人教版六年级上册《分数乘法(例6、例7)》参考教案及人教版平面向量的数量积及平面向量的应用

《分数乘法》参考教案教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第8～9页例6、例7及相关练习。教学目标：1．使学生通过观察、猜测、推理、验证等数学活动理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用运算定律进行一些简便计算。2．在计算过程中，培养学生细心观察、根据具体情况灵活应用所学知识解决问题的能力。3．培养学生探索数学问题的兴趣，使其在自主探究、合作交流中体验成功的喜悦。教学重点：培养学生应用运算定律进行一些简便计算的能力。教学难点：培养学生细心观察、根据具体情况灵活应用所学知识的能力。教学过程：一、复习导入（一）激疑引入1．教师在黑板上出示两个算式：21×3

3×21。同学们，这两个算式相等吗？（学生显然能得出相等，教师用等号连接）21×3=3×21。2．看到这个等式，你想起了什么知识？（乘法交换律）3．用字母可以表示为：。这里的字母你觉得可以表示哪些数呢？4．和可以表示分数,这只是你们的猜测。下面请你独立思考，举例验证这个猜测。5.交流反馈：整数乘法交换律在分数乘法中同样适用，此时你还想到了哪些定律呢？（二）点明课题师：今天我们就来学习和研究整数乘法运算定律推广到分数。二、探究新知(一)合作学习，展开验证1．刚才同学们还想到了乘法结合律和乘法分配律，那么这里的字母也可以表示分数吗？下面请同桌合作，举例验证。2．同桌合作，举例验证。合作要求：（1）举例说明①请同桌各写出一个算式并计算出结果，如或；②同桌交换，计算出利用运算定律后的结果，如或。③对照两者的结果是否相等。（2）能否举出一个不相等的例子？（3）得出结论。3．全班交流反馈，请几个小组来交流验证过程。4．小结：整数乘法交换律、结合律和分配律对于分数乘法同样适用。(二)实践新知，应用提高1．我们花了那么多时间和精力为了得出这一个结论，应该怎样应用呢？2．独立尝试。（1）出示：

（2）思考：选择什么运算定律才能使计算简便？（3）计算3.小组交流。四人小组合作交流，讨论：（1）计算中运用了什么运算定律？（2）这样计算，为什么能使计算简便？4.全班反馈第一题：

=×5×（应用了乘法交换律，可约分）

=3×

=第二题：

=×12+×12（应用了乘法分配律，可约分）

=10+3

=135.小结：应用乘法运算定律，能使一些分数混合运算变得简便。三、练习巩固1．请独立完成教材第9页的“做一做”。（1）××3

87×选择合适的运算定律，使计算简便。第3小题，思考87与的分母之间有什么联系，怎样做可以进行约分呢？（2）奶牛场每头奶牛平均日产牛奶t，42头奶牛100天可产奶多少吨？每头奶牛每天产奶t，那么42头奶牛每天产奶t。求这些奶牛100天产奶的数量，可以列出的算式为：。2．出示：

（1）请同学们仔细观察这两题，动笔前先思考怎样算比较简便？学生独立计算。（2）第一题用乘法分配律进行简便计算大家都没有异议；第二题到底如何？两种方法都试试看，比较得出结论，其实用乘法分配律并不简单。（3）第二题的数怎么改一下用乘法分配律就比较简单了呢？（4）做了这两题，你有什么体会？3.开放练习：在□中填上适当的数，使计算简便。

×15×□

×+×□

（+□）×□

四、课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？你是怎样获得这些知识的？你还有哪些疑问？五、随堂作业独立完成教材第12页练习二的第12、13、14题。平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0【问题思考】1．若a·b＝a·c，则b＝c吗？为什么？提示：不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．3．|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系？提示：|a·b|≤|a|·|b|.因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.【基础自测】1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与bA．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又∵|a|＝|b|，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)，即a与b的夹角为120°.2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1解析：选D∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，则|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)解析：选B|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(|a|2＋4a·b＋4|b|2)＝eq\r(1＋4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4)＝eq\r(3).4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝eq\f(1,2)，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以eq\f(1,2)t＋(1－t)＝0，所以t＝2.5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋eq\f(1,2)，那么·＝·(－)＝2.【考点分析】【考点一】平面向量数量积的概念及运算[例1](1)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝eq\r(2)，则·的值是________．[解](1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴＝(2,1)，＝(5,5)，因此cos〈，〉＝＝eq\f(3\r(10),10)，∴向量在方向上的投影为||·cos〈，〉＝eq\r(5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(3\r(2),2).(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，D(0,2)，C(eq\r(2)，2)．设F(x，2)(0≤x≤eq\r(2))，由·＝eq\r(2)⇒eq\r(2)x＝eq\r(2)⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2).【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求·的值及·的最大值．解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0≤a≤1.·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.·＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值为1.【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．变式：1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b又c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝18＋3x＝30，∴x2．若e1，e2是夹角为eq\f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．解析：∵e1，e2的模为1，且其夹角θ＝eq\f(2π,3).∴a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋e1·e2－2ke1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝k＋(1－2k)coseq\f(2π,3)－2＝2k－eq\f(5,2).又∵a·b＝0，∴2k－eq\f(5,2)＝0，即k＝eq\f(5,4).【考点二】平面向量的夹角与模的问题1．平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模．[例2](1)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．(3)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1,则AB的长为________．[解](1)由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(|b|2,3|b|2)＝－eq\f(1,3).(2)∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，∴(λ－1)||||·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).(3)法一：由题意可知，＝＋，＝－eq\f(1,2)＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋eq\f(1,2)·－eq\f(1,2)2＝1.因为||＝1，∠BAD＝60°，所以||＝eq\f(1,2)，即AB的长为eq\f(1,2).法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝eq\f(1,2)，DM＝eq\f(\r(3),2).设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).因为E是CD的中点，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m，\f(\r(3),2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).由·＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m))＋eq\f(3,4)＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或eq\f(1,2).故AB的长为eq\f(1,2).[答案](1)－eq\f(1,3)(2)5(3)eq\f(1,2)【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角．cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用．两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模．利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).变式：1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－bA．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)解析：选C2a＋ba－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3eq\r(2)，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，又α∈[0，π]，故α＝eq\f(π,4).2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析：∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0，又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值为________．解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝eq\f(1,2).∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝eq\r(10).【考点三】平面向量数量积的应用[例3]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解](1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.变式：设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β(2)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解：(1)由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)证明：由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：a⊥b⇔a·b＝0.2个结论——与向量夹角有关的两个结论(1)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0°；(2)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或180°.4个注意点——向量运算中应注意的四个问题(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边△ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．【巩固练习】1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于()A．2eq\r(2＋\r(3))B．2eq\r(3)C．4D．12解析：选B|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°＝4＋4＋2×2×2×eq\f(1,2)＝12，|a＋b|＝2eq\r(3).2．平面向量a与b的夹角为60°，且a＝(2,0)，|b|＝1，则|a－b|＝()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C．3D．4解析：选C|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos60°＝4＋1－2×2×1×eq\f(1,2)＝3.3．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10解析：选C依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为eq\f(1,2)||·||＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(20)＝5.4.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)，||＝1，则·＝()A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)解析：选D建系如图．设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)，∵＝eq\r(3)，∴xC－xB＝－eq\r(3)xB⇒xC＝(1－eq\r(3))xB，yC＝eq\r(3)，＝((1－eq\r(3))xB，eq\r(3))，＝(0，1)，·＝eq\r(3).5．已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是()A．[0,1]；B．[－1,1]；C．[－eq\r(3)，eq\r(3)]；D．[0，eq\r(3)]解析：选C由a、b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝eq\r(3)，设a－b与c的夹角为θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cosθ∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－eq\f(3,2)，则λ＝()A.eq\f(1,2)；B.eq\f(1±\r(2),2)；C.eq\f(1±\r(10),2)；D.eq\f(－3±2\r(2),2)解析：选A以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq\r(3))，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，eq\r(3)(1－λ))，所以·＝(－λ－1，eq\r(3)(1－λ))·(2λ－1，－eq\r(3))＝－(λ＋1)·(2λ－1)－eq\r(3)×eq\r(3)(1－λ)＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).7．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．解析：∵A，B，C为单位圆上三点，∴||＝||＝||＝1，又＋＋＝0，∴＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos〈，〉＝－eq\f(1,2)，∴向量，的夹角为120°.8.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P,且AP＝3，则·＝________.解析