娄底市重点中学2023-2024学年数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

娄底市重点中学2023-2024学年数学九上期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是A． B．C． D．3．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）A． B． C．1 D．4．已知如图，直线，相交于点，且，添加一个条件后，仍不能判定的是（）．A． B． C． D．5．下列四对图形中，是相似图形的是()A．任意两个三角形 B．任意两个等腰三角形C．任意两个直角三角形 D．任意两个等边三角形6．已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（）A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内7．二次根式中x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≥0 D．x＞﹣28．如图，抛物线与轴交于点,与轴的负半轴交于点,点是对称轴上的一个动点．连接,当最大时，点的坐标是（）A． B． C． D．9．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为().A． B． C． D．10．⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（

）A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定二、填空题(每小题3分,共24分)11．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染．设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为______．12．如图，△ABC中，∠C=90°，，D为AC上一点，∠BDC=45°,CD=6,则AB=_______．13．□ABCD的两条对角线AC、BD相交于O，现从下列条件：①AC⊥BD②AB=BC③AC=BD④∠ABD=∠CBD中随机取一个作为条件，可推出□ABCD是菱形的概率是_________14．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到△GEF，当FG∥AC时，BF的长为_____．15．如果关于x的方程x2-5x+a=0有两个相等的实数根，那么a=_____.16．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.17．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.18．今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤元上涨到第三季度的每公斤元，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为________．三、解答题(共66分)19．（10分）（1）计算：．（2）用适当方法解方程：（3）用配方法解方程：20．（6分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数.21．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．（1）求证：D是BC的中点（2）若DE=3，AD＝1，求⊙O的半径．22．（8分）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为元，市场调研表明：当销售价为元时，平均每天能售出台，而当销售价每降低元时，平均每天就能多售出台.双“十一”期间，商场为了减少库存进行降价促销，如果在降价促销的同时还要保证这种冰箱的销售利润平均每天达到元，这种冰箱每台应降价多少元？23．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成的圆锥的底面圆的半径r.24．（8分）如图所示，在中，，，，是边的中点，交于点.（1）求的值；（2）求.25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤1．（1）AE＝________，EF＝__________（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（相遇时除外）（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．26．（10分）如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边CD，CB上，点F在AC上，AB＝3，BC＝4（1）求的值；（2）把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断CP与AF的位置关系，并说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】根据中心对称图形的定义，在平面内，把图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图像能与原图形重合，就为中心对称图形.【详解】选项A，不是中心对称图形.选项B,是中心对称图形.选项C,不是中心对称图形.选项D,不是中心对称图形.故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的定义.2、C【解析】分三段讨论：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选C．3、A【解析】试题分析：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是．故选A．考点：概率公式．4、C【分析】根据全等三角形判定，添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到.【详解】添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到，添加属SSA，不能证.故选：C【点睛】考核知识点：全等三角形判定选择.熟记全等三角形的全部判定是关键.5、D【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；故选：D.【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．6、B【分析】由题意根据圆的半径和线段的长进行大小比较，即可得出选项.【详解】解：因为圆的半径为5，线段的长为4，5>4，所以点在圆内.故选B.【点睛】本题考查同一平面内点与圆的位置关系，根据相关判断方法进行大小比较即可.7、A【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：x+2≥0，∴x≥﹣2，故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．8、D【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，A(0,-3),B(-1,0),抛物线的对称轴为x=1,根据三角形三边的关系得≤AB,当ABM三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时，最大.求出点M的坐标即可.【详解】解:根据三角形三边的关系得：≤AB,当ABM三点共线时取等号，当三点共线时，最大,则直线与对称轴的交点即为点．由可知，,对称轴设直线为．故直线解析式为当时，.故选：．【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，及二次函数的性质应用.找到三点共线时最大是关键，9、B【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝2，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．【详解】取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝2．∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10、A【解析】∵⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故答案为：A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、x(x+1)+x+1=1．【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，列出方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x(x+1)+x+1人感染，由题意得：x(x+1)+x+1=1．故答案为：x(x+1)+x+1=1．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键.12、1【分析】根据题意由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A的正弦值，即可求出AB的长．【详解】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°，∴BC=CD=6，又∵sinA=＝，∴AB=6÷=1．故答案为：1．【点睛】本题考查解直角三角形问题，直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．13、【分析】根据菱形的判定方法直接就可得出推出菱形的概率．【详解】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”直接判断①符合题意；根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可直接判断②符合题意；根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以③不符合菱形的判定方法；，，BC=CD，是菱形，故④符合题意；推出菱形的概率为：．故答案为．【点睛】本题主要考查菱形的判定及概率，熟记菱形的判定方法是解题的关键，然后根据概率的求法直接得出答案．14、或【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，得出AH＝DH，由线段垂直平分线的性质得出CA＝CD＝AB＝6，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠B＝30°，由平行线的性质得出∠BFG＝∠ACB＝30°，分两种情况：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，则∠ENB＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，得出BN＝2BM＝3，再证出FN＝EN＝3，即可得出结果；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，则∠ENB＝∠B＝30°，得出EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，BN＝2BM＝3，证出FG∥EN，则∠G＝∠GEN，证出∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，推出∠BEN＝120°，得出∠BEG＝120°﹣∠GEN＝90°，由折叠的性质得∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，证出∠NEF＝∠NFE，则FN＝EN＝3，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，∴AH＝DH，∴CA＝CD＝AB＝6，∴∠ACB＝∠B＝30°，∵FG∥AC，∴∠BFG＝∠ACB＝30°，∵点E是AB边的中点，∴BE＝3，分两种情况：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图1所示：则∠ENB＝∠B＝30°，∴EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，由折叠的性质得：∠BFE＝∠GFE＝15°，∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN+FN＝3+3；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图2所示：则∠ENB＝∠B＝30°，∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，∵FG∥AC，∴FG∥EN，∴∠G＝∠GEN，由折叠的性质得：∠B＝∠G＝30°，∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，由折叠的性质得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN﹣FN＝3﹣3；故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解答本题的关键．15、【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a的等式，求出a的值．【详解】∵关于x的方程x2-5x+a=0有两个相等的实数根，∴△=25-4a=0，即a=．故答案为：.【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16、【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，∴BE=AB，而AB=2，∴BE=；故答案为：；【点睛】本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.17、【分析】由题意关于x的方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac＞2．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．【详解】解：∵b2-4ac=22-4×2×a=4-4a＞2，解得：a＜2．∴a的取值范围是a＜2．故答案为：a＜2．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞2⇔方程有两个不相等的实数根；△=2⇔方程有两个相等的实数根；△＜2⇔方程没有实数根．18、【分析】等量关系为：第一季度的猪肉价格×（1+增长率）2=第三季度的猪肉价格【详解】解：设平均每个季度的增长率为g，∵第一季度为每公斤元，第三季度为每公斤元，，解得．∴平均每个季度的增长率．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，是常考查的增长率问题，解题的关键是熟悉有关增长率问题的有关等式．三、解答题(共66分)19、（1）3;(2)x1=,x2=；(3)x1＝1+，x2＝1−．【解析】（1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂和绝对值的意义逐项化简，再合并同类二次根式或同类项即可；（2）用直接开平方法求解即可；（3）先把-3移项，再把二次项系数化为1，两边都加1，把左边写成完全平方的形式，两边同时开平方即可.【详解】解：（1）原式=4×-2+1+2=3；（2）（2x-5）2=，2x-5=±，所以x1=,x2=；(3)解：∵2x2-4x-3=0，∴2x2-4x=3，∴x2−2x＝，∴x2−2x+1＝+1，∴(x−1)2＝，∴x-1=±，∴x1＝1+，x2＝1−．【点睛】本题考查了实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握二次方程的解法是解答本题的关键.20、∠CAE＝20°.【分析】根据等边对等角求出∠BAD，从而求出∠ADC，在等腰三角形ADC中，由三线合一求出∠CAE.【详解】∵BD＝AD，∴∠BAD=∠B=35°，∴∠ADE=∠BAD＋∠B=70°，∵AD=AC，∴∠C=∠ADE=70°，∵AD=AC，AE平分DC，∴AE⊥EC，（三线合一）.∴∠EAC=90°－∠C=20°.【点睛】本题的解题关键是掌握等边对等角和三线合一.21、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据圆周角定理、等腰三角形的三线合一的性质即可证得结论；（2）根据圆周角定理及等腰三角形的判定得到DE=BD=3，再根据勾股定理求出AB，即可得到半径的长.【详解】（1）∵AB是⊙O直径∴∠ADB＝90°，在△ABC中，AB=AC，∴DB=DC，即点D是BC的中点；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠B=∠E，∴∠C=∠E，∴DE=DC，∵DC=BD，∴DE=BD=3，∵AD=1，又∠ADB＝90°，∴AB=，∴⊙O的半径＝.【点睛】此题考查圆周角定理，等腰三角形的三线合一的性质及等角对等边的判定，勾股定理.22、这种冰箱每台应降价元.【分析】根据题意，利用利润=每台的利润×数量列出方程并解方程即可.【详解】解：设这种冰箱每台应降价元，根据题意得解得：，为了减少库存答：这种冰箱每台应降价元.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，能够根据题意列出方程是解题的关键.23、(1)猜想：AC与⊙O相切；(2)四边形BOCD为菱形；(3)【解析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线；（2）连结OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判断△OCD为等边三角形，则CD=OB=OC，先可判断四边形OBDC为平行四边形，加上OB=OC，于是可判断四边形BOCD为菱形；（3）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC=，再根据弧长公式计算出弧BC的弧长=然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．【详解】（1）AC与⊙O相切，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°．，∠CBO＝∠BCO＝30°，∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．（2）四边形BOCD是菱形连接OD．∵CD∥AB，∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60°，∴△COD是等边三角形，，∴四边形BOCD是平行四边形，∴四边形BOCD是菱形．,（3）在Rt△AOC中，∠A＝30°，AC＝6，ACtan∠A＝6tan30°＝，∴弧BC的弧长∴底面圆半径【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法和圆锥的计算．24、（1）；（2）【分析】（1）首先证明∠ACE=∠CBD，在△BCD中，根据正切的定义即可求解；

（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，利用平行线的性质列出比例式即可解决问题.【详解】解：（1）由，，得.在中，，，，得，即.（2）如图，过作的垂线交的延长线于点，则在中，，，，∴，又∵，，∴，∴.【点睛】本题考查了正切与平行线分线段成比例，熟练掌握正切的定义，作辅助线构造平行是解题的关键.25、（1）t，；（2）详见解析；（3）当t为0.1秒或4.1时，四边形EGFH为矩形【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的长度，再根据路程=速度×时间即可求出AE的长度，而当0≤t≤2.1时，；当2.1＜t≤1时，即可求解；（2）先通过SAS证明△AFG≌△CEH，由此可得到GF＝HE，，从而有，最后利用一组对边平行且相等即可证明；（3）利用矩形的性质可知FG=EF,求出GH，用含t的代数式表示出EF,建立方程求解即可．【详解】（1）当0≤t≤2.1时，当2.1＜t≤1时，∴故答案为：t，