2023年高考数学总复习第4讲：不等式（附答案解析）

2023年高考数学总复习第4讲：不等式

一.选择题（共10小题）

1.（2022春•海淀区期末）如果“<b<0,那么下列不等式成立的是（）

A.B.a2<b2C.—<Z1D.ab>b2

abb

2.（2022•南京模拟）已知0Vα<l,h<0,则下列大小关系正确的是（）

A.ah<1<a2hB.1<ab<a2hC.ah<a2b<1D.a2h<ah<1

3.（2022春•越秀区期末）不等式3χ2-X-220的解集是（）

ʌ-{XI-∣≤x≤1}b∙{x∣-l≤x≤y）

C∙{X∣X<-∣J^X>1}D.{χ∣χ=≤-l或x≥∣^}

4.（2022春•温州期末）若正数。，b满足α+b=αb,则α+2b的最小值为（）

A.6B.4√2C.3+2√2D.2+2√2

5.（2022春•宿城区校级期末）已知实数x>0,y>0满足x+y=Λy,则x+4y的最小值为

（）

A.8B.9C.7D.10

6.（2022春•杭州期末）正实数。，6满足M=1,则α+4b的最小值为（）

A.2B.4C.5D.8

7.（2022春•浙江月考）已知X,y>0且x+2y=jςy,则x+y的最小值为（）

A.3+2√2B.4√2C.2√2D.6

8.（2022•上海）若实数a、6满足α>b>O,下列不等式中恒成立的是（〉

A.a+b>2∖JabB.α+6<2"∖/abC.曳+26>2Λ∕abD.-⅛-+2⅛‹2ʧab

22

9.（2022春•吉安期末）若关于X的不等式如2-20x-2<0恒成立，则实数α的取值范围为

（）

A.[-2,0]B.（-2,0]

C.（-2,0）D.（-∞,-2）U（0,+∞）

10.（2022春•十堰期末）若α>0,b>0,且M=3α+3b+27,则ab的最小值为（）

A.9B.16C.49D.81

二.多选题（共5小题）

（多选）11.（2022•汕头二模）已知a,b,C满足CVaV6,且αc<0,那么下列各式中一

第1页（共27页）

定成立的是（）

A.ac（a-c）>0B.CQb-a）<0C.cb2<ab2D.ab>ac

（多选）12.（2022春•安徽期中）若不等式以2+bx+c>0的解集为（-1,2）,则下列说法

正确的是（）

A.a<0

B.a+b+c>O

C.关于X的不等式以+cx+3α>0解集为（-3,1）

D.关于X的不等式fex2+cx+34>0解集为（-8,-ɜ）U（ɪ,+∞）

（多选）13.（2022•重庆模拟）已知α>0,b>0,且α+b=l,贝IJ（）

ʌ-2a2+b≥>ξ^B.!W^44C.ab≤^^^D.Va+7b≤V2

（多选）14.（2022•新高考H）若X,y满足x2ty2-Xy=1,则（）

A.x+y≤lB.x+y》-2C.X2+J^≤2D.x2,+y2^1

（多选）15.（2022∙如皋市模拟）已知X,>-∈R,x>0,y>0,且x+2y=l.则下列选项正

确的是（）

A.Ld的最小值为4√^B.x2+f的最小值为1

Xy5

C.>1D.2Λ■+1+4V>4

≡.填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

16.（5分）（2022春•柳州期末）若x>-2,贝IJf（χ）的最小值为_______.

WXχ+2

17.（5分）（2022春•沧州期末）已知α,6都是非零实数，若〃2+4庐=3,则的最

2,2

ab

小值为.

18.（5分）（2022春•徐汇区校级期末）已知方程/+2叶加=0（w∈R）的两根α,B满足∣a-

国=4,则机=.

19.（5分）（2022春•麻城市校级月考）若x>0,y>0,且工占1,则x+2y的最小值

Xy

是.

20.（5分）（2022春•衢州期末）已知正实数a,b满足LT_=则（a+l）（6+2）的最小

值是.

四.解答题（共5小题）

第2页（共27页）

21.(2022春•临夏县校级期中)求不等式的解集:

(1)-X2+4X+5<0;

(2)2X2-5x+2≤0;

⑶9>0；

χ-3

(4)5x+1<O.

x+1

22.(2022春•镇海区校级期末)已知函数/春)=x2-4x+h,若F(X)<0的解集为{x∣l<x

<m}.

(1)求b,的值；

(2)当Q为何值时，(α+b)X2÷2(α+b)X-IVO的解集为R?

23.(2022春•东城区校级月考)请回答下列问题：

(1)若关于X的不等式S-3X+2Q2>0(Q∈R)的解集为{χ∣XVl或χ>b},求”，b的值.

(2)求关于X的不等式ax?-3x+2>5-αx(α∈R)的解集.

24.(2022春•浙江期中)已知关于X的不等式α∕+bx-3>0(4,b∈R)∙

(I)若不等式的解集为(-1,-3),求实数”，6的值；

5

(2)若6=“-3,求此不等式的解集.

25.(2021秋•天山区校级期末)(1)已知χ<",求y=4χ-2-L的最大值.

44χ-5

(2)已知α>0,b>0且α+b=3,求2022+2022的最小值.

a+2021b+2020

第3页(共27页)

2023年高考数学总复习第4讲：不等式

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2022春•海淀区期末）如果q<6<0,那么下列不等式成立的是（）

A.ɪ<AB.a2<b2C.A<1D.ab>b2

abb

【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质.

【专题】方程思想；综合法；高考数学专题：数学运算.

【分析】运用不等式的性质直接求解.

【解答】解：选项/,'：a<h<0,.,A>X选项/错误；

ab

选项8,Vα<ft<O,：.a2-b2=（α+∂）（a-b）>0,a2>h2,选项3错误;

选项C,∖,a<b<O,.,.A>v选项C错误；

b

选项。，'.'a<b<O,>,.ab>b2,选项。正确.

故：选D.

答案为：D.

【点评】本题考查了不等式的性质，是基础题.

2.（2022•南京模拟）已知OVaV1,b<0,则下列大小关系正确的是（）

A.ab<1<a2bB.1<ab‹a2bC.ab<a2b<1D.a2b<ab<1

【考点】不等关系与不等式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；逻辑推理.

【分析】根据不等式的性质及指数函数的单调性，判断各选项即可.

【解答】解：∙.∙0Vα<l,6V0,.∙"26V1,.∙.Z5错误；

a>a2,α6<a⅛<],c正确，。错误.

故选：C.

【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题.

3.（2022春•越秀区期末）不等式3f-X-220的解集是（）

A,{XI-∣≤x≤1}b∙{x∣-l≤x≤y）

第4页（共27页）

c∙{xI■或x>l}D.{χ∣χ=≤-l或x≥∣∙}

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】根据题意，由一元二次不等式的解法分析的答案.

【解答】解:根据题意,3X2-X-2-0即（3x+2）（X-I）≥0.

解可得：x2或xW-2,即不等式的解集为{x∣xW-2或x21},

33

故选：C.

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题.

4.（2022春•温州期末）若正数α,b满足α+b=M,则α+2b的最小值为（）

A.6B.4√2C.3+2√2D.2+2√2

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用：数学运算.

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

【解答】解：因为正数“，6满足α+b=α6,

所以工+L=I,

ba

则0+26=Ca+2b）（L■工）=3+型+且23+2丧，

abab

当且仅当空=且且工+工=1,BPa=l+√2.6=1+亚时取等号，

abab2

所以a+2b的最小值为3+2√2∙

故选：C.

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.

5.（2022春•宿城区校级期末）已知实数x>0,y>0满足x+y=v,则x+4y的最小值为

（）

A.8B.9C.7D.10

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算.

【分析】根据题意，可得工+工=1,由此可得x+4y=（x+4y）（1+1）=5+四+三，再

XyXyXy

利用基本不等式求出最小值即可.

第5页（共27页）

【解答】解：根据题意，x>0,y>O且x+y=中，则有2%=LL=I,

xyXy

则x+4y=(x+4y)(A+A)-5+.⅛∑-+A∙>5+2.l⅛∑-χ.^∙--9,当且仅当x=2y时等号成立,

XyXyNXy

所以x+4y的最小值为9.

故选：B.

【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，属于基础题.

6.(2022春•杭州期末)正实数“，6满足M=I,则α+4b的最小值为()

A.2B.4C.5D.8

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.

【解答】解：：正实数α,6满足而=1,

.∖.(a+?)_≥a∙4b=4,即α+4bN4,当且仅当α=46,即α=2,fc=.λff'j',等号成立.

故选：B.

【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题.

7.(2022春•浙江月考)已知X,y>0且x+2y=w则x+y的最小值为()

A.3+2√2B.4√2C.2√2D.6

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】由已知可得，1+-2=1,从而有Xty=(x+y)(1+.2),展开后利用基本不等式

yXyX

可求.

【解答】解：x>0,y>0,且x+2y=xy,

.∙.L2=ι,

yX______

Λχ+y=(x+y)(工+2)=3+生+三23+2J改■三=3+2我，

yXXyVxy

当且仅当红=三且工+2=1,即y=l+&,》=企+2时取等号，

XyyX

故选：A.

【点评】本题主要考查了利用1的代换配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于基础

试题.

第6页(共27页)

8.(2022•上海)若实数a、Z>满足a>6>0,下列不等式中恒成立的是()

A.a+b>2yjabB.a+b<21abC.包+26>2A∕abD.曳+2b<2∙∖/ab

22

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】利用己知条件以及基本不等式化简即可判断求解.

【解答】解：因为α>b>O,所以α+bN2√^,当且仅当时取等号，

又a>b>3所以α+b>2λ∕器，故/正确，8错误，

ɪ+2b>2^∣×2b=2√ab.当且仅当∙∣∙=2b即α=4b时取等号，故8错误，

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.

9.(2022春•吉安期末)若关于X的不等式62一2内-2<0恒成立，则实数。的取值范围为

()

A.[-2,0]B.(-2,0]

C.(-2,0)D.(-∞,-2)U(0,+8)

【考点】二次函数的性质与图象；函数恒成立问题.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；逻辑推理；数学运算.

【分析】当。=0时，不等式成立；当α≠0时，不等式OV2-2αχ-2<0恒成立，等价于

fa<0,

0由此能求出实数α的取值范围.

△=(-2a)-4a×(-2)<0,

【解答】解：关于X的不等式αx2-2"-2VO恒成立，

当α=0时，不等式成立；当.≠0时，不等式a/-2取-2<0恒成立，

Wfa<O,

等价于4-2<a<0.

△=(-2a)~4a×(-2)<0,

综上，实数。的取值范围为(-2,0].

故选：B.

【点评】本题考查实数取值范围的求法，考查函数恒成立、一元二次不等式性质等基础

知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.(2022春•十堰期末)若α>0,b>0,且必=3α+3%+27,则ab的最小值为()

A.9B.16C.49D.81

第7页(共27页)

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】函数思想；定义法；不等式；数学运算.

【分析】由题意得ab=3a+3b+27>6√^b+27，

ab-6√ab-27=（√ab-9）（√ab+3）>0.求出成281,由此能求出M的最小值.

【解答】解：Ω>0,b>0,且M=3α+3Z>+27,

由题意得ab=3a+3b+27>6√石+27-

ab-6Vab-27=（Vab-9）（Vab+3）≥0>

解得>9，即必281,

当且仅当a=∕>=9时，等号成立.

.∙.t⅛的最小值为81.

故选：D.

【点评】本题考查基本不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

二.多选题（共5小题）

（多选）11.（2022•汕头二模）已知α,b,C满足c<α<6,且αc<O,那么下列各式中一

定成立的是（）

A.ac（a-c）>0B.C（b-a）<0C.ch2<ah2D.ah>ac

【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质.

【专题】计算题；整体思想；综合法：不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】利用不等式的基本性质求解.

【解答】解：因为α,b,C满足c<α<b,且αc<O,

所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,

所以0c（α-c）<0,c（b-a）<0,c⅛2<α⅛2>ab>ac,

故选：BCD.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题.

（多选）12.（2022春•安徽期中）若不等式"2+fcv+c>0的解集为（-1,2）,则下列说法

正确的是（）

A.α<0

B.a+b+c>O

C.关于X的不等式⅛χ2+cx+3">0解集为（-3,1）

D.关于X的不等式⅛x2+cx+3α>0解集为（-8,-3）U（1,+∞）

第8页（共27页）

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】计算题：转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解.

【解答】解：A：αχ2+fec+c>o的解集是(-1,2),则α<0,正确.

B：由题意知令/(x)-ax2+bx+c,由/(x)-ax2+bx+c>0的解集是(-1,2),可得/

(1)="+b+c>O,正确.

C：由题意知0χ2+⅛x+c=o的解是X=-1,2,则由韦达定理得且=7,£=-2,即

aa

fox2+CX+34>0变为-ɑf-20x+30>0,BRx2+2x-3>0,即x<-3或x>l,

关于X的不等式bx2+cx+34>O解集为(-8,-3)u(1,+∞),C错误，。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查一元二次方程二次函数与一元二次不等式的解法之间的关系.

(多选)13.(2022•重庆模拟)已知α>0,b>0,且α+b=l,则()

ʌ,2a2+b≥ξ^b∙!T44c,ab≤^∣^d∙Va+Vb≤V2

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；对应思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】利用基本不等式求最值判断88,利用二次函数求最值判断4

【解答】解:A,Vα>0,b>0,Ka+b=1,：.b=\-a>0,Λ0<α<l,.'.2a2+b=2a2

2

-a+∖—2(g-ɪ)+—^ɪ,...N正确，

、J88

B,,.,A+A=(A+A)(α+6)=A+A+2≥2√T+2=4,当且仅当α=b=%j,等号成

ababab2

立，二B错误，

ab

C,,.'a>0,h>0,l=β+⅛>2√ab.Λa∕)≤X当且仅当α=6=工时，等号成立，

42

正确，

D,；(夷+∙s^)2=α+6+2J^W1+1=2,当且仅当tz=b=∙∣∙∏寸，

等号成立，.♦.£»正确，

故选：ACD.

【点评】本题主要考查了基本不等式求最值问题，二次函数求最值，属于中档题.

(多选)14.(2022•新高考II)若X,y满足『+_/-Xy=1,贝IJ()

第9页(共27页)

A.x+yWlB.x+y^-2C.x2+y2≤2D.x2+y2^1

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】方法一：原等式可化为，（X-Σ-）2+（喙y）2=L进行三角代换，令

Xjy=COSθ

x=~V^sinθ+cosθ

则《L，结合三角函数的性质分别求出与/+/

,χ+y

√3_.θ2y3.R

-γ^y-sι∏by—C-sinD

ð

I的取值范围即可.

2ɪ2

方法二：由％2+>?2-孙=1可得，（工+7）2=1+3盯:^1+3I=孙<2T-

分别求出x÷y与x2÷y2的取值范围即可.

【解答】解：方法一：由x2t√-孙=1可得，G-X）2+2=1,

2

yx=~^~si∏θ+cosθ

χ-ɪ=cosθ

令，则<

√3v-2√3.fi

y=si∏θy—ɜ-SlnD

2

Λx+ʃ=√3sinθ+cosθ=2sin(8T)∈[-2.2],故4错，8对,

,/x2+y2=(冬∙sinθ+cosθ)2+inθ)2=-^sin2θ-JCQS2θ

ððð

9一

可Sin（28，2],

故C对，。错,

方法二：对于4,B,由x2+y2-xy-∖可得，(x+y)2=l+3xy≤1+32,即

-^(x+y)2≤Γ

(x+y)2W4,-2Wx+yW2,故/错，8对,

2,2

222

对于C,D,由χ2+y-孙=1得，x+y-1=χy——y

「2

∙∙∙f+∕<2,故C对，。错,

故选：BC.

【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分

析问题，转化问题的能力，属于中档题.

第10页（共27页）

（多选）15.（2022∙如皋市模拟）已知X,v∈R,x>0,y>0,且x+2y=l.则下列选项正

确的是（）

A.工J∙的最小值为4加B.x2+y2的最小值为工

Xy5

X-2y

D.2x+∣+4>'Z4

c.~~2~2>1

X+y

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法：不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断小B、C、。的结论.

【解答】解：对于小已知X,JÆR,X>0,y>0,且x+2y=l,所以工JW≥LJ⅛

xyXy

,2

=∣+3+-÷^-≥3+2V2当且仅当y=2y等号成立，故4错误；

Xy

对于8：x2+y2=（1-2y）2+y2=5y2-4y+l=5（y—）当寸，最小值为工;

5555

故B正确；

对于C：当X=L,»=%寸，，-2丫2〉1不成立,故C错误；

24χ2+y2

x+1y3d12y3c42yt1,

对于。：2+4=2^+2>2>∕2^^=4当且仅当N=a时，等号成立，故。

正确.

故选：BD.

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于中档题.

Ξ.填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

16.（5分）（2022春•柳州期末）若x>-2,贝IJf（X）=Xn^的最小值为0.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算.

【分析】依题意，x+2>0,再利用基本不等式求解即可.

【解答】解：∙.∙χ>-2,

Λx+2>0,

'f（x）=X+ɪ=X÷2÷~y^2≥2J（x+2）∙~y-2=0,当且仅当”=1时等号成".・

X+2X+2VX+2

第11页（共27页）

.∙.∕(x)的最小值为o.

故答案为：0.

【点评】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

17.(5分)(2022春•沧州期末)己知α,b都是非零实数，若次+4/>2=3,则-L+_L的最

2,2

ab

小值为3.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解最小值即可.

【解答】解：“，6都是非零实数，若『+4庐=3,则」_+」_=(2_+_L).1-(α2+4⅛2)

2,22,2Q

abab0

,22

=—1(5+)λb+ɪ-)

322

0aub

≥A.(5+4)=3,当且仅当〃α=l时，取等号.

32

故答案为：3.

【点评】本题考查基本不等式的应用，最小值的求法，是基础题.

18.(5分)(2022春•徐汇区校级期末)已知方程x2+2t+m=0(∕κ∈R)的两根α,B满足∣a-

β∣=4,则m=-3.

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由根与系数的关系可得，a+β=-2,aβ=m,再结合完全平方公式求解.

【解答】解：由根与系数的关系可得，a+0=-2,邓=加，

β∣=√(a+β)¼aβ=∙"4m=4,

.∙.4-4∕n=l6,：.m—-3,

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题.

I9.(5分)(2022春•麻城市校级月考)若x>0,y>0,且工+l=l,则x+2y的最小值是

Xy

9±4√2-.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

第12页(共27页)

【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解.

【解答】解：因为x>0,>>0,且工_4=1，

Xy_______

所以x+2y=(x+2y)(ɪ,jʃɪ)=9+-⅛-4^-≥9+2Λ^^∙*~^^=9+4Λ∕2,

XyXyVxy

当且仅当空h⅛JL∙Λ=l,BPX=1+2√2,y=4+&时取等号，

XyXy

此时x+2y取得最小值9+4√2.

故答案为：9+4√2∙

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

20.(5分)(2022春•衢州期末)已知正实数4,b满足工+3=]_,则(4+l)(6+2)的最小

值是2√^∩+13.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；对应思想；定义法；不等式；数学运算.

【分析】化简整理可得3α+b=M,运用1的代换，根据基本不等式，即可求得答案.

【解答】解：因为工q=1,则3α+b=αb,

ab

所以(α+l)(⅛+2)=2a+b+ab+2=5a+2b+2-(50+2b)(ɪ÷ɜ-)+2=J^∙+垄+132

abba

2.⅛⅛-..2k+l3=2√30+13,

Vba__

当且仅当Ra=2b,即6=返_=更返_时等号成立.

ba22

故答案为：2、30+13.

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

四.解答题(共5小题)

21.(2022春•临夏县校级期中)求不等式的解集：

(1)-X2+4X+5<0:

(2)2X2-5x+2≤0;

⑶丐›0；

χ-3

(4)5x+1<Q.

X+1

【考点】一元二次不等式及其应用；其他不等式的解法.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

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【分析】(1)不等式化为χ2-4χ-5>0,求出解集即可:

(2)不等式化为(2χ-l)(χ-2)≤O,再求解集；

(3)不等式化为［(χ+ι)(χ-3))o,再求解集；

1x-3τ^0

(4)不等式化为(X-I)(x+l)<0,即可求出解集.

【解答】解：(1)由-χ2+4χ+5<0,得χ2-4χ-5>0,

解得x<-1或x>5,

所以不等式的解集为{x∣x<-1或x>5};

(2)由2x2-5x+2≤0,得(2x-1)(X-2)≤0,

解得x≤2,

所以不等式的解集为{χ∣l≤x≤2};

(3)由三包》&可得((x+l)(x-3)>0,

x-3,Ulχ-3≠0

解得XW-I或x>3,

所以不等式的解集为{x∣xW-1或x>3};

(4)由5x+l<3,可得2χ-2<0,

x+1x+1

等价于(X-I)(x+1)<0,解得-1<x<l,

所以不等式的解集为{x∣-IVxVl}.

【点评】本题考查了一元二次不等式和可化为一元二次不等式的解法与应用问题，是基

础题.

22.(2022春•镇海区校级期末)已知函数/(x)≈x2-4x+b,若/(x)VO的解集为{x∣lVX

V〃?}.

(1)求b,m的值；

(2)当α为何值时，(4+6)x2+2(a+b)χ-1<0的解集为R?

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】计算题；分类讨论；函数思想；判别式法；分类法；函数的性质及应用；数学

运算.

【分析】(1)根据二次函数根与系数的关系列式计算即可；

(2)分α+b=O和a+b≠O讨论，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系

即可得出.

第14页(共27页)

【解答】解：(l)∕(x)=χ2-4x+6V的解集为｛x∣l<x<w｝,

zfl⅛ι=4,解得：机=z>=3.

11×m=b

(2)将6=3代入不等式，(α+3)X2+2(α+3)χ-1<0,

①当α+3=0时，-IVO的解集为R,α=-3,满足题意；

o…a+3<0

②当a+3<0时，)W,

.Δ=4(a+3)2+4(a+3)<0

解得：-4<α<-3：

综上所述，α的取值范围为(-4,-3].

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分

析求解的能力和计算能力，属于基础题.

23.(2022春•东城区校级月考)请回答下列问题：

(1)若关于X的不等式χ2-3x+2q2>0(αeR)的解集为｛小<1或χ>6｝,求“，6的值.

(2)求关于X的不等式of-3χ+2>5-ax(tz∈R)的解集.

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】方程思想：分类法：不等式：数学运算.

【分析】(1)由题意可是1和b为方程/-3x+2∕=0的两根，利用韦达定理得以方程组,

解得即可；

(2)不等式为αf+(α-3)X-3>0,即(ax-3)(x+l)>0,讨论α=0,a>0,a—

-3,a<-3,-3<α<0,由二次不等式的解法，即可得到所求解集.

【解答】解：(1)；关于X的不等式Λ2-3x+2∕>0Q∈R)的解集为｛小<1或x>b｝,

ʌ1和b为方程X2-3x+2『=0的两根，

,fl-H>=3解得(b=2

.lXb=2a*U=±1

(2)关于X的不等式ax2-3x÷2>5-ax(a∈R),

即ax2^+(α-3)X-3>0,即(Or-3)(x+l)>0,

当a=0时∙，原不等式解集为｛x∣xV-1)；

当α≠0时，方程(ax-3)(x÷l)=O的根为Xl=3XC=-L

aδ

①当α>0时，3>_i，二原不等式的解集为｛小>苣或χV-1｝；

aa

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②当-3<α<0时，旦<-1,.∙.原不等式的解集为｛x∣3<x<-1｝；

aa

③当α=-3时，3=7,原不等式的解集为0；

a

④当α<-3时，芭>一1，.∙.原不等式的解集为｛x∣-l<x<3｝.

aa

【点评】本题考查实数值的求法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

24.（2022春•浙江期中）已知关于X的不等式OX2+⅛X-3>0（“，6∈R）.

（1）若不等式的解集为（-1,-3）,求实数m6的值；

5

（2）若6=α-3,求此不等式的解集.

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出a、b的值.

（2）把6=。-3代入不等式，利用分类讨论法求出不等式的解集.

【解答】解：（1）因为不等式“χ2+⅛v-3>0的解集为（-1,-ɪ）,

5

所以-1和-3是方程ax2+bx-3=0的两个实数根，

5

f13b

5a

所以V，解得α=-5,b=-8.

-IX（V）=且

5a

（2）b=α-3时，不等式为“f+（Q-3）X-3>0,即（OX-3）（x+l）>0,

当Q=O时，解不等式得XV-I；

当〃>0时，不等式化为（x-3）（x÷i）>o,且3>-ι,解不等式得XV-I或工>3；

aaa

当α<0时，不等式化为（χ--l）（x+l）<0,

a

若α=-3,则3=7,不等式化为（x+l）2<0,不等式无解：

a

若-3<α<0,则旦<-I,解不等式得$<x<-I；

aa

若α<-3,则∙l>-l,解不等式得-l<x<2∙;

aa

综上知，α=0时，不等式的解集为（-8,-I）.

α>0时，不等式的解集为（-8,-I）IJ（3,+8）；

a

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α=-3时，不等式的解集为0；

-3VaVO时，不等式的解集为（3,-1）；

a

-3时，不等式的解集为（-1,3）.

a

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中

档题.

25.（2021秋•天山区校级期末）（1）已知χ<∙∑,求y=4χ-2∏-L的最大值.

44χ-5

（2）已知“>0,6>0且α+b=3,求20222022的最小值.

a+2021b+2020

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】（1）由y=4χ-2∙∏L=-（5-4x+^^）+3,然后结合基本不等式可求；

4χ-55-4X

（2）先设X=2021+α,y=2020+b,则x>2021,y>2020,且χ^=4044,而

2022+2022=2022f2022=2022（⅛÷⅛）X1=」（2+XJ）,然

a+2021b+2020xyxy40442xy

后结合基本不等式可求.

【解答】解：（I）因为χ<立，

4

所以y=4χ-2∙∣——--=-（5-4x+—ɪ—）+3≤-2+3=1,

4χ-55-4X

当且仅当5-4X=-ɪ,即x=l时取等号，此时函数取得最大值1；

5-4x

（2）设x=2021+a,y=2020+b,则x>2021,y>2020,且田7=4044,

所以2022I2022=2022,2022（史上+⅛）XI=I（2+工二）

a+2021b+2020xyxy40442xy

当且仅当χ=y=2022时取等号，此时20222022取最小值2.

a+2021b+2020

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属

于中档题.

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考点卡片

1.函数恒成立问题

【知识点的认识】

恒成立指函数在其定义域内满足某一条件(如恒大于O等)，此时，函数中的参数成为

限制了这一可能性(就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件)，因此,

适当的分离参数能简化解题过程.例：要使函数/(x)=G人2+1恒大于0,就必须对。进行

限制--令这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题

较简单

【解题方法点拨】

一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导.

例：f(x)=x2+2x+3^ax,(x>0)求”的取值范围.

解：由题意可知：aWX+2x+3恒成立

X

即αWx+g+2

X

=><Z≤2Λ∕3+2

【命题方向】

恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全

面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用.

2.二次函数的性质与图象

【二次函数】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，

因变量随着自变量的变化而变化.它的一般表达式为：y=α