数学建`模课堂练习

第一次课堂练习1、设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.2、设位于坐标原点的甲舰向位于轴上点处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度〔是常数〕沿平行于轴的直线行驶，导弹的速度是，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？3、某商品的需求函数与供应函数分别为:与,其中均为正常数,而商品价格又是时间的函数.假设初始条件为,且在任一时刻,价格的变化率总与这一时刻的超额需求成正比〔比例常数为〕.〔1〕求供需相等时的价格〔即均衡价格〕;〔2〕求价格函数;〔3〕分析价格函数随时间的变化情况.第二次课堂练习1、假设银行年利率为，现存入元，试分析银行的利率分别按年复合、季复合、月复合、日复合及连续复合时:〔1〕年后,总金额的计算公式;〔2〕当,元时,算出年后,本息合计分别为多少?〔3〕连续复合时,总金额所满足的微分方程.2、在某池塘内养鱼,该池塘内最多能养1000尾,设在时刻该池塘内鱼数为是时间〔月〕的函数,其变化率与鱼数及的乘积成正比〔比例常数为〕.在池塘内放养鱼100尾,个月后池塘内有鱼250尾,试求:〔1〕在时刻池塘内鱼数的计算公式;〔2〕放养个月后池塘内又有多少尾鱼?3、某银行帐户,以连续复利方式计息,年利率为,希望连续年以每年万元人民币的速率用这一帐户支付职工工资,假设以年为单位,试写出余额所满足的微分方程,且问当初始存入的数额为多少时,才能使年后账户中的余额精确地减至.1、设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解设时刻容器内的盐量为kg,考虑到时间内容器中盐的变化情况,在时间内容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为,注入的盐水中所含盐量为,时刻容器内溶液的质量浓度为,假设到时间内容器内溶液的质量浓度不变〔事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于时间很短,可以这样看〕.于是抽出的盐水中所含盐量为,这样即可列出方程,即.又因为时,容器内有盐kg,于是得该问题的数学模型为这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为.下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:时刻容器内溶液的质量浓度为,且当时,,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量注入质量浓度为的溶液〔指同一种类溶液,只是质量浓度不同〕,假定溶液立即被搅匀,并以的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为,=0时溶液的体积为,在d时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即,其中是流入溶液的质量浓度,为时刻容器中溶液的质量浓度,于是,有混合溶液的数学模型该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.2、设位于坐标原点的甲舰向位于轴上点处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度〔是常数〕沿平行于轴的直线行驶，导弹的速度是，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一〔解析法〕假设导弹在时刻的位置为，乙舰位于。由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线就是导弹的轨迹曲线弧在点处的切线，即有即〔1〕又根据题意，弧的长度为的5倍，即〔2〕由(1),(2)消去整理得模型：〔3〕初值条件为：，。解即为导弹的运行轨迹：当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中。被击中时间为：。假设,那么在处被击中。解法二(数值解)令，，将方程〔3〕化为一阶微分方程组。1〕建立m-文件eq1.mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2〕取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')结论：导弹大致在处击中乙舰。解法三(建立参数方程求数值解)设时刻乙舰的坐标为，导弹的坐标为。设导弹速度恒为，那么〔1〕由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，，〔2〕消去得：〔3〕因乙舰以速度沿直线运动，设，那么，，，因此导弹运动轨迹的参数方程为解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m如下：functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')，holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')结果见图导弹大致在处击中乙舰，与前面的结论一致。按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21时，得图2。结论：时刻t=0.21时，导弹在处击中乙舰。追迹问题例2〔E02〕设开始时甲、乙水平距离为1单位,乙从A点沿垂直于OA的直线以等速向正北行走；甲从乙的左侧O点出发,始终对准乙以的速度追赶.求追迹曲线方程,并问乙行多远时,被甲追到.解设所求追迹曲线方程为经过时刻甲在追迹曲线上的点为乙在点于是(1)由题设，曲线的弧长为解出代入(1)，得整理得追迹问题的数学模型设那么方程化为或两边积分，得即将初始条件代入上式，得于是(2)两边同乘并化简得(3)(2)式与(3)式相加得两边积分得代入初始条件得故所求追迹曲线为甲追到乙时，即点的横坐标此时即乙行走至离点个单位距离时被甲追到.3、某商品的需求函数与供应函数分别为:与,其中均为正常数,而商品价格又是时间的函数.假设初始条件为,且在任一时刻,价格的变化率总与这一时刻的超额需求成正比〔比例常数为〕.〔1〕求供需相等时的价格〔即均衡价格〕;〔2〕求价格函数;〔3〕分析价格函数随时间的变化情况.【解】〔1〕由得,;〔2〕由题意可知,它是一阶线性非齐次微分方程,用常数变易法,可求得,由,,得;〔3〕由于是常数,,故当时,有;根据与的大小,可分三种情况讨论〔见图6.3〕:当时,有,即价格为常数,市场无需调节已到达均衡;当时,有总大于,而趋于;当时,有总小于,而趋于.1、假设银行年利率为，现存入元，试分析银行的利率分别按年复合、季复合、月复合、日复合及连续复合时:〔1〕年后,总金额的计算公式;〔2〕当,元时,算出年后,本息合计分别为多少?〔3〕连续复合时,总金额所满足的微分方程.【解】〔1〕银行的利率分别按年复合、季复合、月复合、日复合及连续复合时:一年后,总金额分别是:、、、及,于是年后,总金额的计算公式分别是:、、、及;〔2〕于是当,时,本息合计分别为:元,元,元,元及元;〔3〕因银行利率按连续复合时,年后的总金额为,对等式两边微分,得,这说明利率连续复合时,总金额增长速度和本金数额成正比,这就是所要求的微分方程.2、在某池塘内养鱼,该池塘内最多能养1000尾,设在时刻该池塘内鱼数为是时间〔月〕的函数,其变化率与鱼数及的乘积成正比〔比例常数为〕.在池塘内放养鱼100尾,个月后池塘内有鱼250尾,试求:〔1〕在时刻池塘内鱼数的计算公式;〔2〕放养个月后池塘内又有多少尾鱼?【解】〔1〕由题意可知,在时刻池塘内鱼数应满足如下关系式:,这就是我们熟悉的逻辑斯谛〔Logistic〕模型,用别离变量法,可求得,将条件,代入,得,,于是在时刻池塘内鱼数的计算公式为:〔尾〕;〔2〕取,得放养个月后池塘内鱼数为:〔尾〕.3、某银行帐户,以连续复利方式计息,年利率为,希望连续年以每年万元人民币的速率用这一帐户支付职工工资,假设以年为单