9.9 以乘法公式为背景的综合问题（重难点培优）-苏科版七年级下册数学第9章《整式的乘法与因式分解》尖子生同步培优（附答案解析）

专题9.9以乘法公式为背景的综合问题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示）．（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2得a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．3．（2020春•淮安区期末）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．；（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片张．（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．4．有两根同样长的铁丝．（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．①若其中长方形的长为5cm，宽为3cm，则正方形的边长为cm；②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为cm（用含x、y的代数式表示）；③若长方形的长比宽多acm，用含a的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；（2）将其中一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形拼成如图所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠），若铁丝总长为28cm，两个正方形面积和为25cm2，则阴影部分面积为cm2．5．（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为．（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为．（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；②计算：(1-17．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）8．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）计算：（1-122）（1-132）（19．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1-122）（1-132）（1-10．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是：（请选择正确的一个）．A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；②计算：(1-111．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．12．【知识情景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积．（1）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是．【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为；（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1-122）（1-132）（114．（1）如图1，阴影部分的面积是．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：（1-122）（1-132）（1-115．如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；（2）求拼好后长方形的周长；（3）若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．16．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．17．如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积．18．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．①图2中的阴影部分的面积为；②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y=94，则（x﹣y）2＝④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是．20．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：方法2：（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝．参考答案1．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2．（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x﹣y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；（2）将（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，代入（1）中的等式可求解；（3）将2x+y＝5，xy＝2，代入（1）中的等式可求解；【解析】（1）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）∵（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝24xy＝9﹣5，∴xy=1（3）∵（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝8xy，∴25﹣16＝（2x﹣y）2，∴2x﹣y＝±3．2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2得a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝6；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【分析】理解题目给出得例题，再根据完全平方公式的变形应用，解决问题．【解析】（1）∵x+y＝8；∴（x+y）2＝82；x2+2xy+y2＝64；又∵x2+y2＝40；∴2xy＝64﹣（x2+y2），∴2xy＝64﹣40＝24，xy＝12．（2）①∵（4﹣x）+x＝4，∴[（4﹣x）+x]2＝42[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；又∵（4﹣x）x＝5，∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．（3）由题意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC•BC+BC2＝36；∴2AC•BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，AC•BC＝9；图中阴影部分面积为直角三角形面积，∵BC＝CF∴S△ACF3．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．（3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；（3）有（1）的等量关系，代入求值即可．【解析】（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab；因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）∵（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，故答案为：3；（3）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，a+b＝5，a2+b2＝13，∴25＝13+2ab，∴ab＝6，答：ab的值为6．4．有两根同样长的铁丝．（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．①若其中长方形的长为5cm，宽为3cm，则正方形的边长为4cm；②设其中长方形的长为xcm，宽为ycm，则正方形的边长为x+y2cm（用含x、y③若长方形的长比宽多acm，用含a的代数式表示正方形面积与长方形面积的差S（写出过程）；（2）将其中一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形拼成如图所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠），若铁丝总长为28cm，两个正方形面积和为25cm2，则阴影部分面积为6cm2．【分析】（1）①根据周长相等，可求出正方形的边长；②根据长方形的周长与正方形的周长相等，得出结果，③设出长方形的长，表示宽和周长，进而表示正方形的边长，（2）设两个正方形的边长为a、b，利用面积和为25，周长和为28，列方程组求出边长，进而计算出阴影部分的面积．【解析】（1）①长方形的周长为：（5+3）×2＝16，因此正方形的边长为：16÷4＝4cm，故答案为：4；②由题意得，2（x+y）÷4=x+y故答案为：x+y2③设长方形的长为xcm，则宽为（x﹣a）cm，则正方形的边长为：2x-a2cm∴S＝（2x-a2）2﹣x（x﹣a）=（2）设大正方形的边长分别为acm，小正方形的表示为bcm，由题意得，a2+b∴S阴影部分=12ab＝6cm故答案为：6．5．（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为120．（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为2021．（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可；（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，计算出a﹣b的值，利用2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2，进行计算即可；（3）由题意知，a2+b2＝400，a﹣b＝4．利用（a﹣b）2+2ab＝a2+b2计算ab的值即可；【解析】（1）设a＝80﹣x，b＝x﹣70，则ab＝﹣10，a+b＝80﹣x+x﹣70＝10，∴（80﹣x）2+（x﹣70）2的值＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100+20＝120，故答案为：120；（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，则a﹣b＝2020﹣x﹣2017+x＝3，∴（2020﹣x）（2017﹣x）＝ab=12[a2+b2﹣（a﹣b）2]故答案为：2021；（3）设LD＝a，DK＝b，则AD＝8+a，DC＝b+12．由题意知，8+a＝b+12，a2+b2＝400，∴a﹣b＝4．∴（a﹣b）2+2ab＝a2+b2∴42+2ab＝400，所以ab＝192．所以长方形NDMH的面积为ab＝192．即：S矩形NDMH＝ab＝192．6．（2020秋•武都区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是B；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；②计算：(1-1【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）①把9x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把3x+2y＝6代入即可求解；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．【解析】（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案是B；（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），∴24＝6（x﹣2y）得：3x﹣2y＝4；②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1=1=1=117．（2020秋•洮北区期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【解析】（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣n2+2np﹣p2．8．（2020春•滨海县期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是A．（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）计算：（1-122）（1-132）（1【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案，（2）x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，又x+y＝8，可求出x﹣y的值，（3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案．【解析】（1）图1的剩余面积为a2﹣b2，图2拼接得到的图形面积为（a+b）（a﹣b）因此有，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：A（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，又∵x+y＝8，∴x﹣y＝16÷8＝2；（3）原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1=1=1=20219．（2020春•广陵区期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是B（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1-122）（1-132）（1【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．（2）利用平方差公式计算即可．（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．【解析】（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1-122）（1-132）（1＝（1+12）（1-12）（1+13）（1===202110．（2020春•邗江区期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是：A（请选择正确的一个）．A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；②计算：(1-1【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．【解析】（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是A，故答案为：A；（2）①∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝24，2x+3y＝8，∴2x﹣3y＝24÷8＝3；②(1-1=(1-1=1=1=202111．（2020春•河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为3．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；【应用】（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．【解析】【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2∴2m﹣n＝3故答案为3．（2）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝505012．（2019春•东海县期中）【知识情景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积．（1）如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．如图3是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（3）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的恒等式求a3+b3的值．【分析】（1）图1的阴影部分的面积可以表示为a2﹣b2，拼成图2的面积可表示为（a+b）（a﹣b），因此可得出等式，（2）用不同的方法表示正方体体积，进而得出（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3【解析】（1）图1阴影部分的面积可以表示为a2﹣b2，拼成图2的面积可表示为（a+b）（a﹣b），因此a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），（2）整体上正方体的体积为（a+b）3，再分别表示八块的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，因此（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（3）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3得，a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝64﹣3×2×4＝40．13．（2019春•玉田县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是B；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1-122）（1-132）（1【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．【解析】（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，∴x﹣2y＝12÷4＝3；②（1-122）（1-132）（1＝（1-12）（1+12）（1-13）（1===101014．（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是a2﹣b2．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是（a﹣b）（a+b）．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2．（4）应用公式计算：（1-122）（1-132）（1-1【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．【解析】（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，则其面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（4）（1-122）（1-132）（1-1＝（1-12）（1+12）（1-13）（1===201915．（2018秋•秦淮区期中）如图，将边长为a的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为b的小正方形，将剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；（2）求拼好后长方形的周长；（3）若a＝9，b＝3，求拼好后长方形的面积．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据矩形的周长公式计算即可；（3）根据矩形的面积公式计算即可．【解析】（1）如图所示；（2）拼好后长方形的周长＝4b+4（a﹣b）＝4a；（3）拼好后长方形的面积＝（a﹣b）（a﹣b+2b）＝（a﹣b）（a+b），当a＝9，b＝3，（a﹣b）（a+b）＝6×12＝72．16．（2018春•江都区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．【解析】（1）S1=a2-b2，S2＝（a（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1＝（28﹣1）（28+1）+1＝（216﹣1）+1＝216．17．（2020春•泰兴市校级期中）如图摆放两个正方形，它们的周长之和为24、面积之和为20，求阴影部分的面积．【分析】根据题意得，a+b＝6，a2+b2＝20，利用面积的和差解答即可．【解析】根据题意得，a+b＝6，a2+b2＝20，∴ab=12[（a+b）2﹣（a2+bS阴影＝a2+b2-12a2-12（a+b）×b=12a2+1218．（2020春•槐荫区期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，