时勾股定理完整版

17.1勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)第十七章勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)

优

翼

课

件

导入新课讲授(jiǎngshòu)新课当堂练习课堂小结

八年级数学下（RJ）教学课件第1课时勾股定理第一页，共三十一页。学习目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点）2.会用勾股定理进行简单(jiǎndān)的计算.（难点）第二页，共三十一页。其他星球上是否存在(cúnzài)着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.导入新课情景(qíngjǐng)引入第三页，共三十一页。据说(jùshuō)我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定(yīdìng)会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.第四页，共三十一页。勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明(zhèngmíng)了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：第五页，共三十一页。讲授(jiǎngshòu)新课勾股定理的认识及验证一

我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客(zuòkè)，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：ABC问题1

试问正方形A、B、C面积(miànjī)之间有什么样的数量关系？第六页，共三十一页。ABC一直(yīzhí)角边2另一直(yīzhí)角边2斜边2+=

问题2

图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么(shénme)特殊关系？第七页，共三十一页。问题3

在网格中一般的直角三角形，以它的三边(sānbiān)为边长的三个正方形A、B、C

是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积(miànjī)都好求，该怎样求C的面积呢？第八页，共三十一页。方法(fāngfǎ)1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：第九页，共三十一页。方法(fāngfǎ)2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：右图：你还有其他办法(bànfǎ)求C的面积吗？第十页，共三十一页。根据(gēnjù)前面求出的C的面积直接填出下表：

A的面积B的面积C的面积左图右图413259169思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条(sāntiáo)边之间有怎样的特殊关系？第十一页，共三十一页。命题(mìngtí)1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.由上面的几个例子(lìzi)，我们猜想：abc下面的动图形象(xíngxiàng)的说明了命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.第十二页，共三十一页。abbcabca证法1让我们跟着(gēnzhe)我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.第十三页，共三十一页。abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-a证明(zhèngmíng)：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开(zhàokāi)的国际数学家大会的会徽.第十四页，共三十一页。证法2

毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行(jìnxíng)拼图，然后分析其面积关系后证明吧.第十五页，共三十一页。aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明(zhèngmíng)：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，第十六页，共三十一页。aabbcc∴a2+b2=c2.证法(zhènɡfǎ)3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证(qiúzhèng)：a2+b2=c2.第十七页，共三十一页。在我国又称商高定理(dìnglǐ)，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数(zhèngshù)如果(rúguǒ)直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：勾股定理abc归纳总结第十八页，共三十一页。在中国古代，人们把弯曲(wānqū)成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾2+股2=弦2小贴士第十九页，共三十一页。

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)得

利用勾股定理进行计算二CAB第二十页，共三十一页。（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【变式题1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立(jiànlì)方程得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程(fāngchéng)思想设未知数，根据勾股定理列方程(fāngchéng)求解.归纳第二十一页，共三十一页。【变式题2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题(běntí)斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图

当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况(qíngkuàng)下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.归纳第二十二页，共三十一页。例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积(miànjī)公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形的面积(miànjī)求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．归纳第二十三页，共三十一页。练一练

求下列(xiàliè)图中未知数x、y的值：解：由勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)可得

y2+144=169，解得

y=5第二十四页，共三十一页。当堂(dānɡtánɡ)练习1.下列(xiàliè)说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分(bùfen)是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²第二十五页，共三十一页。3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=

.

（2）若c=13，b=12，则a=

.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三(dìsān)边长的平方为_________.17574或24第二十六页，共三十一页。5.求斜边长17cm、一条直角(zhíjiǎo)边长15cm的直角三角形的面积.解：设另一条(yītiáo)直角边长是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289–225=64，∴

x=±8（负值舍去），∴另一直角边长为8cm，直角三角形的面积(miànjī)是

(cm2).第二十七页，共三十一页。6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长(zhōuchánɡ)．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周长(zhōuchánɡ)=AB+AC+BC=．第二十八页，共三十一页。解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝AB2＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分(bùfen)的面积为AB2＝.7.如图，以Rt△ABC的三边(sānbiān)长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.能力(nénglì)提升：第二十九页，共三十一页。课堂(kètáng)小结勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)内容(nèiróng)在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角