2023学年完整公开课版垂线完整版

5.1相交线(5.1.2垂线)第一页，共四十一页。在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当α=90°时,a与b垂直.当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.当α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.两条直线相交斜交垂直垂直是相交的特殊情况观察思考）αabbbbb）α第二页，共四十一页。1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。baO一、垂直的定义从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：

只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。第三页，共四十一页。1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。ba用“⊥”和直线字母表示垂直Oα2.垂直的表示：例如、如图，a、b互相垂直,垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a,若要强调垂足，则记为：a⊥b,垂足为O.第四页，共四十一页。注：当提及线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线等垂直时指它所在的直线垂直。第五页，共四十一页。

日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?第六页，共四十一页。第七页，共四十一页。生活中的垂直第八页，共四十一页。生活中的垂直第九页，共四十一页。ABCDO书写形式：

如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）书写形式：

反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。3.垂直的书写形式：∵

AB⊥CD

（已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°第十页，共四十一页。2、如图,∠ABC=90°,∠1=60°,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.∵BO⊥AC于O点12ABCDO）)（已知）∵∠ABC=90°()∠1=60°已知∴∠ABO=30°解：（已知）∴∠BOC=90°∴∠BOD=30°（互余的定义）（互余的定义）已知（垂直的定义）又∵∠2=∠1∴∠2=60°（等量代换）第十一页，共四十一页。练习：1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°,求∠COE的度数.ACEBDO1）第十二页，共四十一页。1．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___个

[

](1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．A．4

B．3

C．2

D．1选择题巩固练习A第十三页，共四十一页。2．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是[

]A．有两个角相等B．有两对角相等

C．有三个角相等D．有四对邻补角3．两个角的平分线相互垂直的有

[

]A．两角互补；B．两角互为对顶角；

C．两角都是直角；D．两角为邻补角巩固练习选择题CD第十四页，共四十一页。看谁做得快1.若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则__________。2.若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD＝____。3.如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么∠COA＝_____,∠BOC的补角为______度。Omn1BCAOm⊥n90°72°162第十五页，共四十一页。二、垂线的画法问题：怎么样画垂线？第十六页，共四十一页。1.垂线的画法：问题：这样画l的垂线可以画几条？1放、2靠、3画线、lO如图，已知直线l,作l的垂线。工具：直尺、三角板A无数条第十七页，共四十一页。1.垂线的画法：lA如图，已知直线l

和l上的一点A,作l的垂线.B4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;3移:移动三角板到已知点;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;

则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.第十八页，共四十一页。1.垂线的画法：lA如图，已知直线l

和l外的一点A,作l的垂线.B4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;3移:移动三角板到已知点;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;

则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.请同学们画一下第十九页，共四十一页。

结论:

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.能作一条,而且只能作一条.问题:过已知直线l

和l上(或外)的一点A,作l的垂线,可以作几条?

注意:

过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.第二十页，共四十一页。线段、射线的垂线应怎么画呢？ABPQOA第二十一页，共四十一页。EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.第二十二页，共四十一页。课堂练习1.过点向线段所在直线引垂线，正确的是（）.

ABCDC第二十三页，共四十一页。2、如图，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线。ABC3、如图，过P作直线PM⊥OA，垂足为点M．过P作线段PN⊥OB于N点。OABPDEFMN解：如图、直线AD⊥BC于D、直线BE⊥AC于E、直线CF⊥AB于F解：如图、直线PM⊥OA于M、线段PN⊥OB于N第二十四页，共四十一页。思考

有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？第二十五页，共四十一页。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。PABCmD垂线段的长度简单说成：垂线段最短．第二十六页，共四十一页。B如图，怎样测量点A

到直线m

的距离？Am1.过点A画出直线m的垂线AB,垂足为B;2.用直尺量出垂线段AB的长.0m20m30m10m第二十七页，共四十一页。CAB0m20m30m10m0m20m30m10m8m25m

例1、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离,（2）货场B到铁道的距离。第二十八页，共四十一页。0cm20cm30cm10cm例2、如图，

1)画出线段BC的中点M，连结AM；

2)比较点B与点C到直线AM的距离。ABCMPQ0cm20cm30cm10cm0cm20cm30cm10cm9cm9cm∴BP=CQ第二十九页，共四十一页。例3、如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，

1)过M点画CD的垂线交CD于F点,

2)M点和N点的距离是线段____的长，

3)M点到CD的距离是线段____的长。MNMFABCDMNF∴直线MF为所求垂线。第三十页，共四十一页。

例4、如图2-23，试用直尺或三角板量出：1.城市A与城市B的距离．2.城市A，B到大河l的距离．第三十一页，共四十一页。

如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。张庄拓展应用1∟垂线段最短第三十二页，共四十一页。拓展应用2

如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。C∟垂线段最短第三十三页，共四十一页。立定跳远中，体育老师是如何测量运动员的成绩的？体育老师实际上测量的是点到直线的距离起跳线落脚点小常识第三十四页，共四十一页。ABCDEFGM·

·

问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线。并说明理由。

问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？

问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线。┏N你会设计吗？第三十五页，共四十一页。

在直角三角形的三条边中哪一条最长？思考答:直角所对的边即斜边最长.第三十六页，共四十一页。选择题：2.如图,AC⊥BC,∠C=900,线段AC、BC、CD中最短的是()(A)AC(B)BC(C)CD(D)不能确定DABCC第三十七页，共四十一页。想一想：DBCAE已知： 如图AD＜AE＜AC＜AB

能说AD的长是A到BC的

距离吗？答：不能。第三十八页，共四十一页。

例2：如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E．试比较四条线段AC，CD，DE和AB的大小解：∵

AC⊥BC于C，(已知)∴AC＜AB．(垂线的性质二)又∵

CD⊥AD于D，(已知)∴CD＜AC．(垂线的性质二)∵DE⊥CE于E，(已知)∴DE＜CD．(垂线的性质二)∴AB＞AC＞CD＞DE．第三十九页，共四十一页。回忆两条直线相交这部