高考数学压轴题（新高考版）：专题21 平面解析几何（选填压轴题）（教师版）

专题21平面解析几何（选填压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①离心率问题 1②范围（最值）问题 11③轨迹问题 21④相切问题 29⑤新定义新文化题 35①离心率问题1．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，，设，因为，所以，又，，所以，因为，则，当时，取得最小值，即，即，所以，即椭圆的离心率为.故选：D.2．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得，则，因此，双曲线的离心率为.故选：B.3．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】令，则，

在中，，由余弦定理得，即，解得，于是，在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，所以双曲线离心率.故选：A4．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，

因为，故P点在双曲线右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形内角和为，故，则，即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A5．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设双曲线的右焦点为，则，则，

为右支上的点，取的中点为B，连接，则，设，则，则，在中，，即，又直线与以线段为直径的圆相交，故，设，则，则需使，解得，即双曲线离心率的范围为，即的离心率的取值范围为，故选：D6．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于双曲线，设右焦点为，所以，对于椭圆，设右焦点为，所以，因为有共同的焦点，所以，所以，所以椭圆的离心率是，故选：D.7．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为.【答案】【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意；当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，联立可得，因为过点能作双曲线的两条切线，则，可得，由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根，所以，，可得，又因为，即，因此，关于的方程没有的实根，所以，且，解得，即，当时，，当时，，综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：.8．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A为双曲线C右支上一点，直线交双曲线的左支于点B，若，且原点O到直线的距离为1，则C的离心率为.【答案】【详解】点A为双曲线C右支上一点，，又，，点B为双曲线C左支上一点，即，过作直线的垂线，垂足分别为,

则,又为的中点，可得，在直角三角形中，在直角三角形中,，,,平方可得，，，C的离心率为.故答案为：.9．（2023·全国·高二课堂例题）若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为.【答案】【详解】方法一：设点M的坐标是，则.∵，，∴，.∵，∴，即.又点M在椭圆上，即，∴，即，∴，即，又，∴，故椭圆的离心率e的取值范围是.方法二：设点M的坐标是，由方法一可得消去，得，∵，∴，由②得，此式恒成立.由①得，即，∴，则.又，∴.综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是.方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，∵椭圆上存在一点M，使，∴，则，（最大时，M为短轴端点）∴，即，又，∴，故椭圆的离心率e的取值范围为.故答案为：.10．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，且为常数，则椭圆离心率为.【答案】/【详解】由题意设，因为三点共线，所以，得，因为，所以，所以因为为常数，所以，所以，得，所以，所以离心率，故答案为：

11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C：，过其右焦点F作直线交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.设为坐标原点，若的面积为面积的2倍，且，则双曲线C的离心率为.【答案】【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由解得，即，同理可求得，由于的面积为面积的2倍，所以，，解得，此时，由于，所以①，由于，所以①可化为，两边除以得，即.故答案为：12．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．【答案】/【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，结合椭圆的对称性可得，所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，设，则，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，将代入①得，即，所以，故答案为：②范围（最值）问题1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【详解】由椭圆可得，，

所以，即，所以右焦点；因为，所以，当直线的斜率不存在时，设直线的方程，代入椭圆的方程可得，解得，设，，则，解得，这时的中点在轴上，且的横坐标为，这时的最小值为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，则的中点，，联立，整理可得：，△，即，且，，所以，，则，可得，符合△，可得的轨迹方程为，整理可得：，两式平方相加可得：，即的轨迹方程为：，焦点在轴上的椭圆，所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号，综上所述：的最小值为，故选：D．2．（2023·重庆·统考模拟预测）设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】由可得，故圆的直径是4，所以直线过圆心，即，又，当且仅当，即，即时，等号成立.故选：D.3．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，则圆的方程，设，由，可得，整理得，则圆与圆有公共点，则，即，解之得.故选：D4．（2023·北京·校考模拟预测）已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由题意知，，当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时；当时，同理可得；当时，设切线方程为，由得，设，两点两点坐标分别为，，则，，又由于圆相切，得，即，∴，由于当时，，∴，，∵，当且仅当时，，∴的最大值为2．故选：B.5．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2，∴，解得：，∴∴双曲线的方程为.

记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得，同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），在中，，由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是.故选：D.6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知直线l是圆C：的切线，且l与椭圆E：交于A，B两点，则|AB|的最大值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【详解】∵直线l是圆C：的切线，∴圆心O到直线l的距离为1，设，①当AB⊥x轴时，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.由已知得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得，∴令原式当且仅当即时等号成立.综上所述.故选：B.7．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是.【答案】【详解】记，若直线与轴重合，此时，；若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，当时，则，此时，；当，可得，则，所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；当直线与轴不重合时，记，则点，设直线的方程为，其中，设点、，联立可得，由题意可得，可得，，由韦达定理可得，，所以，，即，所以，关于的方程由四个不等的实数解.当时，即当时，可得，可得，整理可得，因为，解得；当时，即当，可得，可得，整理可得，可得.综上所述，.故答案为：.8．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知圆的圆心在抛物线上运动，且圆过定点，圆被轴所截得的弦为，设，，则的取值范围是．【答案】【详解】设，则，故圆的方程，令有，故，解得，，故．设，因为，所以，又由余弦定理可得，所以，所以，因为，所以，所以当且仅当时，原式有最大值，当且仅当时，原式有最小值为，从而的取值范围为．故答案为：9．（2023·黑龙江大庆·统考三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为．【答案】3【详解】设，由题意，即，整理得，因为圆可以看作把圆向左平移个单位得到的，那么点平移后变为，点平移后变为，所以根据阿氏圆的定义有，所以，又由抛物线定义有，所以，当且仅当，，，四点共线，且，在，之间时取等号，故的最小值为3．故答案为：3．10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为.【答案】4【详解】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.为的中点，，则为的中位线，故，又的周长为，则的周长为①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，当且仅当即时取等号.故答案为：411．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为．【答案】．【详解】设，，，不妨设在轴上方，时，，，所以切线的方程为，代入得，又，∴，得，同理可得．因此直线的方程为，直线过定点，，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，由已知，，∴的最大值为，最小值为，时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．所以的范围是．故答案为：．③轨迹问题1．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】圆圆心，圆圆心，设两圆交点为，则由题意知，，所以，又由于，所以由椭圆定义知，交点是以、为焦点的椭圆，且，，则，所以轨迹的方程为，

设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：，联立，消得，则，即，由于，则由根与系数关系知，即．

当切线斜率不存在或为时，点的坐标为，，，，满足方程，故所求轨迹方程为．故选：A．2．（2023·贵州黔西·校考一模）在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且（为常数），则点的轨迹不可能是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】A【详解】由条件作出正方体，并以为原点，直线、和分别为、和轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为（），点，所以得，，由，得，所以，即①（），当时，①式化得：，此时，点的轨迹是抛物线；当时，①式化得：，即，②，当时，，则②式，是双曲线的方程，即点的轨迹为双曲线；当时，，则②式，是椭圆的方程，即点的轨迹为椭圆；故选：A.3．（2023·全国·高二专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线【答案】C【详解】的几何意义为点与点间的距离，同理的几何意义为点与点间的距离，且又由为大于零的常数，可知，当且仅当，即时取等，故，即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆，故选：C.4．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（

）A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．双曲线一支【答案】B【详解】，即圆，故，，因为平行与，，所以，故，故点的轨迹为双曲线.故选：B5．（2023·高二课时练习）已知，，动点P满足（a为常数），则下列说法中错误的是（

）A．时，点P的轨迹是y轴 B．时，点P的轨迹是一条直线C．或时，点P的轨迹不存在 D．时，点P的轨迹是双曲线【答案】B【详解】对选项A：时，，点P的轨迹是y轴，正确；对选项B：时，，点P的轨迹是两条射线，错误；对选项C：当时，不成立；当时，不成立，点P的轨迹不存在，正确；对选项D：时，根据双曲线定义知，点P的轨迹是双曲线，正确.故选：B6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为，则，，切点为因为，所以是的中点，,所以是梯形的中位线，所以，又因为圆的方程为，，所以，所以，即，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，则，所以，，所以动点的轨迹方程为.故选：B7．（2023·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：在中，因为，所以，又，则，所以，即，由于，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，由，所以顶点的轨迹方程是.故选：A.8．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

【答案】【详解】圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径.设动圆M的半径为R，则有，，∴，∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是.故动圆圆心M的轨迹方程为.故答案为：.9．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为.【答案】，【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为与圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，则，，，所以轨迹方程为，，即，.故答案为：，10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．则动点P的轨迹方程为；【答案】【详解】设，则，由·=0，得，即，化简得，所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．故答案为：11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足.则动点的轨迹方程为；【答案】【详解】由，知点G是的重心，取点，，不妨设，，则，，且，所以点是以，为焦点的椭圆（除去长轴端点），设椭圆的方程是，则，，于是，即，从而，点的轨迹方程为：.故答案为：12．（2023春·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考期中）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．【答案】【详解】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，所以，所以圆心的轨迹为椭圆.其中，，故，因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.故答案为：.13．（2023·全国·高二课堂例题）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为.【答案】【详解】设,因为,故即.故的轨迹是以为焦点,的双曲线的下支.此时.故.故.故答案为：14．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆与直线相切，且与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为.【答案】【详解】设动圆半径为，则到直线的距离为，，故到的距离等于到的距离，故轨迹为抛物线，即.故答案为：.④相切问题1．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，假设直线与椭圆相切，则，即，所以，可得，即，要使在x轴上截距最大，即.故选：B.2．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，可转化为点到点和点的距离之和为，故点在椭圆上.表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值.联立方程组整理得，，解得或，故的取值范围是故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．设图象上一点，令图象上一点的切线为由的导数为，即切线的斜率为，当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，此时，即有，由，可得，递增，又，所以，，所以点到点的距离最小，且为，则线段的长度的最小值为，故选：A．4．（2022·宁夏银川·银川一中校考二模）已知实数x，y满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是．故选：B．5．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当，时，方程为，是双曲线在第一象限的部分；当，时，方程为，不能表示任何曲线；当，时，方程为，是双曲线在第三象限的部分；当，时，方程为，是圆在第四象限的部分；其图象大致如图所示：令，则直线与曲线有公共点，表示的曲线如图，则当表示部分双曲线时，该曲线的渐近线斜率，和直线平行，；把直线往下移，直到如图与第四象限的圆相切，此时圆心到直线的距离等于半径，，解得：，又是与第四象限圆相切，；若直线继续下移，则无交点，不合题意；综上所述：，即的取值范围为.故选：C.6．（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．设的方程为，，则有，联立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范围为．故选：B．7．（2022·高二单元测试）椭圆上的点到直线的最大距离是【答案】【详解】设直线与椭圆相切．由消去x整理得.由得.当时符合题意(舍去)．即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:⑤新定义新文化题1．（2023·江苏·高二假期作业）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A．2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设点的坐标为，因为，则，即，所以点的轨迹方程为，因为点的轨迹关于直线对称，所以圆心在此直线上，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，设，因为点A、B分别在函数和的图象上，所以，当且仅当时等号成立.设，，则，令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，即，所以的最小值为.故选：A.4．（多选）（2023春·广东广州·高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（

）A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的方程为C．过点作，垂足为K，则 D．点Q的坐标为【答案】BD【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为，可得，所以离心率为，故A错误，B正确；因为，设，因为，且为的角平分线，所以，且，故C错误；因为，当时，整理得，则，可得，即切点