难点详解鲁教版（五四制）八年级数学下册第九章图形的相似难点解析试题（无超纲）

八年级数学下册第九章图形的相似难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，和中，，则添加下列条件后无法判定的是（）A． B． C． D．2、若，则的值等于（）A． B． C． D．3、如图，已知，若，，，则的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．34、如图，在ABC中，EFBC，AE＝2BE，则AEF与梯形BCFE的面积比为（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．4：55、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且∠ADF=45°．则下列结论：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD⋅DE；④AF=，其中正确的有（）A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④6、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（）A． B． C．6 D．107、如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A． B． C． D．8、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点，，C在上，则点坐标为（）A． B． C． D．9、如图，l1，l2，l3是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，E，F．若，则的值为（）A． B． C． D．10、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①△OAE≌△OBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④；⑤S△PBC：S△AFC=1：2，其中正确的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似，且OE=2AE，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为______．2、如图，边长为5cm的正方形ABCD，E，F分别从A，B两点同时出发，以1cm/s速度沿射线AB，射线BC运动，连结AF，DE交于点P，G为AD中点，连结PG，PB，若与相似，则运动时间t的值为______．3、已知：△ABC和△DEF相似，对应边AB与DE之比为3：4，如果△DEF的周长为12，那么△ABC的周长是_____．4、如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为___．5、定义：如图1，已知锐角∠AOB内有定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA，OB于点M，N．若P是线段MN的中点时，则称直线MN是∠AOB的中点直线．如图2，射线OQ的表达式为y＝2x（x＞0），射线OQ与x轴正半轴的夹角为∠α，P（3，1），若MN为∠α的中点直线，则直线MN的表达式为__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，线段CD∥AB，AD与BC交于点E．(1)求证；；(2)过点E作EF∥AB，交AC于点F，如果AB=5，EF=2，求CD的长．2、如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且ABCDEF．(1)若AE＝3，求ED的长．(2)求EF的长．3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．(1)根据题意知：CQ＝，CP＝；（用含t的代数式表示）(2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？(3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？4、菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．(1)如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；(2)如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．5、如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．(1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，故选项A不符合题意；∵，，∴，故选项B不符合题意；∵，，∴，故选项C不符合题意；∵，但不一定相等，∴不一定相似，则添加条件后无法判定；故选项D符合题意．故选D．【点睛】本题考查条件条件使两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理，两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，夹角对应相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似是解题关键．2、B【解析】【分析】根据可设，再代入计算即可得．【详解】解：由题意，可设，则，故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．3、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入数值进行计算即可【详解】解：，，，，，解得：．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．4、D【解析】【分析】证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质得到△AEF与梯形BCFE的面积比．【详解】解：∵AE＝2BE，∴＝＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴△AEF与梯形BCFE的面积比为4：5．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．5、D【解析】【分析】由折叠的性质可求∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，可得∠BAE=∠EBA=30°，可证BE=AE，故①正确，由外角的性质可得∠BED=∠ABC，可证△BED∽△ABC，故②正确；由相似三角形的性质，可得BD2=AD•DE，故③正确；过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BD于G，由面积法求出FH，DH的长，由勾股定理可求AF=，故④正确，即可求解．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，BC=，AB=2BC=2，∵BE⊥BC，∴∠EBA=30°，∵把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，∴∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，∴∠BAE=∠EBA=30°，∴BE=AE，故①正确，∵∠BED=∠ABE+∠BAE=60°，∴∠BED=∠ABC，又∵∠C=∠ADB，∴△BED∽△ABC，故②正确；∴，∵BD=BC，AD=AC，∴BD2=AD•DE，故③正确；如图，过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BD于G，∵∠DBE=90°-∠BED=30°，∠BDE=90°，∴BD=DE=，BE=2DE，∴DE=1，BE=2，∵∠ADF=45°=∠BDF，FH⊥AD，FG⊥BD，∴FH=FG，∵S△BDE=BD×DE=×DE×HF+×BD×GF，∴HF=，∵∠ADF=45°，∠DHF=90°，∴DH=HF=，∴AH=AD-DH=，∴AF==，故④正确，综上，①②③④均正确，故选：D．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出AH的长是解题的关键．6、D【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，又DE＝4，∴EF＝6，∴DF＝DE+EF＝10，故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明，对应边成比例即可解决问题．【详解】解：如图，设与交于点，由旋转可知：，，，，垂直平分，，，，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是得到．8、C【解析】【分析】取AB的中点D，连接CD，由等腰直角三角形的性质及A、B的坐标，可求得点C的坐标，再根据两个三角形的位似比即可求得点的坐标．【详解】取AB的中点D，连接CD，如图∵△ABC是等腰直角三角形∴CD⊥AB∵，∴AB⊥x轴∴CD∥x轴∴D(1，1)∵等腰直角是等腰直角△ABC以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：1∴，∴轴∵C在上∴C(2，1)由位似比为2：1，则点坐标为(4，2)故选：C【点睛】本题考查了三角形位似的定义及性质，等腰三角形的性质等知识，掌握三角形位似的定义是关键．9、C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得对应线段的长度成比例）及比例的性质即可得．【详解】解：∵且直线AC、DF均被平行线所截，∴ABBC∴设DE=2k，则，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例定理及比例的性质，深刻理解平行线分线段成比例定理是解题关键．10、C【解析】【分析】证明，得出，得出是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出，，由正方形的形状得出，，，证出，得出，因此，即可得出②正确；设，菱形的边长为，证出，由正方形的性质得出，，证出，由证明，①正确；求出，是等腰直角三角形，得出，，整理得，得出，，由平行线得出，得出，因此④正确；证明，得出，③正确；证明，得出，因此，⑤错误；即可得出结论．【详解】解：是的平分线，，，，在和中，，，，是线段的垂直平分线，，，四边形是正方形，，，，，，，，，四边形是菱形；②正确；设，菱形的边长为，四边形是菱形，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，①正确；，是等腰直角三角形，，，整理得，，，四边形是正方形，，，，，，，④正确；，，，在和中，，，，③正确；在和中，，，，，⑤错误；综上所述，正确的有4个，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题1、4：9【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，且OE=2AE，∴，则，故答案为：4：9．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．2、5或10【解析】【分析】分两种情况：①点在上；②点在延长线上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间即可．【详解】解：分两种情况：①如图1，点在上时，，，，，，，，．，，，，，与是钝角，，即，解得；②如图2，点在延长线上时，，，，，，，，．，，，与，分论讨论，当，，即，解得，即用时5秒，不合题意舍去；当，，即，解得，即用时10秒，符合题意；综上：若与相似，则运动时间t的值为5或10，故答案为：5或10．【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．3、9【解析】【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得C△ABC：C△DEF＝3：4，又因为△DEF的周长是12，所以C△ABC：12＝3：4，即可得．【详解】解：∵△ABC和△DEF相似，对应边AB与DE之比为3：4，∴C△ABC：C△DEF＝3：4，∵△DEF的周长是12，∴C△ABC：12＝3：4，∴△ABC的周长是9，故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比．4、【解析】【分析】如图，延长交点为，由旋转可知，，求的值；，，求的值；，，求的值即可．【详解】解：如图，延长交点为由旋转可知，∴∵∴∵∴∴三点共线∴∴∴∴又∵∴∴∵∴∵∴∵，∴∴∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了旋转，三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质．解题的关键在于作辅助线找出与所求线段相关的相似三角形．5、y＝﹣x+【解析】【分析】作MD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，则，设M（m，2m），由题意得PE＝m，由P（3，1）求得m＝1，即可求得N（5，0），然后根据待定系数法即可求得直线MN的解析式．【详解】解：如图，作MD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，则，∵P为MN的中点，∴∴DN=EN，即E为DN中点，∴PE是中位线∴PE＝MD，∵M是射线OQ上的点，∴设M（m，2m），∴MD＝2m，∴PE＝MD＝m，∵P（3，1），∴m=1,OE=3∴M（1，2）∴OD=1，则DE=OE-OD=2∴EN=DE=2∴ON=OE+EN=5∴N（5，0），设直线MN的解析式为y＝kx+b，把P（3，1），N（5，0）代入得，解得，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+，故答案为：y＝﹣x+．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，求得N的坐标是解题的关键．三、解答题1、(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得∠B＝∠BCD，∠BAE＝∠D，则可判定△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质得，即可得；（2）根据平行线的性质得∠EFC＝∠BAC，∠CEF＝∠B，可判定△CEF∽△CBA，根据相似三角形的性质得，则，等量代换得EF∥CD，则，可判定△AEF∽△ADC，根据相似三角形的性质得，即可得．(1)证明：∵CD∥AB，∴∠B＝∠BCD，∠BAE＝∠D，∴△ABE∽△DCE，∴，∴．(2)解：∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠BAC，∠CEF＝∠B，∴△CEF∽△CBA，∴，∴，∵CD∥AB，EF∥AB，∴EF∥CD，∴，，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∴CD=．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．2、(1)(2)【解析】【分析】（1）证明，得到，把已知数据代入计算即可；（2）根据，得到，同理得到，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【小题1】解：，，，，，，，解得：；【小题2】，，，同理：，，，解得：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3、(1)t，4﹣2t(2)或(3)或秒【解析】【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．(1)解：AC=3cm，BC=4cm，根据题意得：经过t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，故答案为：t，4-2t；(2)解：当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，即（4-2t）•t=××3×4，解得；t=或t=；答：经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；(3)解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t=；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．4、(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD