《6.3 实数》教案、导学案、同步练习

《6．3实数》教案第1课时实数【教学目标】1．经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数；(重点)2．进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；(重点)3．理解实数与数轴的关系，并进行相关运用．(难点)【教学过程】一、情境导入为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？如果把“225”改为其他数字，如“200”，这时怎样确定边长？二、合作探究探究点一：实数的相关概念及分类【类型一】无理数的识别在下列实数中：eq\f(15,7)，3.14，0，eq\r(9)，π，eq\r(5)，0.1010010001…，无理数的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，eq\r(5)，0.1010010001….故选C.方法总结：常见无理数有三种形式：第一类是开方开不尽的数；第二类是化简后含有π的数；第三类是无限不循环的小数．【类型二】实数的分类把下列各数分别填到相应的集合内：－3.6，eq\r(27)，eq\r(4)，5，eq\r(3,－7)，0，eq\f(π,2)，－eq\r(3,125)，eq\f(22,7)，3.14，0.10100….(1)有理数集合{…}；(2)无理数集合{…}；(3)整数集合{…}；(4)负实数集合{…}．解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数．解：(1)有理数集合{－3.6，eq\r(4)，5，0，－eq\r(3,125)，eq\f(22,7)，3.14，…}；(2)无理数集合{eq\r(27)，eq\r(3,－7)，eq\f(π,2)，0.10100…，…}；(3)整数集合{eq\r(4)，5，0，－eq\r(3,125)，…}；(4)负实数集合{－3.6，eq\r(3,－7)，－eq\r(3,125)，…}．方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．探究点二：实数与数轴上的点【类型一】求数轴上的点对应的实数如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和eq\r(,3)，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和eq\r(,3)，∴点B到点A的距离为1＋eq\r(,3).则点C到点A的距离也为1＋eq\r(,3).设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋eq\r(,3)，∴x＝－2－eq\r(,3).∴点C所表示的实数为－2－eq\r(,3).方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．【类型二】利用数轴进行估算如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是eq\r(3)和5.7，则A，B两点之间表示整数的点共有()A．6个B．5个C．4个D．3个解析：∵eq\r(,3)≈1.732，∴eq\r(,3)和5.7之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．三、板书设计实数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数的分类\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(整数,分数)),无理数)),实数与数轴——实数与数轴上的点一一对应))【教学反思】本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数．在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念．本节课要注意的地方有两个：一是所有的分数都是有理数，如eq\f(22,7)；二是形如eq\f(π,2)，eq\f(π,3)等之类的含有π的数不是分数，而是无理数第2课时实数的性质及运算【教学目标】1．了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；(重点)2．了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算．(难点)【教学过程】一、情境导入如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，小明想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？二、合作探究探究点一：实数的性质分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值：(1)eq\r(3,－64)；(2)eq\r(225)；(3)eq\r(11).解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数．解：(1)∵eq\r(3,－64)＝－4，∴eq\r(3,－64)的相反数是4，倒数是－eq\f(1,4)，绝对值是4；(2)∵eq\r(225)＝15，∴eq\r(225)的相反数是－15，倒数是eq\f(1,15)，绝对值是15；(3)eq\r(11)的相反数是－eq\r(11)，倒数是eq\f(1,\r(11))，绝对值是eq\r(11).方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同．探究点二：实数的运算【类型一】利用运算法则进行计算计算下列各式的值：(1)2eq\r(3)－5eq\r(5)－(eq\r(3)－5eq\r(5))；(2)|eq\r(3)－eq\r(2)|＋|1－eq\r(2)|＋|2－eq\r(3)|.解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．解：(1)2eq\r(3)－5eq\r(5)－(eq\r(3)－5eq\r(5))＝2eq\r(3)－5eq\r(5)－eq\r(3)＋5eq\r(5)＝(2eq\r(3)－eq\r(3))＋(5eq\r(5)－5eq\r(5))＝eq\r(3)；(2)因为eq\r(3)－eq\r(2)＞0，1－eq\r(2)＜0，2－eq\r(3)＞0，所以|eq\r(3)－eq\r(2)|＋|1－eq\r(2)|＋|2－eq\r(3)|＝(eq\r(3)－eq\r(2))－(1－eq\r(2))＋(2－eq\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋2－eq\r(3)＝(eq\r(3)－eq\r(3))＋(eq\r(2)－eq\r(2))＋(2－1)＝1.方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律．【类型二】利用实数的性质结合数轴进行化简实数在数轴上的对应点如图所示，化简：eq\r(a2)－|b－a|－eq\r(（b＋c）2).解析：由于eq\r(a2)＝|a|，eq\r(（b＋c）2)＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简．解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0.所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a＞0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.))三、板书设计实数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数的性质,实数的运算))【教学反思】由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度．在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度《6.3实数》导学案第1课时实数【学习目标】：1.了解实数的概念，并能将实数按要求进行准确的分类.2.熟练掌握实数大小的比较方法.3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.【重点】：实数的概念及分类.【难点】：了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.【自主学习】一、知识链接1.什么叫有理数？有理数是如何分类的？2.下列各数中，哪些是有理数？3.每个有理数都可以用数轴上的来表示.二、新知预习1.每个有理数都可以用数轴上的来表示，无理数.2.无限小数包括无限小数和无限小数两种，其中是无理数.3.和统称为实数.三、自学自测1.判断正误，并说明理由：（1）无理数都是开方开不尽的数（）（2）不带根号的数都是有理数（）（3）带根号的数都是无理数（）（4）实数包括有限小数和无限小数（）2.和数轴上的点一一对应的数是（）A.有理数B.无理数C.整数D.实数【课堂探究】要点探究探究点1：实数的概念和分类问题1：使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？问题2：是否所有的数都具有问题1中数的特征？能否举例说明？问题3：将，计算出来，结果具有什么特征？我们把这样的数称为什么？问题4：实数怎样分类？请你利用定义给实数分类.问题5：实数还可以怎样分类？典例精析例1.将下列各数分别填入下列相应的括号内：无理数：{}有理数：{}正实数：{}负实数：{}方法总结:对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同.探究点2：实数与数轴上的点问题1：如何在数轴上表示一个无理数？问题2：你能在数轴上找到表示，π这样的无理数对应的点吗？怎么找？典例精析例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．方法总结:本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．例3.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()A．6个B．5个C．4个D．3个探究点3：实数的大小比较知识要点：实数的大小比较与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.典例精析例4.在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“<”连接它们.例5.估计位于（）A.0~1之间B.1~2之间C.2~3之间D.3~4之间二、课堂小结无理数的概念实数的概念实数的分类按定义分：按正负性分：实数的数轴表示实数的大小比较【当堂检测】1.下列说法正确的是（）A.a一定是正实数B.是有理数C.是有理数D.数轴上任一点都对应一个有理数2.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出的y是（）A.9B.3C.D.±33.判断快枪手——看谁最快最准！（1）实数不是有理数就是无理数.（）（2）无理数都是无限不循环小数.（）（3）带根号的数都是无理数.（）（4）无理数都是无限小数.（）（5）无理数一定都带根号.（）4.把下列各数填入相应的括号内：有理数：{}；无理数：{}；整数：{}；负数：{}；分数：{}；实数：{}.比较与6的大小.第2课时实数的性质及运算【学习目标】：1.会求实数的相反数、倒数、绝对值，会用计算器进行实数运算，并能熟练应用运算法则对实数进行运算，提高计算能力.2.通过独立思考、小组合作探究，学会利用类比的方法探究实数的运算法则、运算律.3.全力以赴，享受学习的快乐，感受数学推理的严谨性，提高数学素养.【重点】：利用实数的运算法则、运算律进行正确运算.【难点】：利用实数的运算法则、运算律进行正确运算.【自主学习】一、知识链接1.在有理数范围内如何求一个数的相反数、倒数、绝对值？2.实数包含哪些数？3.有理数中学过哪些运算法则及运算律？二、新知预习1.一个正实数的绝对是，一个负实数的绝对是，0的绝对是，互为相反数的两个实数的绝对.2.如何求一个实数的相反数、绝对值、倒数？3.怎样表示无理数的相反数？4.当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，应如何计算？三、自学自测1.无理数的相反数是（）A.B.C.D.2.的绝对值是（）A.3B.-3C.D.【课堂探究】要点探究探究点1：实数的性质问题1：如果a表示一个正实数，那么就表示一个负实数，则a与-a互为，0的相反数是，的相反数是，的相反数是，π的相反数是。问题2：问题3：求一个数的绝对值的步骤是什么？典例精析例1.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．例2.求下列各数的相反数和绝对值：探究点2：实数的运算问题1：实数有哪些运算？问题2：有理数中学过的运算法则及运算律对实数是否适用？问题3：实数的混合运算顺序是什么？典例精析例3.计算（结果保留小数点后两位）：方法总结：在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.例4..计算下列各式的值：针对训练1.的相反数是，π的相反数是，1-的相反数是.2.﹣π的绝对值是，=，=.3.（1）求的相反数；（2）已知＝，求a.二、课堂小结实数的性质在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.实数的运算有理数的运算性质、运算律在实数范围内同样适用用计算器计算【当堂检测】1.判断：(1)（）(2)的绝对值是；（）(3)的相反数是.（）2.下列各数中，互为相反数的是()A.3与B.2与(-2）2C.与D.5与|-5|3.的值是()A.5B.-1C.D.4.比较大小：（1）;（2）4.5.-是的相反数;π-3.14的相反数是.6.计算:（1）；（2）；（3）；第六章实数《6.3实数》同步训练一、单选题（共15题；共30分）1、在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（）A、2B、3C、4D、52、如图，在数轴上1，的对应点分别是点A和点B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是(

)A、2-B、-1C、-2D、1-3、已知a＜0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2之间的大小关系是（

）A、a＞ab＞ab2B、ab＞ab2＞aC、ab＞a＞ab2D、ab＜a＜ab24、数轴上点A到原点的距离为2.5，则点A所表示的数是（

）.A、2.5B、-2.5C、2.5或-2.5D、05、在实数-4、0、2、5中，最小的实数是（）A、-4B、0C、2D、56、估计的值在（

）。A、－1至－2之间B、－2至－3之间C、－3至－4之间D、－4至－5之间7、如图，数轴上、两点分别对应实数、b，则下列结论正确的是（）A、B、C、D、8、下列四个实数中，是无理数的为（

）A、0B、C、﹣1D、9、观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A、B、C、D、10、若=2，=﹣3，则b﹣a的值是（）A、31B、-31C、29D、-3011、的值为（）A、5B、5-2C、1D、2​-112、下列计算正确的是（）A、（﹣4）+（﹣6）=2B、=±2C、6﹣9=﹣3D、-=13、16的算术平方根和25的平方根的和是（）A、9B、-1C、9或﹣1D、﹣9或114、估计的值在哪两个整数之间（

）A、75和77B、6和7C、7和8D、8和915、晓影设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数后，输出的数总是比该数的平方小1，晓影按照此程序输入后，输出的结果应为（）A、2010B、2011C、2012D、2013二、填空题（共5题；共7分）16、将下列各数的序号填在相应的横线上．①，②π，③3.14，④⑤0，⑥，⑦-，⑧属于有理数的有：

________属于无理数的有：

________．17、实数﹣2的整数部分是

________．18、到原点距离等于​的实数为

________19、﹣14+﹣4cos30°=

________20、比较下列实数的大小（在空格填上＞、＜或=）①________

；②________

．三、计算题（共2题；共10分）21、计算：2×﹣+．22、计算：﹣|2﹣|﹣．四、解答题（共3题；共15分）23、计算：9×（﹣）++|﹣3|24、在数轴上分别表示下列各数，并比较它们的大小，用“＜”连接．﹣2，﹣0.5，​，|﹣3|，．25、已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a+b．五、综合题（共2题；共20分）26、计算与解方程(1)计算：|﹣2|++﹣|﹣2|(2)解方程（2x﹣1）2=25．27、已知的整数部分为a，小数部分为b．求：(1)a、b的值；(2)式子a2﹣a﹣b的值．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】无理数【解析】【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．【解答】在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，根据无理数的定义可得，无理数有、两个．故选A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0)等形式．2、【答案】A【考点】实数与数轴【解析】【分析】首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．【解答】∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B，∴AB=-1，∵A是线段BC的中点，∴CA=AB，∴点C的坐标为：1-（-1)=2-．故选A．【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．3、【答案】B【考点】实数大小比较【解析】【解答】设a=-2b=-0.1代入ab，ab2得：ab=0.2，ab2=-0.02；∴ab＞ab2＞a；故选B．【分析】本题可以用特值法，设a=-2b=-0.1分别代入a，ab，ab2中即可比较它们的大小．利用特殊值法是解决一些选择题的有效方法．4、【答案】C【考点】实数与数轴【解析】【分析】在数轴上点A到原点的距离为2.5的数有两个，意义相反，互为相反数．即2.5和-2.5．【解答】在数轴上，2.5和-2.5到原点的距离为2.5．所以点A所表示的数是2.5和-2.5．故选：C．【点评】此题考查的知识点是数轴．关键是要明确原点的距离为2.5的数有两个，意义相反5、【答案】A【考点】实数大小比较【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】根据实数比较大小的方法，可得-4＜0＜2＜5中，∴最小的实数是-4．故选：A．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小6、【答案】C【考点】估算无理数的大小【解析】【分析】根据即可判断。∵∴。故选C。【点评】解答本题的关键是熟练掌握“夹逼法”是估算无理数的常用方法，也是主要方法。7、【答案】A【考点】实数与数轴【解析】【分析】由题意分析可知，在数轴上，a的绝对值小于b的绝对值，设a=0.5，b=-2，则带入各项该分析可知，A正确；B中错误，异号相乘结果是负；C中因为-2+0.5=-1.5，所以C错误；D中已错误。故选A【点评】本题属于对数轴的基本知识的理解和分析.8、【答案】B【考点】无理数【解析】【解答】根据无理数是无限不循环小数，可得答案为B．9、【答案】C【考点】实数的运算【解析】【解答】观察该组数发现：1，，，，…第n个数为，当n=6时，==．故选C．【分析】观察数据，发现第n个数为​，再将n=6代入计算即可求解．10、【答案】A【考点】实数的运算【解析】【解答】解：=2，=﹣3，∴a=﹣27，b=4，则b﹣a=4+27=31，故选A【分析】利用算术平方根及立方根定义求出a与b的值，即可求出b﹣a的值．11、【答案】C【考点】实数的运算【解析】【解答】解：原式=3﹣+​﹣2=1．故选C．【分析】先去绝对值，然后合并即可．12、【答案】C【考点】实数的运算【解析】【解答】解：A、原式=﹣4﹣6=﹣10≠2，故本选项错误；B、原式==2≠±2，故本选项错误；C、原式=6﹣9=﹣3，故本选项正确；D、原式=3﹣≠，故本选项错误．故选C．【分析】根据实数运算的法则对各选项进行逐一分析即可．13、【答案】C【考点】实数的运算【解析】【解答】解：根据题意得：16的算术平方根为4；25的平方根为5或﹣5，则16的算术平方根和25的平方根的和是9或﹣1，故选C【分析】利用算术平方根及平方根定义求出值，进而确定出之和即可．14、【答案】D【考点】估算无理数的大小【解析】【解答】解：∵＜＜，∴8＜＜9，∴在两个相邻整数8和9之间．故选：D．【分析】先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间．15、【答案】B【考点】实数的运算【解析】【解答】解：输出的数为（​）2﹣1=2012﹣1=2011，故选B．【分析】根据题目所给的运算法则求解即可．二、填空题16、【答案】①③⑤⑥⑧；②④⑦【考点】实数【解析】【解答】解：属于有理数的有：①③⑤⑥⑧；属于无理数的有：②④⑦，故答案为：①③⑤⑥⑧，②④⑦．【分析】根据有理数是有限小数或无限不循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．17、【答案】3【考点】估算无理数的大小【解析】【解答】解：∵5＜＜6，∴﹣2的整数部分是：3．故答案为：3．【分析】首先得出的取值范围，进而得出