2023年高考数学解析几何模型练习 圆锥曲线中的探索性问题（解析版）

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的探

索性问题（解析版）圆锥曲线中的探索性问题

“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相

应方程有解，则探索的元素存在（或命题成立），否则不存在（或不成立）.

考法1点、线的存在性问题

【例1】（2022•长沙一中模拟预测）已知椭圆C9χ2+V=wj2（"i>0）,直线/不过原点O且不平行于坐标轴,

/与C有两个交点N,B,线段NB的中点为

（1）证明：直线OW的斜率与/的斜率的乘积为定值；

,机）,延长线段OM与C交于点P,四边形OZPB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜

率；若不能，说明理由.

【解题技法】存在性问题的求解方法

（1）解决存在性问题通常采用“肯定项推法“，将不确定性问题明朗化。一般步骤：

①假设满足条件的曲线（或直线、点等）存在，用待定系数法设出；

2列出关于待定系数的方程（组）；

③若方程（组）有实数解，则曲线（或直线、点等）存在，否则不存在。

（2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法

【跟踪训练】

【例3】（2022•深圳二模）已知圆C:（x-l>+y2=；,一动圆与直线χ=-；相切且与圆C外切.

（I）求动圆圆心尸的轨迹7的方程;

(∏)若经过定点。(6,0)的直线/与曲线7相交于4、B两点,〃是线段48的中点，过M作X轴的平行线

与曲线7相交于点N,试问是否存在直线/,使得NALNB,若存在，求出直线/的方程，若不存在，说明

理由.

考法2含参数的存在性问题

【例2】(2022•南京外国语学校模拟预测)如图，椭圆U∣τ+J=l(α>b>0)经过点P(L∣),离心率e=；,

直线/的方程为χ=4

(1)求椭圆C的方程；

(2)/8是经过右焦点尸的任一弦(不经过点尸)，设直线N8与直线/相交于点M,记P4,PB,PM的斜

率分别为勺，k2,A3.问：是否存在常数2,使得勺+/=2网?若存在，求2的值；若不存在，说明理由.

⑵先设出直线AB的方程为y=AU-D一联立椭圆的方程一关于X的一元二次方程一设A(xl,yl),B(x2,

%)τx+x2=岑_,X而="T一点"的坐标一求勺，&一尢+k,=4&一求得参数的值：

-4公+3'4卜+3

【解题技法】字母参数值存在性问题的求解方法

求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结

合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参

数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说

明理由的过程

【跟踪训练】

(2022•天津市第四中学模拟预测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到耳(-√J,0),居(百,0)两

点的距离之和为4.

(I)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；

(2)已知直线=百)%>0)与圆尸：(X-百>+/=；交于A/、N两点，与曲线C交于p、。两点，

其中M、P在第一象限M为原点。到直线/的距离，是否存在实数A,使得T=(INaT则)./取得最大值,

若存在，求出心不存在，说明理由.

1.(2023・安徽安庆•校考一模)在直角坐标平面中，"8C的两个顶点的坐标分别为

A-2y-a,0,B伍>0),两动点AAN满足总+丽+研=。,|祝仁J7∣而I=J7∣丽向量丽与

方共线.

(1)求“8C的顶点C的轨迹方程；

(2)若过点P(0,α)的直线与(1)的轨迹相交于区尸两点，求而•丽的取值范围.

(3)若6(-4,0),〃(2°,0),0为。点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数〃2>0),使得

NQHGjQGH恒成立?若存在，求出力的值；若不存在，请说明理由.

丫2,,2

2.(2023・湖南邵阳•统考二模)已知双曲线C:点-==l(O<a。OMO)的右顶点为A,左焦点尸(-c,θ)到其

渐近线版+αy=0的距离为2,斜率为;的直线4交双曲线C于4B两点,且MM=8叵.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点T(6,0)的直线4与双曲线C交于P,0两点，直线4P,分别与直线x=6相交于M,N两点，

试问：以线段儿/N为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

3.(2023•江西赣州•统考一模)已知抛物线U∕=2px(p>0),F为其焦点，点M(2,%)在C上，且SwAy=4

(O为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)若48是C上异于点O的两个动点，当/408=90°时，过点O作C于，问平面内是否存在一个定

点。，使得INQl为定值？若存在，请求出定点。及该定值：若不存在，请说明理由.

22

4.(2023・福建厦门•统考二模)己知椭圆C：+(a>⅛>0)的离心率为:，左、右焦点分别为B,

a2b22

F2,过勺的直线/交C丁4.8两点.当/J_x轴时，A483的面积为3.

(1)求C的方程；

(2)是否存在定圆E,使其与以48为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在,

请说明理由.

χ2.y2

5.(2023•山西临汾•统考一模)已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆C:7+F=l(α>6>0),C与矩形

的四边都相切且焦距为2c,.

3

①d"c为等差数列；②a+l,c,gb为等比数歹U.

O

(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程;

(2)(1)中所求C的左、右焦点分别为耳,心，过耳作直线与椭圆C交于P,。两点，A为椭圆的右顶点，直线

月P,/。分别交直线X=-子25于",N两点，求以MN为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说

明理由

2

6.(2023・广东深圳•统考一模)已知双曲线心工r-必=1与直线/：丁=丘-3相交于4B两点，M为线段

4

/8的中点.

(1)当发变化时，求点/的轨迹方程；

(2)若/与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、。两点，问：是否存在实数上使得4、8是线段。的两

个三等分点？若存在，求出％的值；若不存在，说明理由.

7.(2023•湖北•统考模拟预测)已知椭圆兰+片=1的右顶点为4左焦点为R过点尸作斜率不为零的直

95

9

线/交椭圆于N两点，连接4",4N分别交直线工=-］于只。两点，过点/且垂直于MN的直线交直

9

线x=-］于点R.

(1)求证：点火为线段尸。的中点；

(2)记Z∖MPR,4MRN,ANRQ的面积分别为£,S2,53,试探究：是否存在实数/1使得兀5=H+&?若

存在，请求出实数/1的值；若不存在，请说明理由.

8∙(2023∙山东•日照一中校考模拟预测)已知双曲线C：W-《=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳,鸟，斜

a~b~

率为-3的直线/与双曲线C交于48两点，点/(4,-2√Σ)在双曲线C上，且用∙∣"闾=24.

(1)求AME工的面积；

(2)若丽+丽=O(。为坐标原点)，点N(3,l),记直线N4N5'的斜率分别为勺,右，问：左「&是否为定值?

若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

9.(2023・湖南•模拟预测)已知椭圆E：5+E=l(a>6>0)的左、右焦点分别为《玛，上顶点为片，若

ab~

△64月为等边三角形，且点尸［,|)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设椭圆E的左、右顶点分别为4,A2,不过坐标原点的直线/与椭圆E相交于4、B两点(异于椭圆E

的顶点)，直线44、8%与y轴的交点分别为加、N,若IoNl=3∣OM∣,证明：直线过定点，并求该定点的

坐标.

10.(2023・贵州毕节・统考一模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为E,点。(2p,0),过尸的直线交C于

M,N两点.当直线MD垂直于X轴时，|阪|=5.

(1)求C的方程；

(2)在X轴上是否存在一定点。，使得?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

从①点N关于X轴的对称点N'与M,。三点共线；②X轴平分NMQN这两个条件中选一个，补充在题目

中“”处并作答.

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

圆锥曲线中的探索性问题

“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相

应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立).

考法1点、线的存在性问题

【例1】(2022∙长沙一中模拟预测)已知椭圆C9∕+y=加2(zw>0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴,

/与。有两个交点4B,线段ZB的中点为M

(1)证明：直线OW的斜率与/的斜率的乘积为定值；

,加)，延长线段OW与C交于点P,四边形WPB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜

率；若不能，说明理由.

【解析】(1)设直线/:y=kx+b(k≠O,⅛≠0),A(x∖,y∖),B(x2,yι)yM(X时，歹,必).

将y=fcv+6代入9x2+ʃ2=m2,得(⅛2+9)x2+Ikbx+⅛2-m2-0,

Xl+X2-kb9b

故XMyMkxM+h

2⅛2+9⅛2+9,

于是直线OM的斜率koM=应=-2,即koM,k=-9.

XMk

所以直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值.

(2)四边形OAPB能为平行四边形.

因为直线/过点(芯,加)，所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件是fc>O,k≠3.

Q

由(1)得OM的方程为y=--X

k

设点P的横坐标为Xp.

得丑"代？

9x2+y2=加2,即X"苜觊

将点q,M的坐标代入直线/的方程得b=m3~k

mukk-3m

因此.XM=----------

3公+9

四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即XP=IXM.

于是卞^==2χ'~~~,解得h=4-S，⅛2=4+^∖∣7.

3√⅛2+93k2+9

因为左>0,k∣≠3,Z=1,2,

所以当直线/的斜率为4-巾或4+S时，四边形OAPB为平行四边形.

【解题技法】存在性问题的求解方法

(1)解决存在性问题通常采用“肯定项推法“，将不确定性问题明朗化。一般步骤：

①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出；

2列出关于待定系数的方程(组)；

③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在。

(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法

【跟踪训练】

【例3】(2022•深圳二模)已知圆U(x-l>+y2=:,一动圆与直线χ=-；相切且与圆C外切.

(I)求动圆圆心尸的轨迹T的方程；

(∏)若经过定点。(6,0)的直线/与曲线T相交于Z、8两点，M是线段48的中点，过胡作X轴的平行线

与曲线7相交于点N,试问是否存在直线/,使得NALNB,若存在，求出直线/的方程，若不存在，说明

理由.

【解析】(D设Pa,夕)，则由题意，I尸Cl-(X+；)=g,

.∙.√(x-l)2+/=x+l,

化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为炉=4x；

(II)设Z(X],yl),B(X2，歹2).

由题意，设直线/的方程为X=W+6,联立抛物线方程可得丁―4W-24=0,

.∙.yi+y2=，yxy2=-24①，

2

.∙.x1+x2=4∕77+12(2),X1X2=36(3)

假设存在N（X0,J。），使得N4_LM5,则比="；，?=2m④,

.∙.x0=病⑤，

・・•NA∙^NB=O,

/.代入化简可得（加2+6）（3/722-2）=O,

._I^6

.,.IYl=±—,

3

二.存在直线/:x=±坐y+6,使得M4工NB,

考法2含参数的存在性问题

22ɔ1

【例2】（2022•南京外国语学校模拟预测）如图，椭圆U=+4=l（α>b>0）经过点尸（1,；）,离心率e=：,

a^b^22

直线/的方程为x=4

（1）求桶圆C的方程；

（2）是经过右焦点尸的任一弦（不经过点B,设直线/8与直线/相交于点Al,记PB,PAY的斜

率分别为占，k2,内•问：是否存在常数2,使得年+&=2勺？若存在，求几的值；若不存在，说明理由.

（2）先设出直线/8的方程为P=*（，-1）一联立椭圆的方程一关于X的一元二次方程一设/区，M）,B（X2,

J

%）一再+Λ2=我有，芭电=Sl一点M的坐标一求勺，右，自一K+心=7内一求得参数的值:

【解析】⑴椭圆u]∙+g∙=l(o>b>O)经过点P(l,∣),可得J+*=l(α>b>O)①,

I1

由离心率C=不得c上=不，即。=2。，贝∣J∕=3c2②，代入①解得c=l,a=2,b=6

2a2

故椭圆的方程为二十片=1.

43

(2)由题意可设/8的斜率为左，则直线/5的方程为y=Μx-l)③

22

代入椭圆方程Y+《=1并整理得(4*+3)x2-8⅛2X+4⅛2-12=0

设”(x∣,M)，85，%)，

Sk24Γ-12

XjrX-,=~ɔ——④

1-4斤+3­=4⅛2+3

在方程③中，令X=4得，”的坐标为(4,3&),

_333k-2.

从而匕=^Zi，%一2,

k2=

x∣■—14—].U*5

注意到A,F,B共线，则有A=L=L,即有-¾=-¾=%,

X∣—1工2一]

3_3

所以&+e==+3=工+q-3(-U'),

X∣-1X?-]X∣-1W-]2X∣-1X2一1

ʌ,3X+X-2

=2k——×-----5-=-7--------⑤，

2xlx2-(xl+ΛT2)+1

2

8⅛2

④代入⑤得⅛,+⅛=2⅛-∣×-二『3一=21,

2L4K—12(SK.

------------1-1

4r+34⅛2+3

又e="；，所以K+e=2%.

故存在常数2=2符合题意.

【解题技法】字母参数值存在性问题的求解方法

求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结

合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参

数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说

明理由的过程

【跟踪训练】

(2022∙天津市第四中学模拟预测)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，动点G到G(-返,0),名(6,0)两

点的距离之和为4.

(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；

(2)已知直线=百)%>0)与圆尸：(X-百>+/=；交于A/、N两点，与曲线C交于p、。两点，

其中M、P在第一象限M为原点。到直线/的距离，是否存在实数A,使得T=(INaT则)•/取得最大值,

若存在，求出心不存在，说明理由.

【解析】(D由题意知，IG/+∣G用=4,又4>2√L所以，动点G的轨迹是椭圆.

由椭圆的定义可知，C=JLa=2,又因为/一〃=。2所以从=1,

故G的轨迹方程L+∕=ι.

4

(2)由题设可知，M、N一个椭圆外，一个在椭圆内；P、。一个在。鸟内，一个在。鸟外，在直线/上

的四点满足：INQlTMH=(INq+1N用—(|则4]Nmmτ9mPQ」

,y=k(x-W)

消去J得：(1+4⅛2)X2-8√3Λ2X+12F-4=0,△>()恒成立.

设尸(为，必)，。(当，必)，由韦达定理，

8欣12M-4

得玉+马

1+4F1+4公

22

IPq=λ∕(l+⅛)[(x,+x2)-4x,x2]二条3•

所以∣N0∣-∣MP∣=∣PQI-I=艰石，。到/距离，d=-^=,

"阙一M.八盛埼E=益FTT

当且仅当4公=3，即k=±也时等号成立.

k22

验证可知Z=±也满足题意.

2

∙.∙k>0,：.k=包

2

模拟训练

1.(2023・安徽安庆•校考一模)在直角坐标平面中，"8C的两个顶点的坐标分别为

A一争,θ],8«,o伍＞0),两动点“、Μ满足血+砺+砒=。,|而|=近|a|=/7|丽|,向量丽与

7

运共线.

(1)求的顶点C的轨迹方程;

(2)若过点P(0,4)的直线与(1)的轨迹相交于瓦尸两点，求而.历的取值范围.

(3)若G(-α,0),∕∕(24,0),6为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数＞0),使得

NQHG=/INQGH恒成立？若存在，求出/1的值；若不存在，请说明理由.

【分析】⑴设C(XM,由忘+丽+沅=0知M(I■,《)，由阿H网且向量而与翔共线，知N在边

XB的中垂线上，由此能求出“8C的顶点C的轨迹方程；

(2)设E(XQJ、尸(％,必),过点P(0,α)的直线方程为＞=b+α,代入双曲线方程,得

(3-Λ2)√-2a^-4a2=0,再由根的判别式和韦达定理即可求出匠.而的取值范围；

(3)通过由特殊到一般的方法进行求解.

【详解】(1)设C(X/),由必+砺+沅=0知，

二AZ是08C的重心，；.

T福H丽I且向量丽与存共线，∙∙∙N在边48的中垂线上，

A—^y-α,θTα＞θ(。八［0,g)，

又∙.∙I祝卜J7］无不.∙./［必

化简得j/,

3

即所求的轨迹方程是X2-片=”.

3

(2)设E(Xl,凹)、E(X2，%)，过点P(O,α)的直线方程为^=履+。，

代入f_〈=得(3-F)X2_2akx-4a2=0,

2ak-Aa2

•••$+、2=鼠下，石与二获二'

⅛∆=4α⅛2+16<j2(3-⅛2)>0,解得左2<4.

44

.∙.⅛2-3<1,则^~>4或

7k2-37⅛2-3

-4a2(l+A2)

.∙.PE-PF=(x,y∣—tz)∙(x,ʃ—«)=xx+kx∖∙kx=(l+⅛2^xx=

122l2212-3≡P-

则西.方的取值范围是（-8,4/卜（20/,+8）.

（3）设0（x°,为乂x°>0,%>0）,则片-卷=/,即后=3（片-片）.

当0〃_Lx轴时，Xo=20,%=30,.∙.N0G”=?,

即NQ"G=2QG”,故猜想2=2.

当。”不垂直X轴时，tan/QHG=----——JanNQG//=-ɪ5—

'x0-2ax0+a

2k

2tanNQG”

tan2zρσ∕7^‰=-^^=tanZρ∕7G

∖-IanlAQGH(%]x°~2a

Uo+«J

又2/QG〃与N07G同在（0,引U?"内,

2NQGH=NQHG.

故存在λ=2,使2ΛQGH=NQ"G恒成立.

【点睛】轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.

定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义;

（2）设标准方程，求方程中的基本量

（3）求轨迹方程

相关点法：（1）分析题目：与动点M（Xj）相关的点P（X。,％）在己知曲线上;

(2)寻求关系式，4=∕'(χ,y),y0=g(χ,y)∙,

(3)将占,为代入已知曲线方程；

(4)整理关于X,V的关系式得到MM的轨迹方程

,>2

2∙(2023∙湖南邵阳•统考二模)已知双曲线U,-W=l(0<α(lOMO)的右顶点为A,左焦点尸(7)到其

渐近线bx+αy=O的距离为2,斜率为;的直线4交双曲线C于48两点，且MM=8叵.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点7(6,0)的直线6与双曲线C交于P,0两点，直线4P,4。分别与直线x=6相交于M,N两点，

试问：以线段脑V为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解b=2,进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求

解α=3,

(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在X轴上，进而根据垂直关系

得向量的坐标运算，即可求解.

【详解】(1)：双曲线C的左焦点F(-c,O)到双曲线C的一条渐近线法+”=0的距离为d=7⅛L=6,

'cr+Ir

而d=2,b=2.

l/2

・・・双曲线C的方程为A-2=1(0<Q<10).

a14v7

依题意直线4的方程为V=]x-α)∙

f九1

由,a'4消去y整理得：(36-/卜2+2°、一/(/+3@=o,

依题意：36-//0,△>(),点4,8的横坐标分别为猫,4,

则…上等

∙,∙∣Z8∣=，+(；)∖XA-⅞lXΛ-⅞lɪ8s^θ,二k"-χ∕=8.

a(a2+36)

即0------2—77—=8，解得〃=3或”=12(舍去)，且〃=3时，Δ>O,

a-36

二双曲线C的方程为工-匕=1.

94

(2)依题意直线，2的斜率不等于0,设直线，2的方程为X=W+6.

X=my+6,

由[χ2V2消去X整理得：(4/-9)/+48叼+108=0,

---------=1,

194

Λ4W2-9≠0>ʌi>0.

8

设P(XQJ,。伍,%)，则必+%=∙Q'y,y=；？

J4-m['-"924mɪ-9--

直线/P的方程为y=U⅛(χ-3),令>6得：y=M,Λ^(6⅛]∙

同理可得N6,雪.由对称性可知，若以线段&W为直径的圆过定点，则该定点一定在X轴上,

设该定点为H(∕,0),则的=6T,

故丽丽=(6-y+

又、)G/-3%)(迎-3)、

(6—)2+9yM

("3+3)("沙2+3)

=(6-f)2+9乂乂

〃/必%+3"?(%+%)+9

C108

9×—5——

=/6-八,2+_________4〃「-9________

一、21083mx48mC

mX——7------------；------+9

4W2-94M72-9

=(6-Z)2-12=0.

解得f=6-2G或f=6+2√L

故以线段MN为直径的圆过定点(6-2√J,θ)和(6+230).

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算

化简求解就可，对计算能力要求较高.

3.(2023•江西赣州•统考一模)已知抛物线U∕=2px(p>0),尸为其焦点，点/(2,%)在C上，且=4

（0为坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程：

（2）若4,8是C上异于点O的两个动点，当N∕OB=90°时，过点。作于，问平面内是否存在一个定

点。，使得INq为定值？若存在，请求出定点。及该定值：若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数p,即可得方程：

（2）法一：设/（XQl）,8口2,N2），XlX2w°，乂>°，利用408=90°求得%为=-64,讨论/8与X轴是否

垂直，求直线48所过的定点；法二：设直线48的方程为X=W+〃,小玉,必）,8（%/2），联立抛物线及韦

达定理、乙408=90°得必力=-64；最后结合。NJ./8确定N的轨迹，即可确定定点和定值；

【详解】⑴因为点M（2,%）在C上，则呼=4p,而S,叫=；•勺闾=4,所以皿告，

，驾=4p,所以p=4,故该抛物线的方程为/=8χ.

P

（2）法一：设Z（X],弘）,8（%,%）,XIX2≠0，不妨设必>0,

∙.∙∕8OZ=90°,贝（1玉赴+乂必="，及+,必=0，解得%为=-64,

88

①当/8与X轴不垂直时，yl+y2≠0,xl≠x2,

h

此时直线力8的方程为：y=∙匕（X-Λ;）+另,整理得y=8χ+My2

Xl-X2必+为y∣+y2

Q

∙∙∙M%=-64,则48的方程为：夕=不于（》-8）,则直线/8恒过定点M（8,0）

由ON_L/8,即ONj.MW,故N在以OM为直径的圆上，该圆方程为+/=监，

即当。为该圆心（4,0）时，∣N0∣=4为定值；

②当/8工X轴时，M=-%=8,此时Xl=X2=8,而CWi./3,故N（8,0）；

当Q（4,0）时，也满足INoI=4,

综上，平面内存在一个定点0（4,0）,使得|。M为定值4

法二：设直线48的方程为X=WJy+〃,4（XlJj,3（々,%）

（x=∕nv+n,,

联立〈，'=>y2-8my-8n=0,Δ=64w2+32∕?>0,

[y=Sox,

由韦达定理得：yl+y2=^∣n,yl-y2=-Sn,

由NBo4=90",即OA∙OB=XlX2+MJZ2=%+凹％=0,解得乂力=-64,

一'64

即必•%=-8〃=-64=”=8,直线”恒过定点M(8,0),

由0NL/8,即ON工NM,故N在以OM为直径的圆上，该圆方程为(x-4)?+/=房,

即定点。为该圆心(4,0)时,IAQI=4为定值;

【点睛】关键点点睛：第二问，根据ZBo4=90求48纵坐标乘积，并确定直线48过的定点坐标，最后利

用ONL/8判断N的轨迹，即可得结论.

4.(2023•福建厦门•统考二模)已知椭圆C：⅛+⅛=l(a>6>0)的离心率为:，左、右焦点分别为B,

ab12

F2,过B的直线/交C丁48两点.当X轴时，A48出的面积为3.

(1)求C的方程：

(2)是否存在定圆E,使其与以18为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在,

请说明理由.

【分析】(1)由椭圆的离心率及A484的面积为3,列出两个基本量的方程求解即可;

(2)根据对称性可知，圆E的圆心在X轴上，利用直线/特殊位置时求出符合条件的圆E的方程，一般情

况下前进性验证即可.

【详解】⑴已知椭圆C的离心率为1卜所以Q厂屋1

17/)2

由当LX轴时，A44&的面积为3,得上χ2cχ2=3,即2∕c=3α,又a=2c,

2a

所以从=3,又∕=.2+，，则α=2c=2椭圆方程为二+

43

(2)当/Lc轴时，以ZB为直径的圆的圆心为B(-1,O),Wr=—=-；

a2

当/为X轴时，以48为直径的圆的圆心为O(0,0),半径々=α=2;

因为直线/过点E，所以以/8为直径的所有圆关于X轴两两对称的,

根据对称性可知，圆E与以NB为直径的圆内切时，圆心在X轴上.设圆心£(”,0)(〃<0),半径为R,

当以/8为直径的圆在圆E内部与E相切时，

Q1

则忸6I=R-5，怛。|=2?_2,故IE用TEOI=5,

又|%|+|£0|=1,所以怛O|=；,∖EFl∖=^,即R=g圆E的方程为(x+5J+y2瑶;

当以48为直径的圆在圆E外部与E相切时，

ɔ1

则怪用=；-R,∣E0∣=2-R,故IEOlTMJ=],又IE用+∣E0∣=1,

所以忸。|=《，函=；,即K，o),Λ=∣,圆E的方程为卜+,J+必啖;

当直线/斜率不为零时，设直线/的方程为X=W-1J(XQ3B[x2,y2),

X=my—1

联立，χ2y2_,得（3/+4）/_6"沙-9=0,

143

6m9

则M+%=ʒ7>My2=-^2τ'

3"+43m+4

所以48的中点即以48为直径的圆的圆心君三），半径

I3m+43"+4J

ΓI36F（1+〃*

，当圆的方程为

〃=卑WE+yj必=TNj岛I3〉÷43〉+4E

x+Γf+V=旦时,

416

3mY_3（ZW2÷4）

版N-Wr；)二3∕H2+4J4（3加2+4）'

960+叫3（/+4）

此时RfZ=∖ME∖所以以43为直径的圆与E相切.

3加2+44（3〃/+4）9

当圆E的方程为(X+T+/=%时,

MEI=JLq+3f+(4T=蛇+4

2

1*1K3病+44)(3/+4)4(3W+4)

22

6(1+∕W)59∕H+4II

⅛04r-R=ʌ--/--=-ɪɔ-ʌ=∖ME∖1所以以48为直径的圆与E相切.

34+444(34+4)

综上圆E的方程(x+；；+∕=‰^+^^+∕=∣∣.

【点睛】与圆锥曲线相关的圆问题方法点睛

因为圆的方程在圆锥曲线的求解过程中计算量比较大，所以往往不直接进行求解，而是由特殊位置求解圆

的方程或者找到其特征，再一般情况下进行验证即可.

5.(2023•山西临汾•统考一模)已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆C:[+[=im>6>0),C与矩形

ab

的四边都相切且焦距为2c,.

3

①0,6,c为等差数列；②α+l,c,∙jb为等比数列.

O

(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；

(2)(1)中所求C的左、右焦点分别为耳,耳，过耳作直线与椭圆C交于尸,。两点，A为椭圆的右顶点，直线

NP,分别交直线X=-三于",N两点，求以MN为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说

明理由

【分析】(1)周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆uW+X∙=l(α>b>0),C与矩形的四边都相切，可得

a~b"

3

4α+46=36,若选①，结合。也。为等差数列与/=〃+/,联立解方程组可求得；若选②，贝(Ja+l,c,/为

O

等比数列与已知条件列方程组即可解得.

(2)分直线斜率存在或斜率不存在两种情况分类讨论，直线尸。的斜率不存在时，/∕>o的方程为X=-3,根据

对称性即可求得P,。点的坐标，代入的的方程求得用,N点的坐标，即可写出圆的方程，并求出定点坐标;

当直线斜率存在时，设直线/也的方程为y=%(χ+3),与椭圆方程联立，韦达定理写出两根之和，两根之积,

同理求出四个点的坐标，写出以朋N为直径的圆的标准方程，化简求定点.

4a+4b=36,Q=5,

【详解】(1)选①，由题意，2b=a+c9解得<b=4,

a2=b2+c∖c=3.

所以C的标椎方程为1+W=1∙

2516

4a+46=36,U

α=5,

选②，由题意卜2=(α+l)x青,解得6=4,

a2=b2+c2,L=3∙

所以C的标椎方程为1+4=1.

(2)①当直线尸。的斜率不存在时，∕p°的方程为x=-3,不妨设尸在X轴上方，则尸卜

&>的方程为V=-∙∣(χ-5),令X=-g,得y=g,

⑹

所以i.味(y25J，同πτra理J心下25一1引6A，

2

l2256

所以以MN为直径的圆的标准方程为+旷=丁

②当直线P。的斜率存在时，设区的方程为V=A(X+3),P(XQJ,ρ(x2,y2)

y=A(x+3),

联立(/2^f(25⅛2+16)X2+150Λ2X+225F-400=O,

—^―=1,

2516

-150公225尸-400

由韦达定理得x+x------ɔ------,XX=ʒ------

i225Ar2÷16112225F+16

因为，所以加的方程为V=W(x-5),

ɪlɔAΓ∣ɔ

25-40y,25.40%

令X=---,得y=3(∙-5)，即M的坐标为

x3匕(再-5)7

同理N的坐标为,

I33(X2-5)J

所以以MV为直径的圆的标准方程为

，40^iðooɪɪ)

=广+工

3、X]-5X2-59Xj—5X)—5

必为=MXI+3)MX2+3)=公(西々+3(.+々)+9)

xl-5x2-5(x∣-5)(x,-5)xlx2-5(x∣+x,)+25

2

Zr(xlx2+3(xl+x2)+9)_-256

将韦达定理代入并整理得

x,x2-5(x1+x2)+251600'

=，解得x=-3或X=—?

令…，昨+

g93

当斜率不存在时，令y=0,贝4x+g)=等，解得》=-3或X=—。.

由①②知，以MN为直径的圆过(-3,0)和卜.,0).

6.(2023•广东深圳•统考一模)已知双曲线E：=]与直线/：歹=去-3相交于小B两点,M为线段

4

/8的中点.

(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；

(2)若/与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、。两点，问：是否存在实数匕使得4、8是线段CO的两

个三等分点？若存在，求出片的值；若不存在，说明理由.

【分析】(1)设8优,%)，M(XO,九)，联立直线/与双曲线E的方程，消去了，得

(1-必2卜2+24日-40=0,根据已知直线/与双曲线后相交于/、8两点，得八=160-64左2＞0且1_4二40,

S1一？4"

即不＜;且/W:,由韦达定理，得χ+χ

24I-4k2

则χo=^F*J，∕o=r-⅛＞联立消去左，得片=4/+12为，再根据人的范围得出y的范围，即可得出答

1—4k1—4k

案；

(2)设CH，%)，DaQ4)，根据双曲线E的渐近线方程与直线/的方程联立即可得出覆=£■，=*■，

则*t=W3=x°,即线段的中点M也是线段CD的中点，若4,8为线段CZ)的两个三等分点，

则IcDl=3∣∕8∣,结合弦长公式列式得∣X3-X4∣=3∣X∣-X2∣，即可化简代入得出其F=3、孚]+丁端，

∖4κ—1V11-44)1—4κ

即可解出答案.

【详解】设

(1)S(X2,Λ),J∕(ƩO,y0),

[y=kx-3

联立直线/与双曲线E的方程，得，，2/

[x~-4y=4

消去y,得(1-4/)/+24米-40=0.

由A=160-64^>0且1-4二#0,得左？且二片二

24

由韦达定理,得再+行ι≡∙