安徽省安庆市皖江高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（含解析）

皖江高中2023-2024学年度高一第一学期数学期中考试卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列关系中正确的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．42．集合，，则（

）A． B． C． D．3．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．函数的定义域为（

）A． B． C． D．5．下列各组函数是同一函数的是（

）①与；

②与；③与；

④与．A．①② B．①③ C．③④ D．①④6．设集合，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．7．当时，的最大值是（

）A．-8 B．-6 C．8 D．108．设函数若对，且，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分）9．下列函数中，值域为的是（

）A．， B．C．， D．10．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．集合，集合，若，则的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．312．若，，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．集合中只含有1个元素，则实数a的取值是．14．试用列举法表示集合：；15．关于的不等式的解集是，则不等式的解集为.16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.18．设集合(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.19．已知函数，的解集为．（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值．20．已知函数(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值．21．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.22．已知函数.(1)若，求的最小值及此时的值；(2)若，根据函数单调性的定义证明为增函数.答案与解析1．B【分析】直接根据元素与特殊数集的关系进行判断.【详解】①错误；②正确；③错误；④正确，故选：B.2．C【分析】利用交集的定义即可得解.【详解】因为集合，，所以，.故选：C.3．C【分析】解不等式得到，根据范围的大小关系得到答案.【详解】，，故“”是“”的必要不充分条件.故选：C.4．D【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果【详解】要使函数有意义，必须，解得且，则函数的定义域为，故选：D．5．C【分析】通过验证定义域和对应法则，判断两个函数是否为同一函数.【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数；所以是同一函数的是③④．故选：C．6．A【分析】根据集合相等的含义求出可得答案.【详解】因为，，所以，所以.故选：A.7．B【分析】根据题意可将构造为形式，然后利用基本不等式从而求解.【详解】由题意得：令，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以；故最大值为：.故选：B.8．A【分析】由分段函数在上单调递减可得关于的不等式组，进而可得的取值范围.【详解】因为函数对，且，都有，可得是上的减函数，所以有解得.故选：A.9．AC【分析】AC选项通过函数单调性求值域；B选项通过二次函数的性质求值域；D选项通过基本不等式求值域.【详解】对于A：，，函数在定义域上单调递增，又，，所以，故A正确；对于B：由，所以，即，故B错误；对于C：，，函数在定义域上单调递增，又，，所以，故C正确；对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故D错误；故选：AC10．ABC【分析】根据已知代入特殊值可得的值，可判断A，B；再根据换元法求解解析式即可得，从而判断C，D.【详解】因为，所以时，可得，故A正确；所以时，可得，故B正确；令，则，所以，则，故C正确，D不正确.故选：ABC.11．AD【分析】利用集合的包含关系，判断可能的取值，列出方程求解即可．【详解】由可知，或，由，解得或.故选：AD12．AB【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意可得，，当且仅当时，等号成立，所以，则，所以，故A正确；因为，当且仅当时，等号成立，所以，因为，所以，所以，故B正确；由选项B可知，，故C错误；因为，当且仅当时，等号成立，故D错误；故选：AB13．0或1【分析】讨论二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．【详解】解：当时，满足题意；当时，要集合P仅含一个元素，则，解得，故a的值为0，1故答案为：0或114．【分析】根据一元一次不等式结合集合的描述法分析求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.15．或【分析】利用不等式解集的端点即为方程的根求出，再求解不等式即可.【详解】因为关于的不等式的解集是，所以,所以，所以不等式等价于，令得：，所以不等式的解集为或.故答案为：或.16．【分析】根据复合函数的定义域的性质进行求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得.所以函数的定义域为.故答案为：17．(1)；(2)【分析】（1）利用交集的概念计算即可；（2）利用集合的关系分类讨论求参数即可.【详解】（1）当时，，因此，；（2），.当时，，解得，此时成立；当时，则有；综上所述，实数的取值范围是.18．(1)(2)【分析】根据两集合间的包含关系即可求.【详解】（1）因为是的充分条件，，则，解得，实数的取值范围；（2），则，当时，，解得，当时，，则，解得，综上，实数的取值范围.19．（1）；（2）.【分析】（1）由的解集为，结合根与系数关系求可求的值，进而得到的解析式；（2）化简函数式为，结合基本不等式求最大值即可；【详解】（1）因为函数，的解集为，那么方程的两个根是，2，且，由韦达定理有，所以．（2），由，则：根据均值不等式有：，当且仅当，即时取等号，∴当时，．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式，根据一元二次不等式解集求二次函数解析式，利用基本不等式求函数最值；20．(1)，，(2)或【分析】（1）根据自变量的范围，代入相应的解析式，求函数值；（2）分类讨论，解方程即可.【详解】（1）因为，，，所以，，因为，所以，（2）由于，当时，，解得，又，所以不合题意，舍去．当时，，即化为，解得或，又，所以符合题意，当时，，即符合题意．综上可得，当时，或．21．【解析】对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解.【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立，则二次函数的图象在x轴下方，即，得.当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立.综上可知，.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意