZBCD=ZACB-NAC4i=900-45。=45。
,oo
..ZBC^1=ZBC£)+Z>l1CF1=45+90=135
②・.・A5_LAiB]
:.ZA1ED=90°
V4。=30。
o
・•・Zi41Z)E=90°-ZAr=9Q-30。=60。
・•・ZBDC=ZArDE=60°
VZA=30°,ZACB=90°
:.ZB=60°
:.ZDCB=180°-ZBDC-ZB=60°
・•・ZACAt=30°
NA=30。
ZACAr=ZA
・•・△n4c为等腰三角形
:.AD=CD
(2)
结论:ArD=CDf理由如下:
u
:ABLArC
:.ZADC=90°
*:NA=30。
:.CD=-AC
2
由旋转的性质得,ArC=AC
CD=|a%。.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质和含30。直角三角形的性质,解决本题的关键是
掌握以上的性质进行求解即可.
13.(2020・广东・惠州市惠城区第三十九学校九年级期中)【问题提出】如图①,四边形ABCD中,AD=CD,
ZABC=120°,ZADC=60°,AB=2,BC=1,求四边形ABCD的面积.
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题.
①②③
(1)如图②,连接8Q,由于AO=CD,ZADC=60°,因此可以将△OC8绕点。按顺时针方向旋转60。,得
到AD4B',则△BOB'的形状是;
(2)在(1)的基础上,求四边形的面积.
【类比应用】
(3)如图③,四边形A3C。中,AD^CD,/ABC=75。,NAZ)C=60。,AB=2,8C=应,求四边形ABC。
的面积.
【答案】(1)等边三角形
⑵逋
-4
【分析】(1)根据旋转的性质得出8D=Z)B,,ZBDB'=60°,所以△是等边三角形;
(2)根据旋转的性质知等边三角形的边长为3,过点夕作夕ML2。,利用等边三角形的性质及勾股定理得
出三角形的高,求出的面积即可;
(3)类比(1),连接8£),由于AD=C。,所以可将△BCD绕点。逆时针方向旋转60。,得到△£)49,连
接8夕,延长区4,作出ELBE;易证△A尸夕是等腰直角三角形,△A仍是等腰直角三角形,利用勾股定理
计算AE=B'E=1,BB'=V10,求△ABB'和△BOB'的面积差即可.
(1)
解:如图2,连接BC,由于AO=C£>,所以可将△OC8绕点。顺时针方向旋转60。,得到△D4夕,
,:BD=B'D,/BDB'=60。
:.△BOB'是等边三角形,
故答案为:等边三角形;
图2
(2)
由旋转的性质得:ABCD经△B'AD,
二四边形ABCD的面积=等边△BOB,的面积,
':BC=AB'=\
:.BB'=AB+AB'=2+1^3,
:.BB'=BD=3,
过点夕作夕MLB。,如图2所示:
BM
:.=2-9
:.B'M=^32-(|)2=手,
•C—C—1yQV3瓜_9H
••J四边形4BC0_~22~4,
(3)
如图3,连接BD,由于AQ=C£>,所以可将△BCD绕点。逆时针方向旋转60。,得到△D4B,,
图3
连接8夕,延长A4,作出ELBE;
由旋转得公BCD丝AB'AD
•・S四边形ARC。一S四边形BQD
VZABC=75°,ZADC=60°,
:.ZBCD+ZBAD=3600-ZABC-ZADC=225°,
JNB,AD+/BAD=/BCD+/BAD=225。,
:.ZBABf=360°-(ZBfAD+ZBAD)=135°
:.ZBfAE=45°,
・・・A9AE为等腰直角三角形,
•:B,A=BC=0,
:.BrE=AE=l,
:.BE=AB+AE=2-^1=3,
:.BBr=yjBE2+BrE2=V10,
:"S>ABB,=5x48xB,E—1>
•;NBDB'=60。,BD=B'D,
・•・ABO夕为等边三角形,
同(2)中方法一致,得ABDB,得高为苧
・c1n~r\V305A/3
•・S"DB,=aXvlOx,
•・S四边形4BC0=S四边形BDB,4=SABDB'_ShABB'=~~^'
【点睛】题目主要考查旋转的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理解三角形,理解题意,综合运用
这些知识点并作出相应图形是解题关键.
14.(2020•天津市红桥区教师发展中心九年级期中)如图,在RtAABC中,N/1CB=90。,将AABC绕点C顺
时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点2的对应点。落在线段4B上,DE与BC相交于点F,连接BE.
A
E
(1)求证:DC平分N/WE;
(2)试判断8E与AB的位置关系,并说明理由;
(3)若BE=BD,求NABC的大小(直接写出结果即可).
【答案】(1)见解析
(2)BE1AB,理由见解析
(3)乙4BC的大小为22.5。
【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可;
(2)结论:AB±BE.证明/。2石+/。。石=180。,即可解决问题;
(3)连接A尸.过点B作交CD的延长线于X,作BTLCE于T,证明△BHDg/SBTK推出C2
是/QCE的角平分线,得到乙4。=45。,据此求解即可解决问题.
(1)
证明:•.,△DCE是由AACB旋转得到,
ACA=CD,ZA=ZCDE,
:.ZA=ZCDA,
:./CDA=/CDE,
平分乙4£>E;
(2)
解:结论:BE±AB.
由旋转的性质可知,ZACD=ZBCE,
VCA=CD,CB=CE,
ZCAD=ZCDA=ZCBE=ZCEB,
ZABC+ZCAB+ZACD+ZDCB=l?,0o,
:.ZABC+ZCBE+ZDCB+ZBCE=180°,
:./DCE+/DBE=180。,
ZDCE=90°,
:.ZDBE=90°,
:.BE±AB;
(3)
解:如图,连接AR过点8作5H_LCO交CD的延长线于H,作3T_LCE于T,
ZH=ZBTC=ZHCT=90°,
:.ZHBT=ZDBE=90°,
:./DBH=/EBT,
■:BD=BE,ZH=ZBTE=90°,
:./\BHD^/\BTE(AAS),
:.BH=BT,
■:BH工CH,BT_LCE,
・•・CB是/DCE的角平分线,
・・
•ZDCB=ZECB2=-ZDCE=45°,
丁ZACB=90°,
:.ZACD=ZFCD=45°,
VAC=CZ),
1R0°—4^0
•••/CA庆4*=^=67.5。,
ZABC=90°-ZCAD=22.5°.
【点睛】本题属于三角形综合题,考查了旋转变换,全等三角形的判定和性质,角平分线的判定和性质,
等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是证明△3HQ也△BTE
15.(2021.黑龙江.海林市朝鲜族中学九年级期中)如图1,在△ABC中,AB=ACfZBAC=60°,D为BC
边上一点(不与点-C重合),将线段绕点A逆时针旋转60。得到AE连接EC,则:
(1)①/ACE的度数是;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是.
拓展探究:
(2)如图2,在AA8C中,AB=AC,ZBAC=90°,。为BC边上一点(不与点8,C重合),将线段绕点
A逆时针旋转90。得到AE,连接EC,请写出NACE的度数及线段AD,BD,CO之间的数量关系,并说明
理由;
【答案】(1)60。,AC=DC+EC;
⑵NACE=45°,BD2+CD2=2AD2
【分析】(1)证明△BAOgZXCAE,根据全等三角形的性质解答;
(2)根据全等三角形的性质得到2ZXCE,NACE=/B,得到/OCE=90。,根据勾股定理计算即可;
(1)
解:(1)•.,在AABC中,AB=AC,ZBAC=6Q°,
:.ZBAC=ZDAE^60°,
:.ZBAC-ZDAC=ADAE-ADAC,即ZBAD=ZCAE,
'AB=AC
在4&4。和小CAE中,hBAD=/.CAE,
.AD=AE
:.ABAD^AC4£(SAS),
:.ZACE=ZB=60°,BD=CE,
:.BC=BD+CD=EC+CD,
:.AC=BC=EC+CD;
故答案为:60°,AC=DC+EC;
(2)
/ACE=45°,BD2+CD2=2AD2,
理由如下:
由(1)得,△BAD乌ACAE,
:.BD=CE,ZACE=ZB=45°,
:.ZDCE=9Q°,
:.CE2+CD2=ED2,
在我公ADE中,AD2+AE2ED2,又AZ)=AE,
:.BD2+CD2=2AD2.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质,掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键.
16.(2022・全国•九年级期中)(1)如图1,正方形ABC。,E、尸分别为8C、CD上的点,Z.EAF=45°,求
证:EF=BE+小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图1
证明上述结论.
图1
(2)如图2,若点E、尸分别在正方形ABCD的边C8、OC的延长线上,AEAF=45°,那么线段EF、DF、
BE之间有怎样的数量关系?请证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)DF=EF+BE,理由见解析
【分析】(1)根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可;
(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,结合(1)中证明方法进行证明即可.
【详解】证明:(1)-:AB=AD,
:.把4ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,可使与AD重合,
VZ-ADC=LB=90°,
:.^FDG=180°,即点尸、D、G共线,
:.^DAG=£.BAE,AE=AG,
Z-FAG=Z.FAD+AGAD=Z,FAD+/.EAE=90°-45°=45°=Z,EAF,
BPzEi4F=Z-FAG.
*:AF=AF,AE=AG
:.△AFG=^AFE
:.EF=FG.
:.EF=DF+DG=DF+BE,
即EF=BE+DF
(2)DF=EF+BE.
理由:如图2所示.
FCGD
图2
\9AB=AD,
:.把^ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,使AB与AD重合,
VZ.ADC=/.ABE=90°
・••点C、D、G在一条直线上.
:.EB=DG,AE=AG,AEAB=£.GAD.
9:£.BAG+^LGAD=90°
J./-EAG=乙BAD=90°.
,:LEAF=
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 管风琴项目运营指导方案
- 电动干衣机市场发展前景分析及供需格局研究预测报告
- 人脸识别与机器学习行业经营分析报告
- 电解水制氢氧设备项目运营指导方案
- 5G无人飞行器行业经营分析报告
- 厨房洗涤槽出租行业营销策略方案
- 修指甲工具产品供应链分析
- 纹章牌纸封签市场分析及投资价值研究报告
- 福建宁德五校2024-2025学年高三上学期11月期中考试英语试题 (解析版)
- 发光信号灯塔产品供应链分析
- 部编版《道德与法治》二年级上册第9课《这些是大家的》课件(共50张课件)
- 知道智慧网课《科技伦理》章节测试答案
- 国家开放大学《中文学科论文写作》形考任务1-4参考答案
- 2024年纳税服务条线专业知识考试题库(含答案)
- 高处作业吊篮危险源辨识及风险评价表
- 世界各国国家代号、区号、时差
- 新疆维吾尔自治区吐鲁番市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
- 新课标-人教版数学六年级上册第四单元《比》单元教材解读
- 全国高中青年数学教师优质课大赛一等奖《函数的单调性》课件
- 附件1保育实习个案观察记录
- DB∕T29-297-2021 海绵城市雨水控制与利用工程施工及验收标准
评论
0/150
提交评论