高中人教A版数学选修1-1测评第三章导数及其应用测评

第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=axx,且f'(4)=12,则a的值等于()A.14 B.5C.1 D.3解析由已知得f'(x)=a12因此有f'(4)=a124=12答案D2.曲线y=xx-2在点(1,1)处的切线方程为A.2x+y1=0 B.2xy3=0C.2xy+1=0 D.2x+y3=0解析由于y'=-2(x-2)2,所以切线斜率k=-2(1-2)2=2,答案A3.曲线f(x)=x3+x2在P0处的切线平行于直线y=4x1,则P0点的坐标为()A.(1,0) B.(2,8)C.(1,0)和(1,4) D.(2,8)和(1,4)解析依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(1)=4,故P0点的坐标为(1,0),(1,4),故选C.答案C4.函数f(x)=2lnxx3x的单调递增区间是(A.(1,3) B.(0,3)C.(3,+∞) D.(3,+∞)和(∞,1)解析f'(x)=2x1+3x2=-x2+2x+3x2,令f'(x)>答案B5.函数f(x)=3x2+lnx2x的极值点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无数个解析函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1x2=6x2-2x+1x,由于x>0,g(x)=6x22x+1中Δ=20<0,所以g(x)>0恒成立,故f'(x)>0恒成立,即答案A6.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)()A.在(∞,0)内为减函数B.在x=0处取极小值C.在(4,+∞)内为减函数D.在x=2处取极大值解析在(∞,0)内,f'(x)>0,故f(x)在(∞,0)内为增函数,A错;在x=0处,导数由正变负,f(x)由增变减,故在x=0处取极大值,B错;在(4,+∞)内,f'(x)<0,f(x)为减函数,C对;在x=2处取极小值,D错.答案C7.已知函数f(x)=16x312ax2bx(a>0,b>0)的一个极值点为1,则ab的最大值为(A.1B.1C.1D.1解析f(x)=16x312ax2bx(a>0,可得f'(x)=12x2axb因为函数f(x)的一个极值点为1,所以f'(1)=0,即12ab=0,即a+b=1所以ab≤a+b22=116,当且仅当a=b=1所以ab的最大值为116故选D.答案D8.已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=1 B.a=e,b=1C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=1解析∵y'=aex+lnx+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=1.答案D9.若不等式2xlnx≥x2+ax对x∈[1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是()A.(∞,0)B.(∞,1]C.(0,+∞)D.[1,+∞)解析由2xlnx≥x2+ax,x∈[1,+∞),可知a≤2lnx+x.设h(x)=2lnx+x,x∈[1,+∞),则h'(x)=2x+1>0,所以函数h(x)在[1,+∞)内单调递增,所以h(x)min=h(1)=1,由题可知a≤h(x)min=1,故a的取值范围是(∞,1].故选B答案B10.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)内的函数,其导数为f'(x),且满足f'(x)f(x)=exx2,又f(1)=e,则函数f(x)在定义域(0,+∞)内A.有极大值 B.有极小值C.单调递增 D.单调递减解析由f'(x)f(x)=exx2可得f即f(x)于是f(x)ex=又因为f(1)=e,所以ee=1+c,故c=从而f(x)=ex于是f'(x)=ex(x-1)x2,令f'(x)=0得x=1,且当0<x<1当x>1时,f'(x)>0,故函数f(x)在定义域(0,+∞)内有极小值.答案B11.若函数f(x)=x33x1对于区间[3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.20 B.18 C.3 D.0解析f'(x)=3x23=3(x1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1,所以1,1为函数f(x)的极值点.又f(3)=19,f(1)=1,f(1)=3,f(2)=1,所以在区间[3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=19.由题设,知在区间[3,2]上,f(x)maxf(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.故选A.答案A12.定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是()A.(0,e] B.(0,e)C.0,1e解析因为f'(x)=1+1x,故设f(x)=x+lnx+C因为f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)令g(x)=lnxx,则g'(x)=当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)内为增函数;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)内为减函数;故g(x)max=g(e)=1e,所以0<a≤1e,故选答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a为正实数,若函数f(x)=x33ax2+2a2的极小值为0,则a的值为.

解析由已知得f'(x)=3x26ax=3x(x2a),又a>0,所以由f'(x)>0,得x<0或x>2a,由f'(x)<0,得0<x<2a,所以f(x)在x=2a处取得极小值0,即f(x)极小值=f(2a)=(2a)33a(2a)2+2a2=4a3+2a2=0,又a>0,解得a=12答案114.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则f'(-3)f解析f'(x)=3ax2+2bx+c,结合图象可得x=1,2为导函数的零点,即f'(1)=f'(2)=0,故3解得a故f'(-3)答案515.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数y1=17x2,生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数y2=2x3x2,已知x>0,为使利润最大,应生产千台.

解析由题意,利润y=y1y2=17x2(2x3x2)=18x22x3(x>0).y'=36x6x2,由y'=36x6x2=6x(6x)=0,解得x=6或x=0(舍去),当x∈(0,6)时,y'>0,当x∈(6,+∞)时,y'<0.所以函数在(0,6)内为增函数,在(6,+∞)内为减函数.则当x=6时,y有最大值,即生产6千台时,利润最大.答案616.设函数f(x)=2lnx12mx2nx,若x=2是f(x)的极大值点,则m的取值范围为.解析函数定义域为(0,+∞).f'(x)=2xmxn,依题意有f'(2)=12mn=0,即n=12m于是f'(x)=2xmx+2m=(x若m≥0,显然x=2是f(x)的极大值点,满足题意;若m<0,则应有1m>解得m>12综上,m的取值范围为-1答案-三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x32x2+ax1,且f'(1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲线f(x)在x=1处的切线方程.解(1)因为f(x)=x32x2+ax1,所以f'(x)=3x24x+a.因为f'(1)=1,所以3×124×1+a=1,解得a=2.故f(x)=x32x2+2x1.(2)由(1)知f'(x)=3x24x+2,所以曲线f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=9,又f(1)=6,因此切线方程为y+6=9(x+1),即9xy+3=0.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=exx2ax的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)若函数g(x)=f'(x)-1x,求g(x)在(0,解(1)因为f'(x)=ex2xa,所以f'(0)=1a.于是由题知1a=2,解得a=1.因此f(x)=exx2+x,f(0)=1,于是1=2×0+b,解得b=1.(2)由(1)得g(x)=f'(所以g'(x)=ex(x-1)x2,令g'当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下:x(0,1)1(1,+∞)g'(x)0+g(x)单调递减↘极小值单调递增↗所以g(x)在x=1取得极小值g(1)=e2,无极大值.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2x+c.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)有三个零点,求实数c的取值范围.解(1)因为f(x)=x3+x2x+c,故f'(x)=3x2+2x1,由f'(x)>0,得x<1或x>13所以函数f(x)的单调递增区间为(∞,1)和13,+∞;(2)由(1)知,f(x)在x=1处取得极大值1+c,在x=13处取得极小值527因为函数f(x)有三个零点,所以1+c>0,-所以实数c的取值范围为1,527.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a+lnxx在点(1,f(1))处的切线与(1)求实数a的值及f(x)的极值;(2)如果对任意x1,x2∈[e2,+∞),有|f(x1)f(x2)|≥k1x1-1x解(1)f'(x)=1x∵f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,∴f'(1)=1-a-ln11∴f(x)=1+lnxx(x>0),f'(x)=当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,故f(x)在x=1处取得极大值1,无极小值.(2)由(1)的结论知,f(x)在[e2,+∞)内单调递减,不妨设x1>x2≥e2,则|f(x1)f(x2)|≥k1x1-1x2等价于f(x1)f(x∴f(x2)kx2≥f(x1)kx1,即函数F(x)=f(x)kx在[e2,又F(x)=f(x)kx∴F'(x)=k-lnxx2≤0在[e2,∴k≤lnx在[e2,+∞)内恒成立,令y=lnx,当x=e2时,y取最小值,即lne2=2,故k的取值范围为(∞,2].21.(本小题满分12分)如图,从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形,并将截得的两块矩形铁皮分别以AB,A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱(无底面,连接部分材料损失忽略不计).记这两个圆柱的体积之和为V.(1)将V表示成x的函数关系,并写出x的取值范围;(2)求两个圆柱体积之和V的最大值.解(1)设半圆形铁皮的半径为r,自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1,r2.因为半圆形铁皮的面积为15π,所以12πr2=15π,即r2=30因为2πr1=2r2-x2,所以r同理2πr2=2r2-(2x)2,所以卷成的两个圆柱的体积之和V=f(x)=(πr12+πr22)·x=1π(60x因为0<2x<r=30,所以x的取值范围是0,(2)由f(x)=1π(60x5x3),得f'(x)=1π(6015x令f'(x)=0,因为x∈0,302,故当x∈(0,2)时,f'(x)>0;当x∈2,302时,f'(x所以f(x)在(0,2)内为增函数,在2,30所以当x=2时,f(x)取得极大值,也是最大值.因此f(x)的最大值为f(2)=80π故两个圆柱体积之和V的最大值为80π22.(本小题满分12分)已知实数a≠0,设函数f(x)=alnx+1+x,x>0(1)当a=34时,求函数f(x)的单调区间(2)对任意x∈1e2,+∞均有f(x)≤x2a,求a解(1)当a=34时,f(x)=34lnx+1+x,f'(x)=3=(1+所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).(2)由f(1)≤12a,得0<a≤当0<a≤24时,f(x)≤x2a等价于xa2令t=1a,则t≥22设g(t)=t2x2t1+x2lnx,t≥22,g(t)=xt1+1x21+xx2ln①当x∈17,+∞时,1+1x≤22则g(t)≥g(22)=8x421+x2ln记p(x)=4x221+xlnx,x≥1p'(x)=2=2=(x故x117,11(1,+∞)p'(x