第二章光纤传输理论及基本特性

2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析●射线分析方法侧重于研究入射光线满足什么条件才能在光纤中传播、几何程长和反射次数等问题；●模式分析理论重点讨论光波场在光纤横截面上的波型、光强分布以及光功率特性等问题。●在模式分析理论中，假设：(1)入射光的强度较弱，即不考虑大光强引起的光纤材料非线性效应；(2)光纤材料是各向同性的；(3)光纤中不存在电流和自由电荷。●分析方法:从麦克斯韦电磁方程和物质关联方程入手，考虑光纤的边界条件，并假定电磁场作简谐振荡，导出亥姆霍兹方程，进而进行标量近似分析和矢量精确分析。矢量亥姆霍兹方程(1)精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析1.标量近似分析标量近似:

严格讲，在圆柱坐标系中，只有EZ

和HZ

分量满足亥姆霍兹方程。在标量近似中，假设横向分量Et(Ht)的振幅满足亥姆霍兹方程，即标量亥姆霍兹方程。也就意味着:(1)横向分量分布彼此相同，(2)相对关系到处不变，(3)偏振方向处处相同。弱导近似：假设光纤的相对折射率差△很小，光线入射角φ很小，即入射光线近似与光轴平行。电磁场在光纤中的纵向分量Ez

和Hz极其微弱，而横向场分量Et

和Ht极强，且横向分量的极化方向在传输过程中基本不变。精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析A.标量近似解的形式设阶跃光纤中传播一平面电磁波，传播方向与光纤轴线(即Z轴)的夹角为θZ，记为在圆柱坐标系下，标量亥姆霍兹方程可表示为如下形式(2)(3)精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析A.标量近似解的形式假设是变量可分离的，即将式(4)带入式(3)，可得(4)(5b)(5a)精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析A.标量近似解的形式A.1沿着圆周方向解的形式解为：(5b)(6)精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析A.2沿着半径方向解的形式在纤芯区r≤a，折射率为n1，对导模应有在纤芯区，横向光场具有贝塞尔函数形式(7)(8)u称为纤芯径向归一化相位常数贝塞尔函数曲线精密仪器与光电子工程学院在包层中r>a

，折射率为n2，对导模应有在包层中，横向光场具有变质贝塞尔函数

(修正的汉克尔函数)形式A.2沿着半径方向解的形式2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析(10)(9)w称为包层径向归一化衰减系数汉克尔函数曲线精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析A.3标量近似解的完整形式综上所述，光纤中电磁波的标量近似解完整形式可表示为：(11)(12)精密仪器与光电子工程学院B.特征方程(色散方程)导出特征方程的目的：在给定光纤结构参数(n1，n2，a)和工作波长λ的条件下，求解传播常数u，w，β，

继而讨论光波导截止条件和波型等。2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析方法：根据光纤纤芯包层处(r=a)的边界条件，即横向场幅度本身和沿边界法向上变化率的连续性以及贝塞尔函数的性质，导出特征方程。(13)精密仪器与光电子工程学院C.截止、远离截止和传输模

C.1截止从物理意义讲，当光纤中出现辐射模时，表明该模式的光波场从纤芯辐射到包层中去，在纤芯中没有该模式的光波场；从几何光学来看该模式的光线不满足全反射条件，就称该模式截止。2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析因此w=

0表示截止的临界条件，从几何光学的观点看，截止的临界状态即为入射光波的入射角恰好等于全反射临界角。从数学表达式分析，对于包层光波场：当w>0时，将很快衰减到零(渐逝场），即纤芯中的光波场基本不辐射到包层中去；而当w<0时，不衰减，即纤芯中的光波场全部辐射到包层中去了。精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.1截止根据w=0的临界条件和特征方程(13)，可以求出临界截止时u满足的方程。对于每一个m值，当u等于方程(14)的某个根um-1，n时，导波将截止。换句话说，只有当u大于um-1，n时，纤芯中才会出现该模式的导波。(14)精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.2远离截止从物理上讲，如果纤芯中的光波场不辐射到包层中去，或者说包层中不存在该模式的光波场时，称该模式远离截止。从几何光学讲，远离截止意味着入射光线与光轴夹角趋于0。从数学上讲，当，，因此，是远离截止时的数学条件。精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.2远离截止根据远离截止时的条件和特征方程(13)，可以得到远离截止时的u满足的方程。即对于每个m值，当u等于方程(15)对应的某个根um，n时，导波远离截止。(15)精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.3线极化波LPmn

(LinearlyPolarized)对于每个给定的m，选择u大于方程(14)的第n个根，且小于等于方程(15)对应的第n个根，即对应一个线极化波。用LPmn表示。精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.4线极化波LPmn中(m,n)的含义

LPmn的下角标(m,n)具有明确的物理意义，它们反映了该模式的电磁场在光纤横截面上的分布规律。(1)m的物理意义m表征在纤芯圆周方向上，电磁场出现最大值的对数。精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模(2)n的物理意义n表征在纤芯半径方向上，电磁场出现最大值的次数。从n的物理意义可知u的物理意义：u反映了纤芯区驻波场的横向振荡频率。贝塞尔函数曲线精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.4线极化波LPmn例题[例1]对于LP01

模，求其远离截止条件下的场型，即场变化规律。解:m=0，n=1，u=2.40483。(1)由于m=0，光场沿圆周变化:Φ(φ)=cos(0φ)=1，说明当φ由0变化到2π时，光场沿圆周无变化。(2)光场沿r的变化规律：按0阶贝塞尔函数变化，即r=0,R(r)=1；

r=a,R(r)=0.在r从0到a的变化过程中，R(r)单调递减。其变化曲线如右图所示。LP01模场沿半径的变化精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模(3)LP01模的光强分布图精密仪器与光电子工程学院C.截止、远离截止和传输模[例2]对于LP02

模，求其远离截止条件下的场型，即场变化规律。解:m=0，n=2，u=5.520。(1)由于m=0，光场沿圆周变化:Φ(φ)=cos(0φ)=1，说明当φ由0变化到2π时，光场沿圆周无变化。(2)光场沿r的变化规律：按0阶贝塞尔函数变化，即

r=0,R(r)=1；

r=0.4357a,R(r)=0;

r=a，R(r)=0.说明在r∈(0.4357a，a),R(r)还有一个非零最大值。n=2时，变化曲线如右图所示.2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析LP02模场沿半径的变化精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模(3)LP02模的光强分布图精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

[例3]

LP11模的光强分布图精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

[例4]

LP21模的光强分布图精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析标量近似分析的一般过程如何？u,w是如何定义的，公式？导出特征方程的目的是什么？截止的物理意义是什么？截止的数学条件是什么？远离截止的物理意义是什么？远离截止的数学条件是什么？线极化波LPmn的概念？(m,n)的物理意义，光强分布图？精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.5归一化频率v

又称为光纤结构参数。它与光纤的结构参数(芯径半径a，纤芯折射率n1，包层折射率n2)及自由空间波数量k0(工作波长λ）有关。u的取值除了满足特征方程(14)、(15)之外，还必须满足下式(16)(17)精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析[例题]一阶跃折射率光纤，n1=1.50，相对折射率差△=0.002，芯径2a=12μm，当工作波长λ分别为1.55μm，1.30μm，0.85μm，0.6328μm时，求光纤中能传输哪些模式？[解](1)当λ=1.55μm时，v=2.307，可传输的模式包括LP01模。(2)当λ=1.30μm时，v=2.75，可传输的模式包括LP01，LP11模。(3)当λ=0.85μm时，v=4.207，可传输的模式包括LP01，LP02，LP11，LP21模。(4)当λ=0.6328μm时，v=5.652，可传输的模式包括LP01，

LP02，LP11，LP12，LP21模。精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析C.截止、远离截止和传输模

C.5归一化频率υ(1)当v<2.4048时，在光纤中只存在一种模式，即LP01模。此时称光纤为单模光纤。(2)LP01截止时，u01＝0。说明对于任何波长(频率)

都可以传输，因此LP01模称为光纤的基模。精密仪器与光电子工程学院2.3.2阶跃折射率光纤的模式分析D.标量近似分析小结[例题]一阶跃折射率光纤，n1=1.468，相对折射率差△=0.002，芯径2a=12μm，工作波长λ=0.85μm，试对其进行标量近似分析。(1)根据式(16)计算给定光纤的归一化频率υ；(2)对于正整数m，根据特征方程(14)、(15)计算允许的u，同时满足式(17)；(3)根据式(16)计算w；