平方差公式 省赛一等奖完整版

14.2乘法(chéngfǎ)公式第十四章整式的乘法(chéngfǎ)与因式分解导入新课讲授(jiǎngshòu)新课当堂练习课堂小结14.2.1平方差公式第一页，共二十七页。学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算(jìsuàn)和解决实际问题.（难点）第二页，共二十七页。导入新课复习(fùxí)引入多项式与多项式是如何(rúhé)相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn第三页，共二十七页。讲授(jiǎngshòu)新课平方差公式一探究(tànjiū)发现面积(miànjī)变了吗？a米5米5米a米(a-5)相等吗？第四页，共二十七页。①（x

＋1)(x－1）；②（m

＋2)(m－2）；③（2m＋1)(2m－1）；④（5y

＋z)(5y－z）.计算(jìsuàn)下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.第五页，共二十七页。②（m＋2)(m－2）=m2－22③（2m＋1)(2m－1)=4m2－12④（5y

＋z)(5y－z)=25y2－z2①（x

＋1)(x－1）=x2－1，想一想：这些(zhèxiē)计算结果有什么特点？x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2第六页，共二十七页。(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于(děngyú)这两数的平方差.公式(gōngshì)变形:1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2知识要点平方差公式(gōngshì)第七页，共二十七页。平方差公式(gōngshì)注：这里的两数可以(kěyǐ)是两个单项式也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同为a

相反为b，-b适当(shìdàng)交换合理加括号第八页，共二十七页。(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：

aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)第九页，共二十七页。练一练：口答下列(xiàliè)各题：

(l)(-a+b)(a+b)=_________.(2)(a-b)(b+a)=__________.(3)(-a-b)(-a+b)=________.(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2第十页，共二十七页。典例精析例1

计算(jìsuàn)：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；第十一页，共二十七页。方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下(yǐxià)几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．第十二页，共二十七页。利用平方差公式(gōngshì)计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．针对(zhēnduì)训练解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；第十三页，共二十七页。例2

计算(jìsuàn):(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).解:(1)102×98（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=1002-22=10000–4=（100＋2）(100－2)=9996；=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.第十四页，共二十七页。针对(zhēnduì)训练计算(jìsuàn):(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).解:(1)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499；

(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.第十五页，共二十七页。例3

先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中(qízhōng)x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，第十六页，共二十七页。例4

对于任意(rènyì)的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数(bèishù)．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1.n为正整数，∴n2-1为整数(zhěngshù)第十七页，共二十七页。方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断(pànduàn)其是否具有整除性或倍数关系．第十八页，共二十七页。例5

王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为(rènwéi)李大妈吃亏了吗？为什么？∵a2＞a2－16，解：李大妈吃亏(chīkuī)了．理由(lǐyóu)：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，∴李大妈吃亏了．第十九页，共二十七页。方法总结：解决实际问题的关键是根据题意(tíyì)列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．第二十页，共二十七页。1.下列(xiàliè)运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)当堂(dānɡtánɡ)练习C2.计算(jìsuàn)（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10第二十一页，共二十七页。（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9；=4x4－y2.原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2；=(2a)2－32原式=(-2x2)2－y2原式=(a)2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用(lìyòng)平方差公式计算：第二十二页，共二十七页。5.计算(jìsuàn)：

20152－

2014×2016.解：20152

－

2014×2016=20152－

(2015－1)(2015+1)=20152－（20152－12)=20152－

20152+12=1第二十三页，共二十七页。6.利用平方差公式(gōngshì)计算:（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.第二十四页，共二十七页。7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中(qízhōng)x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.将x＝2代入上式，原式=2×22-1=7.第二十五页，共二十七页。课堂(kètáng)小结平方差公式(gōngshì)内容(nèiróng)注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过