《第六章 实数》小结与复习和单元检测试卷

《第六章实数》单元小结与复习教学目标情感态度体会特殊到一般、化零为整的认识过程，运用类比思想，强化符号意识，进一步培养估算和运算能力。知识与技能理解算术平方根、平方根、立方根概念；掌握算术平方根和平方根的区别于联系；了解平方根、立方根的计算器求法；巩固实数的运算。过程与方法从局部到整体，一点一练，分层过关。教学重难点重点算术平方根、平方根、立方根、无理数概念及性质；理解实数的有关概念及实数的运算。难点灵活运用算术平方根的双重非负性解题教法与学法以提代纲，练习后总结反思。知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若的平方根是±2，则x=；的平方根是（4）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？【2】算术平方根：1.如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例2.（1）下列说法正确的是（）A．1的平方根是1B．C.的平方根是D.0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A.B.C.D.（3）的算术平方根是。（4）已知和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值（5）（提高题）如果x、y分别是4－EQ\R(,3)的整数部分和小数部分。求x－y的值.【3】立方根1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开方的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.（1）64的立方根是（2）若，则b等于（）A.1000000B.1000C.10D.10000（3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【4】无理数1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：2.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有()个A2B3C4D5【5】实数1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.1.下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有；D、不带根号的数都是有理数。2.a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()b0ab0aA、B、C、D、3.将下列各数：，用“＜”连接起来；______________________________________。4..（提高题）观察下列等式：回答问题：①②③，……（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。《第六章实数》考点与检测试卷考点一平方根、立方根、算术平方根的意义【例1】(1)4的算术平方根是()A.2B.-2C.±2D.(2)的平方根是()A.4B.±4C.2D.±2(3)的相反数是()A.2B.-2C.D.-【分析】(1)因为22=4,所以4的算术平方根是2;(2)=4，4的平方根是±2，所以的平方根是±2；(3)因为23=8,所以=2,2的相反数是-2,所以的相反数是-2.【解答】(1)A(2)D(3)B【方法归纳】求一个数的平方根、算术平方根以及立方根时，首先应对该数进行化简,然后结合它们的意义求解.只有非负数才有平方根和算术平方根,而所有实数都有立方根,且实数与其立方根的符号一致.1.求下列各数的平方根：(1);(2)2;(3)(-2)2.2.求下列各式的值：(1)；(2)-.考点二实数的分类【例2】把下列各数分别填入相应的数集里.-,-,,,0.324371,0.5,,-,,0.8080080008…无理数集合｛…｝;有理数集合｛…｝;分数集合｛…｝;负无理数集合｛…｝.【分析】根据实数的概念及实数的分类,把数填到相应的数集内即可.【解答】无理数集合｛-,,,-,0.8080080008…,…｝;有理数集合｛-,,0.324371,0.5,,…｝;分数集合｛-,0.324371,0.5,…｝;负无理数集合｛-,-,…｝.【方法归纳】我们学过的无理数有以下类型：π，等含π的式子;，等开方开不尽的数;0.1010010001…等特殊结构的数.注意区分各类数之间的不同点,不能只根据外形进行判断,如误认为是无理数.3.下列实数是无理数的是()A.-1B.0C.πD.4.实数-7.5,,4,,-π,,中,有理数的个数为a,无理数的个数为b,则a-b的值为()A.2B.3C.4D.55.把下列各数分别填入相应的集合中：+17.3，12，0，π，-3，，9.32%，-,-25考点三实数与数轴【例3】在如图所示的数轴上,AB=AC,A，B两点对应的实数分别是和-1,则点C所对应的实数是()A.1+B.2+C.2-1D.2+1【分析】由题意得AB=-(-1)=+1,所以AC=+1.所以C点对应的实数为+(+1)=2+1.【解答】D【方法归纳】实数与数轴上的点一一对应.求数轴上两点间的距离就是用右边的数减去左边的数；求较小的数就用较大的数减去两点间的距离;求较大的数就用较小的数加上两点间的距离.6.如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，-a，1的大小关系表示正确的是()A.a＜1＜-aB.a＜-a＜1C.1＜-a＜aD.-a＜a＜17.实数在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是()A.a<bB.|a|>|b|C.-a<-bD.b-a>08.实数m，n在数轴上的位置如图所示，则|n-m|＝__________.考点四实数的运算【例4】计算：-+.【分析】将被开方数化简,然后根据算式的运算顺序求解.【解答】原式=-+=-+=-1.【方法归纳】当被开方数是小数时通常将其化成分数,然后求其方根;当被开方数是带分数时通常将其化成假分数，然后求方根;当被开方数是a2时通常先计算出a2的值，然后求方根.9.计算：-+.10.计算：(-2)3×+×()2-20×|-1|.检测试卷一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列说法正确的是()A.-2是-4的平方根B.2是(-2)2的算术平方根C.(-2)2的平方根是2D.8的平方根是42.下列语句正确的是()A.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是0B.一个数的立方根不是正数就是负数C.负数没有立方根D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是03.下列各式错误的是()A.=0.2B.=-C.=±D.=-1024.在3.12578，-，，，5.27，，-1中，无理数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()A.6个B.5个C.4个D.3个6.估计+1的值()A.在2和3之间B.在3和4之间C.在4和5之间D.在5和6之间7.如图，数轴上点P表示的数可能是()A.B.-C.-3.2D.-8.若+=0，则a与b的关系是()A.a=b=0B.a与b相等C.a与b互为相反数D.a=9.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是()A.3B.5C.15D.2510.求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，则2S=2+22+23+…+22015，因此2S-S=22015-1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014的值为()A.52014-1B.52015-1C.D.二、填空题(每小题4分,共20分)11.已知a、b是两个连续的整数，且a<<b,则2a+b=__________.12.若=2，则2x+5的平方根是__________.13.-27的立方根与的平方根的和是__________.14.对于任意不相等的两个数a，b,定义一种运算※如下：a※b=,如3※2==.那么12※4=__________.15.由下列等式=2，=3，=4…所提示的规律，可得出一般性的结论是____________________(用含n的式子表示).三、解答题(共50分)16.(15分)计算：(1)2-5+3；(2)+1+3+|1-|；(3)-++.17.(10分)求下列各式中的x：(1)25(x-1)2=49;(2)64(x-2)3-1=0.18.(8分)已知|a-b-1|与3(a-2b+3)2互为相反数，求a和b的值.19.(8分)座钟的摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g=9.8米/秒2.假如一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发一次滴答声，那么在一分钟内，该座钟大约发出多少次滴答声？(可利用计算器计算，其中π取3.14)20.(9分)已知:M=是a+b+3的算术平方根,N=是a+6b的算术平方根,求M·N的值.参考答案变式练习1.(1)±；(2)±；(3)±2.2.(1)-4；(2)-0.6.3.C4.B5.+17.3，12，0，-3，，9.32%，-25，…π，-，…+17.3，-3，，9.32%，…12，0，-25，…6.A7.C8.m-n9.原式=8-9-1=-2.10.原式=-8×4+(-4)×+20×(1-)=-32-1+20-20=-13-20.复习测试1.B2.D3.C4.D5.C6.C7.B8.C9.C10.C11.1012.±313.-1或-514.15.=n(n为大于或等于2的自然数)16.(1)原式=(2-5+3)=0；(2)原式=+4+-1=2+3；(3)原式=5+1+12-4=14.17.(1)化简得(x-1)2=.所以x-1=±.所以x=或x=-；(2)化简得(x-2)3=.所以x-2=.所以x=.18.因为|a-b-1|≥0，3(a-2b+3)2≥0,又因为|a-b-1|与3(a-2b+3)2互为相反数，所以a-b-1=0，a-2b+3=0，解它们组成的方程组得a=5，b=4.19.∵T＝2π，T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g=9.8米/秒2.∴T=2π≈1.42(秒).∴在一分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为60÷1.42≈42.20.由题意,得解得∴M====3,N====4.于是M·N=3×4=12.《第六章实数》单元检测试卷一、填空题（每题2分，共20分）1．若是4的平方根，则＿＿，若－8的立方根为，则y=_____.2．在数轴上与原点的距离是的点所表示的实数是＿＿＿．3．若，则．4．计算：的结果是＿＿＿＿＿＿．5．比较下列各数的大小：（1）；（2）6．观察下列式子，猜想规律并填空7．已知某数且满足，则必为＿＿＿＿＿．8．一个正数a的算术平方根减去2等于7，则a＝＿＿＿＿＿＿．9．一个自然数的算术平方根为a,则比它大4的自然数的算术平方根为＿＿＿＿＿．10．用“＊”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如，那么，当二、选择题（每题3分，共24分）11．0.49的算术平方根是（）A．±0.7B．－0.7C．0.7D．12．下列等式正确的是（）A．＝－3B．＝±12C．＝－2D．－＝－513．算术平方根等于3的是（）A．B．3C．9D．14．立方根等于它本身的数有（）A．－1,0，1B．0,1C．0D．115．下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）a2的算术平方根是a；（4）（－4）2的算术平方根是－4；（5）算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个16．下列说法正确的是（）A．的平方根是±2B．－a2一定没有算术平方根C．－表示2的算术平方根的相反数D．0.9的算术平方根是0.317．若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）A．0B．1C．－1D．±1,018．若＝2，则（2a－5）2－1的立方根是（）A．4B．2C．±4D．±2三、解答题（共56分）19．（5分）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．20．（5分）已知某数的平方根为，求这个数的立方根是多少？21．（5分）设都是实数，且满足，求式子的算术平方根．22．（5分）已知a2＋b2＝c2，其中a＝5，b＝12，求c的值．23．（5分）21、在计算，其中＝－4时，小明和小华算出了不同的答案：小明的做法是：当＝－4时，＝＝＝－3小华的做法是：当＝－4时，＝＝＝＝3你认为谁的答案正确？说说你的理由．24．（5分）如果是一个整数，那么最大的负整数a是多少？25．（6分）计算，，，，，，你能从中找出计算的规律吗？如果将根号内的10换成正