（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第19课 利用导数研究函数的最(极)值 文-人教版高三全册数学试题

第19课利用导数研究函数的最(极)值(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P31例2改编)函数f(x)=x3-4x+的极大值是，极小值是.【答案】-5【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x(-∞，-2)-2(-2，2)2(2，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值f(-2)↘极小值f(2)↗因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.2.(选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为.【答案】【解析】f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，则x=-或x=1.当x<-或x>1时，f'(x)>0；当-<x<1时，f'(x)<0，所以当x=1时，f(x)取得极小值，当x=-时，f(x)取得极大值.因为极小值是f(1)=a-1=1，所以a=2，所以f(x)的极大值为f=+a=.3.(选修2-2P33例2改编)函数f(x)=x+sinx在区间[0，2π]上的最大值为.【答案】π【解析】f'(x)=+cosx，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x1=，x2=.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x02πf'(x)+0-0+f(x)0↗极大值↘极小值↗π由上表可知，函数f(x)=x+sinx在区间[0，2π]上的最大值为π.4.(选修2-2P34习题8改编)函数y=x+sinx，x∈[0，2π]的值域为.【答案】[0，2π]【解析】因为y'=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π].5.(选修2-2P34习题7改编)若函数y=3x3-9x+a有两个零点，则实数a=.【答案】±6【解析】由y'=9x2-9>0，得x>1或x<-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6.1.函数的极值若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值，记作y极大值=f(x0)；若在x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值，记作y极小值=f(x0).2.求函数极值的步骤(1)求导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f'(x)的符号如何变化，若f'(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f'(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.3.函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).4.求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间[a，b]上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的极值例1判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由.(1)y=8x3-12x2+6x+1；(2)y=1-(x-2.【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反.【解答】(1)因为y'=24x2-24x+6，令y'=0，即24x2-24x+6=0，解得x=，当x>时，y'>0；当x<时，y'>0，所以此函数无极值.(2)当x≠2时，有y'=-(x-2.当x=2时，y'不存在，因此y'在x=2处不可导.但在x=2处的左右邻域y'均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y'在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x<2时，y'>0；当x>2时，y'<0.故y=f(x)在点x=2处取极大值，且极大值为f(2)=1.无极小值.【精要点评】判断一个函数是否有极值，不能只求解y'=0，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.变式已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.【思维引导】(1)求出x=1的导数值即可；(2)利用导数的符号判断单调性，同时考虑极值点.【解答】(1)当a=0时，f(x)=x2ex，f'(x)=(x2+2x)ex，故f'(1)=3e，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f'(x)=[x2+(2+a)x-2a2+4a]ex，令f'(x)=0，解得x=-2a或x=a-2.由a≠知-2a≠a-2.以下分两种情况讨论.①若a>时，则-2a<a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x(-∞，-2a)-2a(-2a，a-2)a-2(a-2，+∞)f'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞，-2a)和(a-2，+∞)上为增函数，在(-2a，a-2)上为减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.②若a<时，则-2a>a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x(-∞，a-2)a-2(a-2，-2a)-2a(-2a，+∞)f'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上为增函数，在(a-2，-2a)上为减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.【精要点评】第(2)问中导数符号的判断，关键是看前面二次函数的符号，通过讨论两根大小后，列表判断f'(x)符号及f(x)的单调性，进而判断出极值点，求极值.利用导数研究函数的最值微课4●问题提出导数在研究函数的极值和最值方面的应用问题是高考的一个热点问题，它涉及内容广泛，可以多角度、多层次地考查分析问题和解决问题的能力.应用类问题中求最值的问题比较多，这与函数的极值联系紧密.利用导数求函数的最大(小)值，其解题流程是怎样的呢?●典型示例例2已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若函数f(x)在区间[2，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x=3是函数f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值.【思维导图】【规范解答】(1)由题意知f'(x)=3x2-2ax-3，令f'(x)≥0(x≥2)，得a≤.记t(x)=，当x≥2时，t(x)是增函数，所以t(x)min=×=，所以实数a的取值范围是.(2)由题意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4，所以f(x)=x3-4x2-3x，f'(x)=3x2-8x-3.令f'(x)=0，得x1=-(舍去)，x2=3.当x∈(1，3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，3]上为减函数；当x∈(3，4)时，f'(x)>0，所以f(x)在(3，4]上为增函数.所以当x=3时，f(x)有极小值.于是，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(3)=-18，而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6.【精要点评】(1)若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f'(x)≥0，其逆命题不成立，因为f'(x)≥0包括f'(x)>0与f'(x)=0，当f'(x)>0时，函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f'(x)=0时，f(x)在这个区间内为常函数；同理，若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f'(x)≤0，其逆命题也不成立.(2)使f'(x)=0的离散的点不影响函数的单调性.●总结归纳求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求f(x)在区间(a，b)上的极值；②将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.●题组强化1.(2015·江苏模拟)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值是.【答案】2【解析】f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2(舍去).当-1<x<0时，f'(x)>0；当0<x<1时，f'(x)<0，所以当x=0时，函数取得的极大值即为最大值，所以f(x)的最大值为2.2.已知a≤+lnx对任意的x∈恒成立，那么实数a的最大值为.【答案】0【解析】设f(x)=+lnx，则f'(x)=+=.当x∈时，f'(x)<0，所以函数f(x)在上单调递减；当x∈(1，2]时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(1，2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，所以a≤0，即a的最大值为0.3.(2014·南通期末)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a>0时，实数b的最小值为.【答案】-1【解析】设直线y=x+b与曲线y=alnx相切于点(x0，x0+b)，所以y'==1，x0=a，a+b=alna，b=alna-a.令函数g(a)=alna-a(a>0)，当g'(a)=lna+1-1=lna=0时，a=1，当0<a<1时，g'(a)<0；当a>1时，g'(a)>0，所以函数g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，g(a)的最小值为g(1)=-1，所以b的最小值为-1.4.(2015·广州调研)已知函数f(x)=ax2-blnx在点(1，f(1))处的切线为y=1.(1)求实数a，b的值.(2)问：是否存在实数m，使得当x∈(0，1]时，函数g(x)=f(x)-x2+m(x-1)的最小值为0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为f(x)=ax2-blnx，其定义域为(0，+∞)，所以f'(x)=2ax-.依题意可得解得a=1，b=2.(2)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2lnx，x∈(0，1]，所以g'(x)=m-=.①当m≤0时，g'(x)<0，则g(x)在(0，1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=0.②当0<m≤2时，g'(x)=≤0，则g(x)在(0，1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=0.③当m>2时，则x∈时，g'(x)<0；x∈时，g'(x)>0，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，故当x=时，g(x)取最小值为g.因为g<g(1)=0，所以g(x)min≠0.综上所述，存在m满足题意，其取值范围为(-∞，2].最(极)值的综合应用例3设函数f(x)=ax+2，g(x)=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x>0.(1)若a=2，求曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程.(2)是否存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)求出切点坐标和在切点处的导数值即可；(2)移项后构造新函数，利用导数求出其最大值，只要最大值小于等于0即可.【解答】(1)由题意可知，当a=2时，g(x)=4x2-lnx+2，则g'(x)=8x-，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线的斜率k=g'(1)=7，又g(1)=6，所以曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程为y-6=7(x-1)，即y=7x-1.(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)=ax+lnx-a2x2(x>0)，假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立，即当x>0时，h(x)的最大值小于等于零.h'(x)=a+-2a2x=(x>0)，令h'(x)=0，可得x1=-，x2=(舍去)，当0<x<-时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x>-时，h'(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)在x=-处有极大值，也是最大值.所以h(x)max=h≤0，解得a≤-.所以存在负数a满足题意，它的取值范围为.【精要点评】含参不等式恒成立问题常用分离参数法和函数法来处理，此题分离参数比较困难，所以利用函数的方法处理.利用函数处理时有时可以用数形结合的方法来解决，如二次函数等.变式已知函数y=f(x)=xlnx.(1)求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程；(2)设实数a>0，求函数F(x)=在区间[a，2a]上的最大值；(3)求证：对一切x∈(0，+∞)，都有lnx>-成立.【思维引导】(1)求出切点及切点处的导数值即可；(2)先判断f(x)的单调性，结合区间[a，2a]，讨论求解；(3)两边乘以x后，左侧构造成f(x)形式，只要证明左侧的最小值大于右侧的最大值，利用导数解决两侧的相关最值.【解答】(1)由题意知f(x)定义域为(0，+∞)，f'(x)=lnx+1，因为f(e)=e，又因为k=f'(e)=2，所以函数y=f(x)在x=e处的切线方程为y=2(x-e)+e，即y=2x-e.(2)F'(x)=(lnx+1)，令F'(x)=0，得x=，当x∈时，F'(x)<0，F(x)单调递减；当x∈时，F'(x)>0，F(x)单调递增，故F(x)在[a，2a]上的最大值为F(x)max=max{F(a)，F(2a)}.因为F(a)-F(2a)=lna-2ln2a=ln，所以当0<a≤时，F(a)-F(2a)≥0，F(x)max=F(a)=lna；当a>时，F(a)-F(2a)<0，F(x)max=F(2a)=2ln2a.(3)问题等价于证明xlnx>-(x∈(0，+∞))，由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0，+∞))的最小值为-，当且仅当x=时取得.设m(x)=-(x∈(0，+∞))，则m'(x)=，易得m(x)max=m(1)=-，当且仅当x=1时取到.所以f(x)>m(x)，从而对一切x∈(0，+∞)，都有lnx>-成立.【精要点评】对第(2)问，因为函数不是二次函数，在x=的两侧不对称，所以如果讨论区间的位置则比较复杂；对第(3)问构造f(x)是解决问题的关键，如果直接移项构造一个新函数来证明，则相对比较复杂.1.(2015·哈尔滨三中)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为.【答案】18【解析】因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，即x=2是f'(x)=3x2-3a=0的根，代入x=2，得a=4，所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2，则3x2-12=0，即x=±2，故函数在(-2，2)上是减函数，在(-∞，-2)，(2，+∞)上是增函数，由此可知当x=-2时，函数f(x)取得极大值f(-2)=18.2.(2014·常州模拟)若函数f(x)=在x=1处取得极值，则实数a=.【答案】3【解析】f'(x)==，由题意得f'(1)=0，即=0，解得a=3.3.(2015·全国卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】设g(x)=ex(2x-1)，y=ax-a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g'(x)=ex(2x+1)，所以当x<-时，g'(x)<0；当x>-时，g'(x)>0，所以当x=-时，g(x)min=-2.(第3题)如图，当x=0时，g(0)=-1，当x=1时，g(1)=e>0，直线y=ax-a恒过点(1，0)且斜率为a，故-a>g(0)=-1，且g(-1)=-3e-1≥-a-a，解得≤a<1.4.(2014·陕西卷)设函数f(x)=lnx+，m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)=f'(x)-的零点个数.【解答】(1)当m=e时，f(x)=lnx+，f'(x)=.x∈(0，+∞).当x∈(0，e)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(e，+∞)上单调递增.所以当x=e时，f(x)取得极小值f(e)=2.(2)g(x)=f'(x)-=--(x>0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0)，则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，当x∈(0，1)时，φ'(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)在(1，+∞)上单调递减，所以x=1是φ(x)唯一的极大值点，因此x=1也是φ(x)的最大值点.所以φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0，结合y=φ(x)的大致图象如图所示，由图可知：(第4题)①当m>时，函数g(x)无零点；②当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点.5.(2016·苏北四市期中)已知函数f(x)=cosx+ax2-1，a∈R.(1)求证：函数f(x)是偶函数；(2)当a=1，求函数f(x)在[-π，π]上的最大值和最小值.【解答】(1)函数f(x)的定义域为R，因为f(-x)=cos(-x)+a(-x)2-1=cosx+ax2-1=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(2)当a=1时，f(x)=cosx+x2-1，则f'(x)=-sinx+2x，令g(x)=f'(x)=-sinx+2x，则g'(x)=-cosx+2>0，所以f'(x)是增函数.又f'(0)=0，所以f'(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数.又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[-π，π]上的最大值为π2-2，最小值为0.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第37~38页.【检测与评估】第19课利用导数研究函数的最(极)值一、填空题1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，那么=.2.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9，且f(x)在x=-3处取得极值，那么实数a=.3.(2015·陕西卷)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.4.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则实数m的取值范围是.5.已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞，+∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是.6.已知函数f(x)=x3+a2x2+ax+b，且当x=-1时，函数f(x)的极值为-，那么f(2)=.7.(2015·中华中学)函数y=+(x∈(0，π))的最小值为.8.(2014·厦门模拟)已知函数f(x)=，g(x)=，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是.二、解答题9.已知f(x)=alnx++x+1，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值.10.(2015·如东中学)设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在上存在单调增区间，求实数a的取值范围；(2)当0<a<2时，若f(x)在[1，4]上的最小值为-，求f(x)在该区间上的最大值.11.(2014·北京卷)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求实数t的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在实数集上的函数f(x)=x2+x，g(x)=x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程；(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4，4]恒成立，求实数m的取值范围.【检测与评估答案】第19课利用导数研究函数的最(极)值1.-【解析】因为f'(x)=3x2+2ax+b，由题意知即解得或经检验，只有满足题意，故=-.2.5【解析】f'(x)=3x2+2ax+3，当x=-3时，f'(x)=0，所以a=5.3.y=-【解析】f'(x)=(1+x)ex，令f'(x)=0，得x=-1，此时f(-1)=-，所以函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=-.4.(0，3)【解析】f'(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2m).令f'(x)=0，得x=0或x=.因为x∈(0，2)，所以0<<2，所以0<m<3.5.(-∞，0)∪(9，+∞)【解析】因为f'(x)=3x2-2ax+3a，所以Δ=4a2-36a>0，即a<0或a>9.6.【解析】f'(x)=x2+2a2x+a，由题意得即解得或经验证，当时，f(x)在x=-1处没有极值，舍去，故f(x)=x3+x2-x-1，所以f(2)=.7.【解析】令sin2x=t，由x∈(0，π)知t∈(0，1]，则函数y=+=-，y'=-+=，当0<t<时，y'<0；当<t≤1时，y'>0.故当t=时，ymin=.8.[1，+∞)【解析】因为k为正数，所以对任意的x1，x2∈(0，+∞)，不等式≤恒成立≤.令g'(x)=0，即=0，得x=1，当x∈(0，1)时，g'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0，所以==.同理，令f'(x)=0，即=0，得x=，当x∈时，f'(x)<0；当x∈时，f'(x)>0，所以==，所以≤，又k>0，所以k≥1.9.(1)f'(x)=-+.由于曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f'(1)=0，从而a-+=0，解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-lnx++x+1(x>0)，f'(x)=--+==.令f'(x)=0，解得x=1.当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.10.(1)因为f(x)=-x3+x2+2ax，所以f'(x)=-x2+x