2023-2024学年高一数学必修第一册：三角恒等变换技巧题型归纳 （解析版）

专题强化二：三角恒等变换技巧题型归纳

【题型归纳】

题型一：两角和与差的三角函数

1.(2023上•广东深圳•高三深圳中学校)已知cos[a+五]=不戊£,则cos]=+§

A3-4上72D.逋

B

10-71010

【答案】C

【分析】根据同角平方关系结合角的范围求得sin[a+,=9,再根据时夕+1卜侬卜+总+:,结

合和角余弦公式即可求解.

【详解】因为所以又cos，+f=],

\乙JX乙\J.乙L乙J\I乙JJ

匚「71兀兀

所以2cosa+—=cosa-\—+—

I3jLI12；4j

(71}71.(兀、.兀

=cosaH----cos—sinaH------sin—

I12)412；4

30406

——x----------x---------------

525210

故选：C

2.(2023上•湖北•高一湖北省天门中学校联考阶段练习)tan200°+tan40°+>^tan(-160°)tan40°=()

A.~J3B.—\/3C.1D.-1

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.

【详解】tan200°=tan(180°+20°)=tan20°,

tan(-160°)=tan(-180°+20°)=tan20°,

tan200+tan40°

tan60°=tan(20°+40°)==6,

1-tan20°-tan40°

所以tan20°+tan40。=石一gtan20°tan40°,

所以tan2000+tan400+V3tan(-160°)tan40°

=tan200+tan40°+/an20°tan40。

=石-Gtan20°-tan40°+百tan20°-tan40°=6.

故选：A

3.(2023上•北京•高三景山学校校考阶段练习)已知]＜。＜三，且cos(e+^j=；,贝hind的值为()

A2—y/3口2y/6+11_2网^+2A/^

6666

【答案】A

【分析】根据条件求出sin[d+/)的值，令sin〃=sin(d+g-g),按两角差的公式展开，计算即可.

・、4谭、e“兀C3兀7兀„2兀13K「।2TI)1

【详解】因为彳＜。＜二，所以~^＜。+kV—又cosN。+二-=彳

22O36＜5)5

V713兀7161

乂cos----=cos—=——＞—，

6623

二匚【、[.(n2兀)272

I3)3

27r27r

贝!Jsin0=sin(6+------)

27T27T27T27T

=sin(6+—)cos--cos(6＞+—)sin—

3333

2A/211A/32叵-6

=---------x(—)——x=---------------,

32326

故选：A.

题型二：二倍角公式的技巧

4.(2023上•江西•高一统考期中)已知cosa=sin](z-j,则tan2a=()

A.一也B.-73C.立D.6

33

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式展开化简得tana=g,再利用二倍角正切公式求值即可.

【详解】因为cosa=sin(a-」=YBsina-」cosa,所以sine=6costz,

I6；22

,,/~r*Lr、ic2tanCLFT

故tane=g,所以tan2tz=；--------=-A/3.

1-tana

故选：B

5.(2023上•天津河西•高三天津市新华中学校考阶段练习圮知£e(0,71),sina+cosa=-#,则cos2a=()

A.土叵B.好C.一好D.土或

3339

【答案】B

【分析】由sina+cosa=-*平方得到sin2a,再利用平方关系求解.

【详解】解：因为。£（0,兀），sina+cosa=<0,

所以

]

由sina+cosa=---两边平方得l+2sinacosa=§

2

即sin2a=2sinacosa=——,

3

所以2ae仔,2兀1,

cosla=Vl-sin22a=

3

故选：B.

6.（2023・福建厦门•厦门一中校考模拟预测）已知角a的终边落在直线y=-2x上，则2cos2a+sin2a+3的

值为（）

A.-1B.1C.±1D.石

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义以及同角三角函数关系和二倍角公式即可解决.

【详解】因为角a的终边落在直线>=-2X上，所以tana=-2.

2

n.2(co;2-2tana+2tana-

贝1J2cos2a+sin2a+3=—一+3=tan%+I+3

si•n2a+cos2a

2-2x4+2x(-2),

-I-3-1•

4+1

故选：B

题型三：半角公式

1+>/5

7.（2023•全国•统考高考真题）已知a为锐角,，cosa=---,则sin1().

4

B-1+«

c3-小D+

8,4'4

【答案】D

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【详解】因为cosa=l-2sin24=9l,而。为锐角,

解得:V5-1,

4

故选：D.

8.(2022.江西上饶.上饶市第一中学校联考二模)已知ce由"sine=|,则cos卜-■卜()

A如RV10r3回八3A/10

10101010

【答案】A

【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.

【详解]由ae(方，兀)sine=g,得

故选：A.

9.(2022・广西•统考模拟预测)若ajo,『，Sina=tan-,则tanc=().

VZ)2-cosa2

A.BB.V3C.BD.逅

342

【答案】B

TT

【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到cosa=]1,结合角的范围，求出a=],从而求出

正切值.

.a.oc

sm-2sm-cos—CL

E、r°sina

【详解】因为tan^=^------，所以222

a

22—cos。cos—2-cosa

2

a

又因为ae(0,5s.m—wOc,

2

a

所以2-cos。=2cos2

1即2—cos。=l+cos。,

所以cosa=—

2

71

又因为所以打=^,tana=A/3.

2

故选：B.

题型四：积化和差与和差化积公式

713万

10.(2023下•高一课时练习)若cosaH—•cosa------则sin2。等于()

44

a-tB-4c-ID-4

【答案】C

【分析】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案.

【详解】因为cos(e+：卜os3兀1713兀713兀

a―--=—xcosa-\----\-a-----+COSa-\-----a-\-----

24444

」xcos(2a」71)+c-=g(sin2a-1)=一；，所以sin2a=；.

22

故选：C.

11.(2023下•高一课时练习)若sina+sinA=||,cosa+cos尸=白，则tan,；'的值为()

A.2b-IC.-2D-4

【答案】A

【分析】利用和差化积公式即可得到答案.

ccBct-Ba+0a—BccBcc—012

【详解】由sin。+sin夕=sin(-......-+......-■)+sin(-•)=2sinI------cos------=—

22222213

a-Boc/3oc—Ba-P_6

cosa+cosP=cos(———+———■)+cos(-)=2coscos

222222-13,

12

□+2二卫二2

两式相除得tan

2〜6,

13

故选：A.

12

12.(2021下•高一课时练习)若cosxcosy+sin%siny=],sin2x+sin2^=—,贝|sin(x+y)=()

2

A2B.

•33

j_

cD.

-I3

【答案】A

12

【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得cos(%-y)=5,再利用和差化积公式得2sin(x+y)cos(x-y)=g,

最后代入计算即可.

【详解】因为cosxcosy+sinxsiny=g,

12

所以cos(x-y)=5,因为sin2x+sin2y,

2

所以2sin(x+y)cos(x-)；)=—,

192

所以2sin(%+y>5=§,所以sin(%+y)=§,

故选：A.

题型五：降嘉公式

1°71

13.（2。23下•云南保山・高一统考期末）已知而则cNa~~

AD

-1B-IC-i-4

【答案】A

【分析】利用降幕公式和诱导公式即可.

1+cos2a--1+cosI2a—

【详解】温71LI4I2,

a~~

22

1+cos--2a11

12,1+sin2a_+4_5,

22

故选：A.

14.(2022上•河南商丘•高一商丘市第一高级中学校考期末)若ae(0,g],7s：na_=tan£；则tanc=

V2Jv3+l-coscr2

()

b.BB.73C.且D.逅

432

【答案】C

由题可得6+1-cosa=2cos24,从而可求出cosa=^,即得.

【分析】

22

sinaa

【详解】■.・—7=-------------=tan—

V3+1-cosa2

.a—.aa

sin—2sin—cos—

,又因为E

所以222a[05—1,sin—wO,

cos£V3+l-cos6z2

2

g2a

所以G+l-COS6Z=2cos—即G+i-cosa=1+cosa，

2

所以cosa-，又因为,

2

tanaM

所以sina=一,i

23

故选：c.

15.（2020下•宁夏石嘴山・高一石嘴山市某中学校考阶段练习）化简cos?^-0sin2等于（）

A.sin20B.-sin2^C.cos20D.-cos20

【答案】A

【分析】根据题意，利用降辱公式和诱导公式进行化简，即可求出结果.

2--0

l+cos15-28l-cos^-2^

22

1+sin201-sin20

22

=sin2。，

即cos2-sin2=sin26.

故选：A.

题型六：三角恒等式变换中求值求角问题

、［er~sin40°-sin80°

16.（2022下.江苏苏州.高一吴县中学校考期中）计算：-------------)

cos40+cos60

A.在B.C.D・I

222

【答案】C

【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.

sin40°・sin80°sin(60°-20)sin(60°+20°)(乎cos20)sin20°T

【详解】因为

cos40+cos60°

cos40°+---2sin220°

22

—cos220°-—sin220°--sin220

44_4=〈，所以原式=也

2(--sin220°)2(--sin220°)22

44

故选：c

17.（2023下•湖北省直辖县级单位•高一校考期中）已知

aGlGll,coslI=--5,sinlI=13J则$1口3+广）的值为（）

A16-16c56c56

A.——B.——C.—D.——

65656565

【答案】A

【分析】先利用诱导公式得sin（a+0=cos（a+/?-勺，再令cos（a+/?-£）=cos［（a-2）+（尸-勺］,展开即可求解.

2244

■>A7J▼•/c、/c兀、z兀、/c兀、rz兀、/c兀、•/兀、•/c兀、

【详解】sm（a+4）=cos（a+/?--）=cosr［（«--）+（/?--）］=cos（a--）cos（力--）-sin（«--）sm（分--）,

2444444

因为a了，了）所以则a-：在第二或第三象限，

因为cos（a-：）=6，当在第三象限时，由于郎2=-农，

45442

=71,y上递增，且—1>—

所以当a-:在第三象限时，，与斗］矛盾，

4442144J

TT

所以a-2在第二象限，

4

因为cos（a-$=一|,所以sin（a_1）=’.

4545

因为匹卜5,所以夕一色0上，则cos（尸一：）<（）.

因为sin（p—；）=,,所以cos（一一2）=一）.

所以cos（a-：）cos（/?—：）—sin（a-：）sin（,-^）=-|x（-i|）-^x^=i|,

即sin（a+/3）=—.

65

故选：A.

18.（2022下•上海黄浦・高一上海市敬业中学校考期末）若ae0）,且tan（a-⑶=-g,

tan/?=1,则2tz-£的值为（）

3兀一兀「兀-3兀

A.——B.——C.-D.—

4444

【答案】B

【分析】求出2a-夕的正切值及2a-，的取值范围，即可得出2a-/的值.

【详解】因为则一兀<£一#<0,

1JT

又因为1@口(。一/?)=一2>—1,贝口一4<。一夕<0,

2x「)

由二倍角正切公式可得tan[2(a-⑶]=2：*-北=I2J=_4

1-tan(a-/3)f1>3

HF

_41

所以tan(2a一小tan[2(a")+0=2y-间管”=4+?

所以，I0)L'P，P]l-tan[2(a-^)]tan^i_L|V

因为一:<a—4<0,0</?<p贝1]-]<2(々一")+"<^|,即一]<2(z-/?<],

TT

因此，2a_/3=.

故选：B.

题型七：三角恒等式变换中的化简求值问题

19.（2023上•湖北省直辖县级单位•高三校考阶段练习）计算求值：

（1）已知。、夕均为锐角，sin«=icos（e+£）=｝亘，求sin^的值

714

2cos10-2^3cos(-100)

（2）计算的值

Vl-sinlO

【答案】⑴架

⑵2夜

【分析】（1）根据平方和公式和三角函数的和差公式即可得答案.

（2）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式即可得答案.

【详解】（1）a、夕均为锐角，则0<«+夕<兀,

所以sin(a+⑶=^1-cos2(a+/7)=11

14

所以sin尸=sin[(a+/7)-a]

=sin(a+4)cosa-cos(a+/?)sina

114V35731

——X------------------------X—

147147

39下＞

98

2cosl0-2^cos(-100)_2cosl0-2A/3COS100

(2)

Vl-sinlOJl-sinlO

2cosl0-cos(90+10)_2cosl0+273sin10

A/1—sinlOVl-sinlO

4—cos10T——-sin10

(2214cos(60-10)

71-2sin5cos5cos5-sin5

_4cos50

&(cos45cos5-sin45sin5)

_4cos50

75cos50

=2后.

20.(2023・全国•高一随堂练习)化简：

⑴行cosa-拒sina;

(2)sina+cosa；

tan15+V3

(3)/=♦

l-\/3tan15

(4)sin200sin310+cos340cos50.

【答案】⑴2cos(a+45)

⑵应sin(a+45)

(3)2+73

(4)也

2

【分析】（1）逆用余弦的和角公式即可得解;

（2）逆用正弦的和角公式即可得解；

（3）逆用、正用正切的和角公式即可得解；

（4）利用诱导公式及余弦差角公式的逆用即可得解.

、

V2后

【详解】(1)V2COSa-A/2sin=2——cosa------sina=2(cos45cosa-sin45sina

22

7

=2cos(a+45)；

(2)sina+cosa=应(sinacos45+sin45cosa)

=V5sin(a+45)；

/c、tan15+V3tan15+tan60_(.\tan45+tan30

(3)——=~~—=--------------------=tan75=tan45Ae+30)=----------------------

1-V3tan151-tan60tan15')l-tan45tan30

(4)sin200sin310+cos340cos50=(-sin20)(-sin50)+cos20°cos50°

=cos(50-20)=cos30=#.

21.(2023上•湖南娄底•高一校考期末)(1)已知tano=-求''12J的值.

1-cos(兀-2a)+sin*12a

(2)已知函数/(^)=cosxsin(7i-x)+73sin2X-73,XGR.^</(X)的解析式及最小正周期.

【答案】⑴(2)〃x)=sin(2x-；*最小正周期为兀.

【分析】(1)利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值；

(2)利用诱导公式、降累公式和辅助角公式化简函数解析式，根据周期公式求最小正周期.

【详解】⑴已知tanc=-；,

sin(2a+2TI)-sin2—a

贝Q^2)_sin2a—cos2a_2sin«cos6r-cos2a_2tana—1_15

1-cos(7i-2cr)+sin2a1+cos2cr+sin2a2cos2cr+sin2a2+tan2a19

(2)f(x)=cosxsin(7i-x)+V3sin2X-A/3=cosxsinx+^/3sin2x-v3

1.o,W1-COS2Xrr1606

=—sin2x+v3x--------------73=—sm2x-------cos2x------

22222

.(叫心

=sin2x----------.

I3j2

f（x）最小正周期为7=]=九

【专题训练】

一、单选题

22.（2023•全国•高一专题练习）计算cos43Ocosl3o+sin43Osinl3。的值（）

A.1B.变C.BD.cos57

222

【答案】C

【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.

【详解】cos43cos13+sin43sinl3=cos（43-13）=cos30=-

故选：C.

23.（2023上•江苏泰州•高三泰州中学校考阶段练习）下列化简不正确的是（）

A.cos215-sin215=^~Btan48+tan72石

21-tan48tan72

C.cos82°sm52°+sin82°cosl28°=--D.sin15sin30sin75=—

28

【答案】B

【分析】利用余弦的二倍角公式可计算得A正确；由两角和的正切公式可知B错误；利用两角和的正弦公

式可求出C正确；利用正弦的二倍角公式可计算得D正确.

【详解】A选项，cos215-sin215=cos30=—A选项正确.

2,

tan48tan72

B选项，+=tan（48+72）=tan120=-5/3,B选项错误.

1-tan48tan72''

C选项，cos82°sin520+sin82°cos1285=cos82°sin52°+sin820cos（18ff-52°）

=cos82sin52-sin82cos52=sin（52-82）=-sin30=-；,所以C选项正确.

D选项，易知sin30,所以sinl5sin30sin75sinl5sin75

22

=-sin15sin（90-15）=-sinl5cos15=-sin30=-,D选项正确.

2、,248

故选：B

24.（2023上•四川•高三南江中学校联考阶段练习）若tan3-0=2,tan/?=4,则（）

7sina+cosa

【答案】B

【分析】先利用两角和的正切公式求得tana的值，再利用齐次式求值的方法即可求得等七❷的值.

7sma+cosa

[详解]tana=tan[((z-^)+^]=^|^-=—

17sina-cosa7tan(7-l-6-17

则-----------=--------=-----=-

7sina+cosa7tana+l-6+15

故选：B

7T31

25.(2023上糊南•高二校联考阶段练习)已知0<a<5，0<夕<兀，cosa=-,若sin(a+0=§,贝|cos户

的值为()

.4>/2-6„40+60672+4„-60+4

15151515

【答案】D

【分析】由同角三角函数关系求sina=2,注意判断。+尸的范围并求得cos(a+£)=-2也，最后由差角余

5、产)3

弦公式求cos".

jrJI-------A

【详解】因为coscr=—,所以sin。=Jl-cos2。=w.

jr37r

因为0<a<5，0</<兀，所以0<a+尸<3，

14

因为sin(a+尸)=§<sini=w，若&+尸为锐角，则a+尸<a与a+,>a矛盾,

所以a+尸不可能是锐角，故cos(c+⑶=-71-sin2(a+^)=-子，

所以cos4=cos[(a+〃)一1]=cos(a+4)cosa+sin(a+4)sine=:后+4.

故选：D

26.(2023上•云南昆明•高三校考阶段练习)已知tanatan]：-U，则tana+tan[：-a)=(

)

【答案】D

【分析】易知tan：=tan[a+：-a],利用两角和的正弦公式代入计算可得结果.

71

【详解】因为tanw=tan

LL2兀1n1]3

所以tana+tan[w一aJ=1一tanatan[i-aJ=1-z=^，

故选：D.

27.（2023上•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）化简尸詈21+sin160。的结果是（）

A.cos10°B.sin10°

C.2sinl0°+cosl0°D.2cosl00-sinl0°

【答案】D

【分析】利用正余弦的二倍角公式化简即可.

【详解】原式化简为

^1+cos20°+ji—sin20。=『3。；1上Q+71-2sinl00cosl0°

=cos100+cos10°-sin10°=2cos10°-sin10°.

故选：D.

28.（2023下•广东佛山•高一校考阶段练习）cos]+“sin]-“+cos]-“sin]+“的值等于（）

A.走B.1C.0D.1

22

【答案】B

【分析】运用正弦函数两角和公式计算.

【详解1cos[三+sin一夕|+cossin+夕]=sin[三+0+£-d]=sin]=1,

故选：B.

29.（2023下•山东青岛•高一统考期中）下列等式成立的为（）

A.sin72°cos420-cos72°sin42°=—B.cosl300cosl400-sinl300sinl40°=-1

2

C.1+叫：：="D.瓜in75°+cos75°=应

1-tan150

【答案】C

【分析】利用和差角公式合并计算即可.

【详解】A选项：sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin（72°-42°）=sin30O=1,A错误；

B选项：cos130°cos1400-sin130°sin140°=cos（130°+140°）=cos270°=0,B错误；

c“岳l+tanl5°tan450+tan15°，__,,（八。后八十外

C选项：-----=----————=tanZ（/415°o+145o。）=tan60。=J3,C正确；

l-tan!5°l-tan45°-tanl5°

/o1

D选项：氐in75。+cos75°=2(/sin750+-cos75°)=2(cos30°sin75°+sin30°cos75°)

=2sin(75°+30°)=2sin105°=2sin(45°+60°)=2(sin45°cos60°+cos45°sin60°)

=2(—xl+^x^)=^^,D错误.

22222

故选：C.

30.(2023•河北保定・河北省唐县第一中学校考二模)已知钝角。满足sina=g,则cos[：+a]=()

AViOR3^/10RA/10n2百

41055

【答案】B

【分析】已知sina,根据平方关系求出cosa,再利用两角和的余弦公式展开cos(：+aj,代入求解.

【详解】由a为钝角，可知cosa<0,所以cose=-Jl-g=,

所以cos[z+aj=^-(cosa-sma)=yx[----------1=一一—.

故选：B.

31.（2023上•山东日照•高二统考开学考试）已知ee（兀,,广©[m段）cos^a-^=-|-,sin（£-：）=《

则sin（a+/?）的值为（）

1616八56「56

AA.——B.——C.——D.——

65656565

【答案】C

【分析】根据同角关系，结合三角函数的性质可得=-^，8$（£-：]=-苒，即可根据和差

角公式求解.

【详解】sin(cr+/3)=cos[a+(3-^=cos

=cos"卜。sHin"卜,

L.、I|771]_,.71[3713兀）

因为ae1兀,丁卜所以5J'

因为cos（a-M=J,当a-：在第二象限时，由于cos型=一变

I4；5442

又产COSX在臼川上递减,且一|＞一多不符合题意.

所以a-弓在第三象限，因为cos[a-；）=-1,所以sin[a-；4

5

3兀3兀5K,则cos,-；J<0.

因为兀,三，所以4-：G

244

因为sin#4卜卫5,所以cos,-：J=-12

1313

所以cos（a-：cos,一:71sin,一；3124556

-sina~~——x+—X——=——

51351365

即sin((z+£)=^.

故选：C.

二、多选题

32.（2。23上・安徽合肥・高三合肥一中校考阶段练习）下列代数式的值为:的是（）

tan15

A.cos275-sin275B.

1+tan215

C.cos36cos72D.2cos20cos40cos80

【答案】BCD

【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项;利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二

倍角的正弦公式可判断CD选项.

=_叵

【详解】对于A选项，cos275-sin275=cos150=cos(180-30)=-cos30

2

sin15

tan15cos15sin15cos15

对于B选项,=-sin30=-

1+tan2151sin215cos215+sin21524

l+

cos215

—sin72cos72,•

_,rcsin36cos36cos72_2_1sin1441

对于C选项,cos36cos72=-----------------------------

sin36sin(180-1444sin1444

,“scc2cos20sin20cos40cos80

对于D选项,2cos20cos40cos80'------------------------------------------

sin20

.4八AC\on-sin80cos80

sin40cos40cos80_?1sin1601

sin20sin(180-1604sin1604

故选：BCD.

3

33.（2023下・甘肃临夏•高一统考期末）已知。为锐角，sincr则下列各选项正确的是（）

4+3g2兀3+4有

A.cosIa-\--