10.3　频率与概率 （解析版）

10.3频率与概率【考点梳理】考点一频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).考点二随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.【题型归纳】题型一：频率与概率的计算1．（2022春·山东泰安·高一泰安一中校考期中）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：分组频数234542则样本在[10，50)内的频率为（

）A．0.5 B．0.24 C．0.6 D．0.7【答案】D【分析】根据频数分布表可得正确的选项.【详解】因为样本在[10，50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10，50)内的频率为.故选：D.2．（2021秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数1013141513129第3组的频数和频率分别是（

）A．和14 B．14和 C．和24 D．24和【答案】B【分析】根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.【详解】由题意可得：第3组的频数为，故第3组的频率为，故选：B3．（2022·高一课时练习）下列四个命题中正确的是（

）A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是【答案】D【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可.【详解】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.故选：D题型二、频率与概率的关系4．（2022春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期末）抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）A．正面向上的概率为0.48 B．反面向上的概率是0.48C．正面向上的频率为0.48 D．反面向上的频率是0.48【答案】C【分析】根据频率和概率的定义逐项判定可得答案.【详解】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误；对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误；对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确；对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误.故选：C.5．（2022·高一课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（

）A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小【答案】D【分析】根据频率与概率的关系可得答案.【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；故选：D6．（2022秋·高一单元测试）有下列说法正确的是（

）①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；②在同一次试验中，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；③在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④概率就是频率.A．①③ B．①②④ C．①② D．③④【答案】C【分析】根据统频数和频率的关系，以及频率和概率的关系，进行判断即可得解.【详解】由频率､频数､概率的定义易知①②正确.故选：C.题型三：用随机模拟估计概率7．（2022春·福建宁德·高一统考期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192

907

966

925

271

932

812

458

569

683

257

393

127

556

488

730

113

537

989

431据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75【答案】D【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为故选：D8．（2022·高一课时练习）手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：顾客年龄岁20岁以下70岁及以上手机支付人数3121491320其他支付方式人数0021131121从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，进而可以得到未使用手机支付的概率.【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．故选：A.9．（2021·高一课时练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】A【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：569,989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：A.题型四、概率思想的实际应用10．（2023·高一单元测试）对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：抽取件数50100150200300400检出次品件数579152130检出次品频率(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率；(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？(3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.【分析】（1）根据频率的定义可得每次检出次品件数除以当次抽取总件数即为对应的频率，即可一一填写；（2）经验概率即为6次检出次品频率的稳定值，计算其平均值可得其值约为0.075；（3）由（2）中求得的经验概率可得1000件西装中的次品件数，可得需要预备的正品件数.【详解】（1）利用频率的计算公式可得，每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数，所以从左到右的6次检测对应的频率分别为：，，，，，所以，对应的频率表格如下：抽取件数50100150200300400检出次品件数579152130检出次品频率0.10.070.060.0750.070.075（2）从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值，即，所以抽到次品的经验概率约为；（3）由（2）可知，销售1000件西装大约有件次品，所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换.11．（2022·高一单元测试）某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表：射击次数102050100200500甲击中10环的次数9174492179450甲击中10环的频率乙击中10环的次数8194493177453乙击中10环的频率(1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；(2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率.【答案】(1)答案见解析(2)0.9【分析】（1）根据频率、频数和总数之间的关系完善表格；（2）利用频率与概率之间的关系即可得出结论.（1）两名运动员击中10环的频率如下表：射击次数102050100200500甲击中10环的次数9174492179450甲击中10环的频率0.90.850.880.920.8950.9乙击中10环的次数8194493177453乙击中10环的频率0.80.950.880.930.8850.906（2）由（1）中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以两人击中10环的概率均约为0.9.12．（2021秋·高一单元测试）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号质量指标产品编号质量指标（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.①写出对应的样本空间，并说出其中含有的样本点个数；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.【答案】（1）0.6；（2）①样本空间为，15个样本点；②.【分析】（1）用综合指标计算出10件产品的综合指标并列表表示,求出一等品率即可;（2）利用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能的结果和在取出的2件产品中，每件产品的综合指标都等于4的所有情况,代入古典概型概率计算公式求解即可.【详解】（1）计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号S4463454535其中的有，，，，，，共6件，故该样本的一等品率为，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，则样本空间，共包含15个样本点.②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为，，，，则事件B包含的样本点为，，，，，，共6个.所以.【双基达标】一：单选题13．（2023·高一课时练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：10

8

6

10

13

8

10

12

11

78

9

11

9

12

9

10

11

12

11那么频率为0.4的范围是（

）A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.5【答案】C【分析】通过计算各组频率来求得正确答案.【详解】5.5~7.5的频率为，7.5~9.5的频率为，9.5~11.5的频率为，11.5~13.5的频率为，所以C选项正确.故选：C14．（2022秋·高一校考课时练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（

）A．200颗 B．300颗 C．400颗 D．500颗【答案】B【分析】设出白色围棋子的数目，利用频率列方程，进而即得.【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得，解得，即白色围棋子的数目大约有300颗.故选：B.15．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员（

）A．投篮命中的频率为0.56 B．投篮10次至少有5次命中C．投篮命中的概率为0.56 D．投篮100次有56次命中【答案】A【分析】根据频率和概率的相关概念求解即可.【详解】由题意可知投篮命中的频率为，得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于概率，故A正确，C错误，投篮10次或100次相当于做10次或100次实验，每一次的结果都是随机的，其结果可能一次没中，或者多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故BD错误；故选：A16．（2022·高一课时练习）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数68125176369命中的频率0.680.6250.5870.615根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（

）A．0.68 B．0.625 C．0.587 D．0.615【答案】D【分析】由频率和概率的关系求解.【详解】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小．故选：D．17．（2022·高一单元测试）气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907

966

191

925

271

932

815

458

569

683431

257

393

027

556

481

730

113

537

989据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】C【分析】由随机数组确定表示降雨的随机数组后可得概率．【详解】表示未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个，概率为，故选：C．18．（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，计算随机数中每组数中有2个数字在集合中判断即可【详解】由题意，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为故选：B19．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024234213012034125035345134304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】A【分析】求出频率，用频率估计摸到三个球都是蓝球的概率.【详解】摸到三个球都是篮球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为.故选：A20．（2022·高一单元测试）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表（没有罚球）：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中不正确的是（

）A．P(A)=0.55 B．P(B)=0.18 C．P(C)=0.27 D．P(B＋C)=0.55【答案】D【分析】结合概率的计算公式求得正确答案.【详解】依题意，，，所以D选项结论不正确.故选：D21．（2022秋·高一校考课时练习）某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数117382275以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.【答案】(1)；(2)Y值见解析，【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份每天平均需求量；（2）分别求当温度大于等于25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于20℃时的利润，从而估计Y大于零的概率．【详解】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为1+17+38＝56，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P；前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为（瓶）；（2）当温度大于等于25℃时，需求量为600，Y＝550×2＝1100元，当温度在[20，25）℃时，需求量为400，Y＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200元，当温度低于20℃时，需求量为300，Y＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：，∴估计Y大于零的概率P．22．（2022·高一单元测试）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号ⅠⅡⅢⅣⅤ回访客户/人250100200700350满意率0.50.30.60.30.2其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．(1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；(2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解计算即可.（2）先求出样本中的回访客户的总数和样本中满意的客户人数，由此估计客户的满意概率.【详解】（1）由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为．（2）由题意知，回访客户的总人数是，回访客户中满意的客户人数是，所以回访客户中客户的满意率为，所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为．【高分突破】一、单选题23．（2022·高一单元测试）某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（

）网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率餐馆甲100095%100085%餐馆乙1000100%200080%餐馆丙100090%100090%餐馆丁200095%100085%A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁【答案】D【分析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.【详解】餐馆甲的总好评率为：，餐馆乙的总好评率为：，餐馆丙的好评率为：，餐馆丁的好评率为：，显然，所以餐馆丁的总好评率最高.故选：D24．（2022春·福建·高一福建师大附中校考期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，该系统正常工作的概率为:,故选：C.25．（2021·高一课时练习）天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（）A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20【答案】D【分析】由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271932

812393共4组随机数所求概率为故选：D26．（2021春·陕西咸阳·高一统考期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】B【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：B.27．（2022·高一单元测试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（

）A．0.4，0.4 B．0.5，0.5 C．0.4，0.5 D．0.5，0.4【答案】C【分析】利用频率和概率的定义判断.【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，所以出现正面朝上的频率为，因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，所以出现正面朝上的概率是0.5，故选：C28．（2022春·黑龙江鸡西·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率B．掷一枚骰子次，“出现点”与“出现点”是对立事件C．甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件“甲中靶”，“乙中靶”，则“恰有一人中靶”D．拋掷一枚质地均匀的硬币，若前次均正面向上，则第次正面向上的概率小于【答案】A【分析】根据频率与概率、互斥与对立、并事件、概率等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确；对于B，掷一枚骰子次，“出现点”与“出现点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误；对于C，“靶被击中”，C错误；对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于，D错误.故选：A.二、多选题29．（2021秋·高一单元测试）下列说法中错误的是（

）A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2【答案】ABD【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误.【详解】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.故选：ABD.30．（2022·高一单元测试）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××根据表中数据，下列结论中正确的有（

）A．顾客购买乙商品的概率最大B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2【答案】BCD【分析】根据统计表逐项分析可得答案.【详解】对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；对于B，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为，故B正确；对于C，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为，故C正确；对于D，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为，故D正确．故选：BCD．31．（2022秋·高一校考课时练习）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（

）A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确【答案】ABCD【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.【详解】A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误；B，C：概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错误；D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D错误.故选：ABCD32．（2022春·山东聊城·高一统考期末）下列说法中，正确的是（

）A．对于事件A与事件B，如果，那么B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性C．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率D．从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红球}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立【答案】BCD【分析】A由事件包含关系可得；B、C根据随机事件概率跟试验所得的频率关系判断正误；D列举出所有基本事件，结合对立、互斥事件的定义判断.【详解】A：若，则，错误；对于有限n次随机试验，事件A发生的频率是随机的，而随试验次数n趋向无穷大，随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，B、C正确；D：基本事件有{取出的两个球均为红球}、{取出的两个球颜色不同}、{取出的两个球均为白球}，故事件A、B不对立，但互斥，正确.故选：BCD33．（2022·高一单元测试）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”，为“是合格品”，为“是不合格品”，则下列结果正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】依题意可得、、为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到、、，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D；【详解】解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误；∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、，则，∴A、D正确，故选：ABD.34．（2023秋·高一单元测试）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（

）A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B．该医院青年患者所占的频率为C．该医院的平均治愈率为28.7%D．该医院的平均治愈率为31.3%【答案】ABC【分析】由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项.【详解】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；对于B，青年患者所占的频率为，正确；对于C，平均治愈率为，正确；对于D，由C知错误.故选：ABC.三、填空题35．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个．【答案】15【分析】求出摸到白球的频率，从而得到白色球的可能个数.【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，∴摸到白球的频率为，故口袋中白色球的个数可能是个．故答案为：1536．（2023·高一单元测试）某人掷一颗骰子25次，其中点数1向上4次、点数2向上5次、点数3向上2次、点数4向上3次、点数5向上6次、点数6向上5次，则点数为偶数的经验概率是______.【答案】0.52/【分析】根据经验概率的概念计算即可．【详解】因为点数2向上5次、点数4向上3次、点数6向上5次，所以点数为偶数的经验概率是．故答案为：0.52．37．（2022秋·广西钦州·高一浦北中学统考期末）如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为______.【答案】/【分析】利用概率模拟，利用图形的面积比等于黄豆数总数与落在椭圆内的黄豆数之比，从而得出答案.【详解】因为矩形的面积为，设椭圆的面积为，则，解得.故答案为：10.2.38．（2021春·陕西渭南·高一统考期末）欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______【答案】10【分析】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，不大于59的为满足要求的编号.【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4个被抽取的样本的编号为10.故答案为：1039．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）甲、乙两人做下列4个游戏：①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．在上述4个游戏中，不公平的游戏是_________.【答案】④【分析】①抛一枚骰子，奇数或偶数点向上的可能性相同，即可判断；②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器确定谁发球的可能性相同，即可判断；③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，红色牌和黑色牌的可能性相同，即可判断；④同时抛掷两枚硬币，计算恰有一枚正面向上和两枚都是正面向上的概率，即可判断.【详解】①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜,由于抛一枚骰子，向上的点数为奇数和偶数的可能性是相同的，故游戏公平；②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是，故游戏公平；③一副不含大、小王的扑克牌中各有红色牌和黑色牌26张，故从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色或者黑色的可能性相同，故扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜，游戏公平；④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都是正面向上的概率为，则同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．游戏不公平，故答案为：④40．（2022秋·高一校考课时练习）已知某运动员每次投篮命中的概率是．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204978171935263321947468579682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．【答案】/0.3【分析】根据概率公式可得答案【详解】三次投篮恰有两次命中情形有：三组故故答案为：四、解答题41．（2022秋·高一校考课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？【答案】(1)红色的频率越来越稳定在(2)(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）【分析】（1）根据折线图分析即可；（2）根据频率和概率的关系判断即可；（3）根据折线图可得中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率，即可按比例安排生产；【详解】（1）解：根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在；（2）解：由图可知，红色的频率基本在附近浮动，所以中学生选取红色的概率是；（3）解：由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是、、、、，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）；42．（2022·高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如