黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级（上）月考数学试卷 （含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学

试卷（9月份）（五四学制）

考试注意事项：

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以

任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答（作图可使用铅笔），不准用规定以外的笔

答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。

4,考试开始信号发出后,考生方可开始作答。

一、选择题（每小题3分，共计30分）

I.下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（）

A.a^+bx+c—QB.lx2--—=4

x

C.2x2-3xy+4=0D.x2=l

2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.3B.-3C.-1D.1

4.抛物线y=-(x-2)2+3的顶点坐标是()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

5.如图,△ABC中,5c=70°,ZB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB'

C',且C'在边BC上，则NB'C8的度数为（)

B1.

BCC

A.30°B.40°C.46°D.60°

6.下列关于x的一元二次方程有实数根的是()

A.『+1=0B./+工+1=0C.X2-x+1==0D.x2-x-I=0

7.将二次函数尸2x2-8x-1化成y=〃(X-/?)2+4的形式，结果为()

A.y=2(x-2)2-1B.y=2(x-4)2+32

C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x-4)2-33

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数丫=以2+。的图象大致为(

9.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率都为x,

那么x满足的方程是()

A.100(1+x)2=81B.100(1-x)2=81

C.100(1-x%)2=81D.100x2=81

10.二次函数y=ax2+/)x+c(〃#0)的图象如图所示，其对称轴为x=l.下列结论中：①a

>0；②2a+b=0；③扶-4ac>0；@a-b+c>0；(§)a+b>am2+bm.上述结论正确的有(

A.2B.3C.4D.5

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.方程(x-2)(x+3)=0的解是

12.如果将抛物线y=d-3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物

线解析式是.

13.若关于x的方程ar2-4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值

是.

14.已知2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根，则该方程的另一个根

是.

15.如图所示，边长为2的正三角形AB。的边。8在x轴上，将AAB。绕原点。逆时针旋

转30°得到三角形。4道|,则点&的坐标为.

16.一个等腰三角形的两条不相等的边长分别是方程？-7x+12=0的两根，则该等腰三角

形的周长是.

17.如图，点4,8的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)?+〃的顶点在

线段AB上运动，与x轴交于C、。两点(C在。的左侧)，点C的横坐标最小值为-3,

则点。的横坐标最大值为一

n,

crw

18.如图，一段抛物线：y=-x(x-3)(0WxW3),记为Ci，它与x轴交于点0,Ai；

将Ci绕点Ai旋转180°得C2,交X轴于点42；

将C2绕点心旋转180°得C3,交X轴于点A3；

如此进行下去，直至得Cm若尸(37,m)在第13段抛物线C13上，则而=

三、解答题（19〜24题每题6分，25〜27题每题10分，共66分）

19.（6分）解方程:

(1)/-6x+8=0；

(2)8x+l=0.

20.（6分）图①是电子屏幕的局部示意图，4义4网格的每个小正方形边长均为1,每个小

正方形顶点叫做格点，点力，B,C,。在格点上，光点尸从4。的中点出发，按图②的

程序移动

（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径;

（2）在图①中，所画图形是图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画

图形的周长是（结果保留TT）.

B

图①

21.（6分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：，"）与水平距离x（单位：，〃）

.求他将铅球推出的水平距离和最大高度.

22.（6分）如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得

到△AOC,连接OD

(1)求证：△CO。是等边三角形；

(2)当/AOC=105°,NBOC=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由.

23.(6分)如图，抛物线经过点A、B、C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若抛物线和x轴的另一个交点为。求△ODC的面积.

24.(6分)已知关于x的二次函数y=/nr2-(,〃+2)x+2施W2).

(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；

(2)若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数机的值.

25.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后

来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.

(1)求商场经营该商品原来一天可获利润元.

(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？

26.已知：△A8C和均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,DC

=EC,连接BO,取力E、BD、A8的中点分别为G、F、H,连接尸G、GH、HF.

(1)当点。在AC边上，点E在BC边上时，如图1,判断△FGH的形状为；

(2)把图1中△£)口绕点C在平面内旋转得到图2,判断△FG”的形状是否改变？请

说明理由；

(3)把△OCE绕点C在平面内任意旋转，若AC=10,OC=6,求线段G”的最大值与

27.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c(a#0)与x轴相交于A、B两点,

与y轴交于点C,点A的坐标为(-3,0),点8的坐标为(1,0).

备用图

(1)求此抛物线的解析式；

(2)点P在直线AC下方的抛物线上，连接月4、PC,设点P的横坐标为r,△PAC的

面积为s,求s与/的函数关系式并写出自变量f的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点尸作y轴的平行线与AC相交于点Q,当线段尸。的长度最

大时，求s的值.

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市阿城区九年级（上）月考数学

试卷（9月份）（五四学制）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.下面关于x的方程中，是一元二次方程的是（）

A.ar2+/?x+c=0B.2x2=4

x

C.2/-3与44=0D.~=1

解：A、ax2+bx+c—0rf1,a=0时，不是一元二次方程，故本选项错误;

8、分母中含有字母，不是一元二次方程，故本选项错误；

C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；

。、符合一元二次方程的定义，故本选项错误.

故选：D.

2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

解：4不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故8选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故。选项错误.

故选：C.

3.已知点A（1,a）、点、B（b,2）关于原点对称，则的值为（）

A.3B.-3C.-1D.1

解：：点A（1,a）、点B（b,2）关于原点对称,

.•.a=-2,b--1,

/•ci^'b=-3.

故选：B.

4.抛物线y=-(x-2)2+3的顶点坐标是()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(2,一3)D.(-2,-3)

解：・・,抛物线的解析式为：y=-£-2)2+3,

・・・其顶点坐标为(2,3).

故选：B.

5.如图，/XABC中，ZC=70°,ZB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△A)

U,且C'在边BC上，则N*C8的度数为()

解：•・•根据题意得：AC=AC,ZACfB'=ZC=70°,

AZAC1C=ZC=70°,

ZAC15=180。-NAC'C=110°,

：.ZB'C8=NAC'B-ZAC7B'=40°.

故选：B.

6.下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）

A.?+1=0B.x2+x+l=0C.x2-x+l=0D.x2-x-1=0

解：4、这里。=1,b=。,c=L

,:A=b2-4〃c=-4<0,

，方程没有实数根，本选项不合题意；

B、这里〃=1,b=l,c=l,

△=b2-4ac=1-4=-3<0,

・・・方程没有实数根，本选项不合题意；

C、这里。=1,b=-1,c=l,

・.・△=层_4ac=j_4=-3<0,

...方程没有实数根，本选项不合题意:

。、这里”=1,b=-1,c=-\,

A=b2-4ac=1+4=5>0,

，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；

故选：D.

7.将二次函数y=2x2-8x-1化成y=a(x-h)2+%的形式，结果为()

A.y=2(x-2)2-1B.y=2(x-4)2+32

C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x-4)2-33

解:y=2x2-Sx-1,

—2(x2-4x+4)-8-1,

=2(x-2)2-9,

BPy=2(x-2)2-9.

故选：C.

8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ox2+c的图象大致为(

解：：一次函数和二次函数都经过)，轴上的(0,c),

两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；

当。＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；

当。＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故4选项错误；

故选：D.

9.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.己知两次降价的百分率都为x,

那么x满足的方程是()

A.100Q+x)2=81B.100(1-x)2=81

C.100(1-x%)2=81D.1001-2=81

解：设两次降价的百分率均是X，由题意得:

X满足方程为100(1-x)2=81.

故选：B.

10.二次函数y=〃x2+bx+c(〃W0)的图象如图所示，其对称轴为x=l.下列结论中：①ac

>0；②2a+b=0；③尻-4ac>0；@a-b+c>0；(§)a+b>am2+hm.上述结论正确的有()

A.2B.3C.4D.5

解：・・•抛物线开口向下，

A«<0,

・・,抛物线与y轴交点位于y轴正半轴，

：.c>0,

V抛物线的对称轴为直线X=-£=1,

2a

:.b=-2。>0,B|J2。+力=0,

：.ac<0,所以①错误；②正确；

・・,抛物线与x轴有两个不同的交点，

A/?2-4ac>0,所以③正确；

Vx=-1时，y<0,

：.a-h+c=<09所以④错误，⑤・・,抛物线开口向下，

，当x=l时，y有最大值，

a+h+canfi+hm+c(团为一切实数)，

故⑤错误；故选：A.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.方程(x-2)(x+3)=0的解是勺=2,x2=-3.

解：(x-2)(x+3)=0,

可得x-2=0或x+3=0,

解得：xi=2,X2=-3.

故答案为：xi=2,12=-3

12.如果将抛物线y=7-3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物

线解析式是y=(x+2)2+1.

解：依题意,得尸(x+2)2-3+4=(x+2)2+1,

故答案为：y=(x+2)2+1.

13.若关于x的方程加-4x+3=0有两个相等的实数根，则常数〃的值是4•

解：根据题意得△=(-4)2-4aX3=0,

解得

故答案为

14.已知2是关于x的一元二次方程》+4x-p=0的一个根,则该方程的另一个根是-6.

解：：2是关于x的一元二次方程『+4x-p=0的一个根，

2+x\--4,

,'.x]=-6,

该方程的另一个根是-6.

15.如图所示，边长为2的正三角形A3。的边0B在x轴上，将AABO绕原点。逆时针旋

转30°得到三角形。AiB],则点Ai的坐标为_(^,-1).

解：如图，设与x轴相交于C,

「△ABO是等边三角形，旋转角为30°,

ZAIOC=60°-30°=30°,

.•.Ai8i_Lx轴,

•.•等边△ABO的边长为2,

.•.OC=2^X2=F，

AiC=^-X2=l,

又「Ai在第四象限，

...点4的坐标为(-1).

16.一个等腰三角形的两条不相等的边长分别是方程/-7x+12=0的两根，则该等腰三角

形的周长是10或11.

解：x2-7x+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

x-3=0,x-4=0,

xi=3,12=4,

①等腰三角形的三边是3,3,4,符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长是3+3+4

=10；

②等腰三角形的三边是3,4,4,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+4+4

=11;

即等腰三角形的周长是10或11.

故答案为10或II.

17.如图，点4,8的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+〃的顶点在

线段A8上运动，与x轴交于C、£＞两点(C在。的左侧)，点C的横坐标最小值为-3,

解：当点C横坐标为-3时，抛物线顶点为A(1,4),对称轴为x=l,此时。点横坐

标为5,则8=8；

当抛物线顶点为B(4,4)时，抛物线对称轴为x=4,故C(0,0),。(8,0)；

由于此时。点横坐标最大，

故点D的横坐标最大值为8；

故答案为：8.

18.如图，一段抛物线：y=-x(%-3)(0WxW3),记为Ci，它与x轴交于点。，Ai；

将Ci绕点从旋转180°得C2，交x轴于点上；

将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点小；

如此进行下去，直至得G3.若尸(37,m)在第13段抛物线C13上，则，〃=2.

解：：一段抛物线：y--x(x-3)(0WxW3),

二图象与x轴交点坐标为：(0,0),(3,0),

•.,将Ci绕点4旋转180°得C2,交x轴于点A；

将C2绕点心旋转180°得C3,交x轴于点A3；

如此进行下去，直至得C|3.

.\Ci3与x轴的交点坐标为(36,0),(39,0),且图象在x轴上方,

.♦.C13的解析式为：＞13=-(x-36)(x-39),

当x=37时，)，=-(37-36)X(37-39)=2.

故答案为：2.

三、解答题(19〜24题每题6分，25〜27题每题10分，共66分)

19.(6分)解方程:

(1)N-6X+8=0；

(2)J^-SX+^O.

解：⑴N-6%+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

・,・工-2=0或犬-4=0,

•・X]=2,&=4；

(2)x2-8x=1,

x2-8x+42=-1+16

Cx-4)2=15,

x-4=±V15-

/.Xj=4+\/15,x2=4^/15.

20.(6分)图①是电子屏幕的局部示意图，4X4网格的每个小正方形边长均为1,每个小

正方形顶点叫做格点，点A,B,C,。在格点上，光点P从AO的中点出发，按图②的

程序移动

(1)请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；

(2)在图①中，所画图形是轴对称图形(填“轴对称”或“中心对称”)，所画

图形的周长是4n(结果保留IT).

(2)所画图形是轴对称图形；

旋转的度数之和为270°+90°X2+270°=720°,

所画图形的周长=巡乎工=垢.

180

故答案为：4n.

21.（6分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：加）与水平距离x（单位：m）

.求他将铅球推出的水平距离和最大高度.

IR

--(X2-8X+16-16)+—=

123

164

----(x-8元+16)H—।—

1233

——(x-4)2+3,

12

・•・他将铅球推出的最大高度为3m.

:焉*2卷x卷=0，

解得xi=-2（舍）及=1。

他将铅球推出的水平距离为10w.

22.（6分）如图，点。是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得

到△ADC,连接OD

（1）求证：△C。。是等边三角形；

（2）当/AOC=105°,ZBOC=150°时，试判断△A。力的形状，并说明理由.

【解答】（1）证明：•••△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ACC

：./\BOC^/\ADC,

:.OC=DC,

：/08=60°,

...△C。。是等边三角形；

(2)解：△AOO是等腰直角三角形，理由如下：

•.,△(70力是等边三角形/。0。=/0力©=60°,

'：/\BOC^/\ADC,

...NAQC=/BOC=150°,

：.ZADO=ZADC-ZODC=150°-60°=90°

'：ZAOD=ZAOC-ZCOD=105°-60°=45°,

：.ZOAD=45Q,

：.ZOAD^ZAOD,

：.OD=AD,

...△AOO是等腰直角三角形.

23.(6分)如图，抛物线经过点A、B、C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若抛物线和x轴的另一个交点为£>,求△OOC的面积.

解：(1)设抛物线的解析式为>=〃(x-1)2-4,

把A(-1,0)代入得a*(-1-1)2-4—0,解得a—I,

所以抛物线的解析式为丫=(x-1)2-4；

(2)因为抛物线的对称轴为直线x=l,

则点A(-1,0)关于直线x=l的对称点。的坐标为(3,0),

所以△OOC的面积=工*3乂4=6.

2

24.(6分)已知关于x的二次函数),=»1招-(m+2)x+2(m#0,，"W2).

(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；

(2)若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数，〃的值.

【解答】(1)证明：•.加片0,

(/n+2)2-4mX2

=»?2+4〃?+4-8m

=(1/1-2)2.

；机#0,m^2,

：.On-2)2>0.

△>0,

.♦•此抛物线与x轴总有两个交点；

(2)解：令>=0,则(x-1)(mx-2)=0,

所以x-1=0或,HX-2=0,

解得X1=1,X2——1

m

当〃，为正整数1时，X2为整数，即抛物线与X轴总有两个交点的横坐标都是整数，

所以正整数机的值为1.

25.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后

来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.

(1)求商场经营该商品原来一天可获利润20利元.

(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？

解：(1)(100-80)X100=2000(元)；

故答案为：2000.

(2)①依题意得：

(100-80-x)(100+lOx)=2160

BPx2-10x+16=0

解得：x\=2,&=8

经检验：R=2,切=8都是方程的解，且符合题意.

答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.

②依题意得：y—(100-80-x)(100+lOx),

；.y=-10X2+I00X+2000=-10(x-5)2+2250,

V-10<0,

...当x=5时，商店所获利润最大.

26.己知：△ABC和均为等腰直角三角形，/AC8=/£>CE=90°,AC^BC,DC

=EC,连接BD,取QE、BD、AB的中点分别为G、F、H,连接FG、GH、HF.

(1)当点。在AC边上，点E在BC边上时，如图1,判断△FGH的形状为等腰直

角三角形；

(2)把图I中△OCE绕点C在平面内旋转得到图2,判断△尸G”的形状是否改变？请

说明理由；

(3)把△OCE绕点C在平面内任意旋转，若AC=10,DC=6,求线段GH的最大值与

解：（1）VG,F是DE、BO的中点,

C.GF//BC,GF=—BE

2f

:・NDFG=NCBD,

TH是AB的中点，

：.FH//AD,FH=—AD

2f

:./DFH=/CDB,

VAC=BC,CD=CE,

：.AD=BEt

:・GF=HF,

ZCDB+ZCBD=90°,

：.ZGFH=90°,

△GFH是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

(2)的形状不改变，理由如下：

连接A。、BE,

"：ZACD=90°-/BCD,NBCE=90°-ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

'：AC=BC,CD=CE,

：./\CAD^/\CBE(SAS),

：.AD=BE,NCAD=NCBE,

•；DE、BD、AB的中点分别为G、F、H,

・・・FH卷AD，FH//AD,FG蒋BE，FG//BE,

：.FH=FG1

延长AO交FG于点N,交3C于点交BE于点Q,

：.ZAMC=/BMQ,

・・・NAMC+NC4£>=90°,

：.ZBMQ+ZCBE=90°,

AZAQB=90°,

,:FG〃BE,

：.ZANF=ZAQB=90°,

9：FH//AD,

・・.NANF+NG/77=180°,

AZGFW=90°,

•••△FGH是等腰直角三角形，形状不改变；

(3)由(2)可知△FG”是等腰直角三角形，

由勾股定理可得GH二&HF，HF=yAD，

：•GH二*AD.

在△AOC中，AC-CD<AD<AC+CD,

当点。在AC边上时，AC-CQ=4Q；

当点。在AC延长线上时，AC+CD=AD；