山西省大同市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

大同市2022-2023年度高二期中测试题（卷）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知平面α和平面用的法向量分别为加=C,l,-5）,"=（-6,—2,10）,则（）

∖.aLβB.a∕∕β

Ca与S相交但不垂直D.以上都不对

【答案】B

【解析】

【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面夕的位置关系.

【详解】解：・・・威=（3J-5）,n=（-6,-2,10）

.β.h=-2zn，

.β.mHn，

/.atIβ

故选：B.

2222

2.椭圆「+与=l（α>b>0）和三+与=Z（Z>0,4>b>0）具有（）

a'h'ab^

A.相同的离心率B.相同的焦点

C.相同的顶点D.相同的长、短轴

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：第一个椭圆的焦点（±行万,0）,第二个椭圆的焦点为（±7w虫—啜）,0）；

第一个椭圆的顶点（±4,0）,（0,±3,第二个椭圆的顶点（±痴,0）,（0,±我）；

第一个椭圆的长轴长为2”，短轴长为2/2,第二个椭圆的长轴长为2√Γ0,短轴长为2痴；

考点：椭圆的离心率.

3.直线3x+4y=/?与圆f+/-2χ-2y+l=0相切，则人=

A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12

【答案】D

【解析】

【详解】•••直线，=5与圆心为(1,1),半径为1的圆相切，丝二J=Inb=2或12,故选D.

考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公

式的应用.

4.已知点A(l,3),8(—2,-1).若过点P(2,l)的直线1与线段AB相交，则直线/的斜率k的取值范围是

()

A.k..；-B.k,,—2C.k..；-或—2D.—2领Jt一

222

【答案】D

【解析】

【详解】由已知直线/恒过定点P(2,l),如图.

若/与线段AB相交，则上pA≤%≤ZpB,YkpA=-2,kpll=g,∙-2≤k≤;,故选D.

5.如图所示，空间四边形OAB。中，QA=a,O8=4OC=c,点M在。4上，且OM=2M4,N为BC

中点，则MN等于()

AC

N

B

11,2221

A.—a—b+-cB.—a+-b+-cC.-Cl4—u---CD,-a+-b—c

232322223332

【答案】B

【解析】

【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】MN=ON-OM=-(1θzβ+OCʌ］一2一OA=一2一a+1-b+-1c,

2、>3322

故选：B.

6.设抛物线V=2px上的三个点4仁,%),8(1,%),eg,%)到该抛物线的焦点距离分别为4,4，ʤ.若

4,4,4的最大值为3,则。的值为()

314

A.—B.2C.3D.—

23

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义直接分析可得c(∣,%)到抛物线的焦点距离最大,再根据焦半径公式求解即可.

【详解】根据抛物线的定义可得C(I,%)到抛物线的焦点距离最大为I+5=3.故P=3.

故选：C

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义性质,属于基础题型.

22

7.设耳和B为双曲线T—%=l(α>O∕>O)的两个焦点，若点P(0,2%),耳，K是等腰直角三角形的

三个顶点，则双曲线的渐近线方程是

A,一a一屈_G_.

A.y一±∙∖∕3XBr.y=±------XrC∙y=±xnD.y=±-Æ-----x

733

【答案】C

【解析】

【详解】若P(o,»),设耳(—c,()),E(C,0),则恒PI=JP+4切,耳,g,P(0,M)是等腰直角三角形

22222222222

的三个顶点，.∙.yjc+4b=√2c,.∙,c+4b=2C).∙.c+4(c-a)=2c,-.3c=4a，即

:.3/+3/=4/,2=3,双曲线的渐近线方程为y=±2χ,即为了=±走X，故选C.

a3«3

8.鳖席是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖JlP-ABC中，/%，平面ABC,

AB=BC=PA=2,D,E分别是棱AB,PC的中点，点F是线段DE的中点，则点尸到直线Ae

的距离是()

a

∙IBT

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，表示出对应点的坐标，然后利用空间几何点到直线的距离公式即可完成求

所以ASIBC以B为原点，分别以6C，的方向为X，ʃ

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-孙z.因为AB=BC=24=2,所以A(0,2,0),

C(2,0,0),D((U,0),E(l,l,l),则AC=(2,-2,0),AP=(3-1,；).故点尸到直线AC的距离

(

2AFAC,i÷ι÷l-_76

d=AF∖

IACI44一4

7

故点F到直线AC的距离是逅.

4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（多选）设r>O,圆（x-iy+（y+3）2=/与圆/+V="的位置关系不可能是（）

A.内切B.相交C.外离D.外切

【答案】CD

【解析】

【分析】计算两圆的圆心距及半径之和，由两圆位置关系求解即可.

【详解】两圆的圆心距曰=[（1一0）2+（-3-0）2=回，两圆的半径之和为r+4，

因为JiU<r+4，

所以两圆不可能外切或外离，

故选：CD

22

10.若方程/一+工=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中错误的是

3-tt-∖

A.若C为椭圆,则l<f<3B.若C为双曲线,则f>3或/<1

C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则i<r<2

【答案】AD

【解析】

【分析】就Z的不同取值范围分类讨论可得曲线C表示的可能的类型.

22

【详解】若/>3,则方程可变形为上———=1,它表示焦点在y轴上的双曲线；

z-lt-3

22

若r<l,则方程可变形为上——L=I,它表示焦点在X轴上的双曲线；

3-/1-/

22

若2<f<3,则0<3τ<∕—1,故方程+-+工=1表示焦点在y轴上的椭圆；

3-tt-∖

22

若l<r<2,则0<r-l<3τ,故方程/一+工=1表示焦点在X轴上的椭圆；

3-tt-∖

22

若f=2,方程/一+上一=1即为f+y2=],它表示圆，

综上，选AD.

【点睛】一般地，方程如？+町2=1为双曲线方程等价于〃m<o,若m>0,〃<0,则焦点在X轴上，若

加<0,〃>0,则焦点在y轴上；方程/n∕+“y2=i为椭圆方程等价于加〉0,〃〉o且加。"，若加>”,

焦点在V轴上，若加<〃，则焦点在X轴上；若加=〃>0,则方程为圆的方程.

11.若实数X,y满足V+y2+2χ=o,则（）

A.二一的最大值为√iB.一）一的最小值为-6

x-1x-1

C.一匚的最大值为走D._】一的最小值为一且

x-13x-13

【答案】CD

【解析】

【分析】确定/+；/+2》=0的圆心和半径，明确一ɪ-为圆上的点与定点P（1,O）连线的斜率，数形结合,

x-1

利用圆心到直线的距离等于半径，结合的几何意义即可确定答案.

x-1

【详解】由题意可得方程/+；/+2%=0为圆心是。（一1,0）,半径为1的圆，

则ɪ为圆上的点与定点P（LO）连线的斜率，

X-]

由于直线X=I和f+y2+2χ=0没有交点，

故设过P（LO）点的斜率存在的直线为y=左（X-1）,即乙一y—k=。，

当直线依一y-A=0与圆Y+y2+2χ=o相切时，圆心C（—1,0）到该直线的距离d=z∙,即

∖-2k∖

Λ7F,

可得3/=1,解得左=±也，

3

所以土4一日，手「即官最大值为白，最小值为-理

故选：CD

22

12.已知P是椭圆r上+2v_=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为£,鸟，且CoSNKPQ=4，则()

94^3

A.Z∖KP玛的周长为12B.SYFlPF2=2√2

c.点2到X轴的距离为2叵LlUUlUUU

D.PRPF=Z

51

【答案】BCD

【解析】

【分析】A.根据椭圆定义分析PE的周长并判断;

B.根据椭圆定义以及已知条件先求解出IPEHPgI的值，结合三角形的面积公式求解出Sq鹤并判断;

C.根据三角形等面积法求解出点P到犬轴距离并判断；

D.根据向量数量积运算以及|班卜|珠|的值求解出结果并判断.

【详解】A.因为IP制+归闾=2α=6,

所以。毋"=IPGI+∣P用+1耳闾=2。+2。=6+254=6+26，故错误；

B.因为|产制+|尸闾=2α=6,忻K「=|p周2+仍入「一2|PEHP用COSNEP居，

9

所以4(9—4)=36—2|尸EHPEl-IP6卜|尸闾，

所以IPKHP周=6,所以S",咕=；|P用∙∣PFjsinN耳PF2=gx6x∕!=2JΣ,故正确;

C.设点P到X轴的距离为d,

所以《∣EE∣∙d=2λ∕5,所以d=2^=勺牛=冬黑■,故正确;

2lʃɪʃ^l2√55

UUinuuπuunɪCOSN白尸居=6x；=2,

D.因为P耳・P/%=PFl故正确;

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线八4的斜率乙、心是关于人的方程2公一4k+〃z=0的两根，若4,4,则实数〃?=

【答案】-2

【解析】

【分析】依题意用？区-1.利用韦达定理得到方程，解得即可；

【详解】解：因为∕∣∙∏2,所以仁？&-1.又左、%2是关于左的方程2公一4女+m=0的两根，

Hl

所以K•&=E=T，解得相=—2；

故答案为：-2

14.已知α=(l,0,l),h=(-2,-l,l),c=(3,l,0),则∣α-b+2c∣=.

【答案】3√I0

【解析】

【详解】因为α=(l,O,l)力=(—2,—l,l),c=(3,l,0),

所以〃一/7+2c=(9,3,0),

所以卜一方+2c∣=J92+32=3JiU.

答案：3√10

r2V2

15.已知双曲线二L=I被直线截得的弦AB,弦的中点为M(4,2),则直线AB的斜率为.

42

【答案】1

【解析】

【分析】设出A,8点坐标，根据点差法即可求得斜率的值.

【详解】设A(%,y),B(x2,y1),显然χ≠∕,

则有五江=],互_应=1,

4242

两式作差可得，豆一旦_里+支=0,即(1+々)(，一七)=()1+一)(〉「必),

442242

又弦中点为"(4,2),则X∣+%2=8,X+%=4,代入可得必一%=X∣-%2,

即又二息=1,所以直线48的斜率为L

ɪiF

此时直线方程为y-2=x-4,即y=x-2,

y=x-2

联立直线与双曲线方程《χ29可得，f_8x+i2=0，Δ=(-8)2-4X1×12=16>0,即直线与

142

双曲线相交，所以直线协的斜率为1满足条件.

故答案为：1.

16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=∖>AD_LAB，NBCD=45。,将Z∖ABO沿对

角线8。折起，设折起后点A的位置为A',并且平面A3。J_平面BCD则下面四个命题中正确的是

.(把正确命题的序号都填上)

①AD_LBC；②三棱锥A—BCD的体积为"；③B4'_LC4'；④平面ABC_L平面A'DC.

2

【答案】③®

【解析】

【分析】根据空间几何中的垂直关系即可进行证明与判断.

【详解】

若A由已知平面A'8D，平面BCD且平面48。与平面BCD交线为BD.

如图过A'作的垂线，垂足为M,易知A'ML平面BCr),又因为BCu平面BCO,

所以AMLBC,A,D±BC,4M与AT)U平面A'BD，A'MA,D^A'

可得：BCl平面A'8D,又因为BDU平面4BD，所以BCL8。与已知矛盾,

故ADLBC不成立.

所以①错误.

三棱锥A-BCo的体积V='χLχ夜X√∑χ走=巫,

3226

故②错误.

在A4'CD中，AC2^CD2+AD2，所以AC=6，同理在二BDC中,

BC=2,又因为AB=1,在-ABe中满足AC?+AB?=BC?,故A4∖LC4',

所以③正确.

BA,±A,D.BA'±CD,A'Ou平面4OC,Cl)U平面A'DC,CDCND=D

所以BAJ_平面AOC,Wu平面ABC,所以，平面43C_L平面ADC.

所以④正确.

故答案为：③④

【点睛】1.空间几何中垂直关系为重点考察内容，也是直观想象核心素养的直接体现.

2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质是解决此类问题的关键.

3.注意通过现有的垂直关系和可证明的垂直关系，利用直角三角形来减少运算量.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知A(TO),B(l,O),C为平面内的一个动点，且满足IACI=正∣BC∣.

(1)求点C的轨迹方程；

(2)若直线/为x+y-1=0,求直线/被曲线C截得的弦的长度.

【答案】(1)%2+/-6x+1=0

⑵2√6

【解析】

【分析】(1)首先设点C(X,y),利用两点间距离表示IAq=正怛q,化简求轨迹方程；

(2)代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解.

【小问1详解】

由题意可设点C的坐标为(X,y),由IAe=正忸C及两点间的距离公式可得

J(X+1)2+(y_0)2ɪ√2×7(x-l)2+(y-O)2，整理得x2+J2-6x+l=0.

【小问2详解】

由(1)可知，曲线C:(X—3)2+/=8

A

圆心(3,0)到直线/:X+y—1=0的距离d=Iɔ不系。'=lɜɪɪ'=6，

所以弦的长度2，/一42=2指.

18.如图.在正方体ABC。一A4G。中，E为。。的中点.

(2)求直线A。与平面ACE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见详解

⑵逅

6

【解析】

【分析】(1)连连接3。与AC交于点0,根据中位线定理可知0E∕/B。，然后根据线面平行的判定定理

可得.

(2)建立空间直角坐标系，计算Ar>,平面ACE的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.

【小问1详解】

如图所示：

连接与AC交于点0,

因为。，E为中点,

所以。E∕∕8D∣,又OEU平面ACE,8D∣Z平面ACE,

所以BQ//平面ACE；

【小问2详解】

建立如图所示的空间直角坐标系

令AB=2,所以A(0,0,0),0(0,2,0),C(2,2,,0),E(0,2,1)

Ao=(0,2,0),AC=(2,2,0),AE=(0,2,1)

设平面ACE的一个法向量为〃=(X,y,z)

π-AC=O2x+2y=0

所以《=>V令y=—l,x=l,z=2

n∙AE-02y+z=0

所以“=(1,一1,2),

所以直线AO与平面ACE所成角的正弦值E~Γ=/.=⅛

∣n∣∙∣AO∣√l2+(-l)2+22∙26

22/T-

已知点椭圆「+。＞匕＞的离心率为出，是椭圆的右焦点,

19.A(O,-2),E:2=1(0)IFE直线AF

a^b^2

的斜率为2,。为坐标原点.

(1)求E方程；

(2)设过点P(θ,一6)且斜率为左的直线/与椭圆E交于不同的两〃、N,且IMAM=迪，

求上的值.

【答案】U)y+∕=l;(2)±√3.

【解析】

【分析】

(1)根据离心率和斜率公式可解得α/,c,从而可得椭圆的标准方程；

(2)联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出弦长，结合已知弦长列方程可解得结果.

【详解】(1)由离心率e=f=Y2,则α=0c,设F(c,O),

a2

则直线■的斜率左="为=2,则c=l,a=丘,

C-O

b2=cr-c2=l，

•••椭圆E的方程为土+V=1;

2'

(2)由题意得直线］:y=区一百，设M(Al,y),N(X2,%),

y=kx-s∣3

则《整理得：(l+2⅛2)x2-4√3fcc+4=0,

-+y2=l

12

Δ=(-4√3⅛)2-4×4X(1+2⅛2)>0,即公>1，

4√3⅛4

∙*∙x+X=XiX-)—T^9

l2l+2p^,-1+2公

∙*∙IMNl=∖J∖+k2IXI-九21=Ji+%、J(Xl+%2J-4%尤2

4j(l+&2)(/l)8叵,

∖+lk27

即17/-32^-57=0，

1O

解得：公=3或公=一』(舍去),

17

∙'∙k—+ʌ/ɜ'

【点睛】关键点点睛：根据弦长公式IMM=^后-叩I=Ji寿Ja+々y—4中2求出弦长是本

题解题关键.

20.如图，在三棱锥尸—ABC中，侧面24C是等边三角形，ABJ.BC,PA=PB.

B

(1)证明：平面B4C_L平面A8C；

(2)若AC=2A8,则在棱PC上是否存在动点〃，使得平面M48与平面ABC所成二面角的大小为

45°.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在."为靠近尸三等分点

【解析】

【分析】(1)取AC的中点0,连接产0,50,证明P。1平面AβC,根据面面垂直的判定定理即可证

明结论；

(2)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设PM=4PC(O<4≤1),求得平面M48的法向量，

利用向量的夹角公式求得2,即可求得答案

根据线面

【小问1详解】

证明：取AC的中点0,连接PO,80,

因为为等边三角形，所以PO_LAC,

在RtAABC中，^OA=OB=OC,

又因为QA=PB=PC,所以APOA学APOB学APOC，

所以NPoB=NPoA=90°,即P0,03,

又因为PO_LAC,ACCOB=O,AC,QSu平面ABC,所以Pol平面ABC,

又因为PoU平面P4C,所以平面A4C，平面ABC.

【小问2详解】

AB1

不妨设∕¾=4,在RtZVLBC中，CoSNeAB=——=-,所以NC4B=60°,

AC2

在底面ABC内作8_LAC于点。，则O。,OC,OP两两垂直，

以点。为原点，。。所在的直线为X轴，OC所在的直线为V轴，OP所在的直线为Z轴，建立空间直角

坐标系，如图所示：

Zl

M

BX

则A(O,-2,0),B(√3,-l,0),C(0,2,0),P(0,0,2√3)

所以AB=(相,1,0),AC=(0,4,0),AP=(0,2,2√3),PC=(0,2,-2百)，

设PM=兄PC=(0,2Λ,-2√3Λ)(0≤Λ≤1),

则AM=AP+PM=(0,2+2λ,2y∕3-2√3Λ),

设平面MAB的法向量为m=(羽XZ),

m-AB-y∣3x+y=0

所以加∙AM=(2+2∕l)y+(2√5-2√i∕I)Z=O'

令X=4—1,可得y=J^—z-—λ—1,所以m=(2—1,—几一1),

可取平面ABC的一个法向量为〃=(0,0,1),

..m∙n∣2+11Jl

所以cos45o=|cos<m,n)|=-∏-=/LL=——，

〃巾〃√(2-1)2+(√3-√32)2+(2+1)22

整理可得3万_10/1+3=0,即(32-1)(/1-3)=0,解得/1=；或4=3(舍去).

.1PM1

所以PM=—PC,所以当——=一时，二面角M—AB—C的大小为45。.

3PC3

21.已知抛物线C：y2=Ipx(p>0)上的一点M(71，〃)到它的焦点的距离为a+1.

(1)求P的值.

(2)过点N(—2")CGR)作曲线C的切线，切点分别为P,Q.求证：直线尸。过定点.

【答案】(1)2；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的定义列方程可得结果;

⑵设过N直线：γ-Z=Λ(x+2),代入y=4χ得，^2-4y+4∕+8⅛=0.根据判别式等于0,得

12

t=一一23代入伙2-4y+4f+8后=0可得y=—,没NP,NQ的斜率分别为尤，k2,则

kk

1112、(1211

klk2=-.P-τ,-,Q-τ,-,根据点斜式可得直线PQ的方程，结合左人=—-，

2I匕kJ(右k2)2

【详解】(1)曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离.

Λ√2+^=√2+l,.∙.K=1,.∙.p=2.

22

(2)依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，

故可设过N的直线：y-√=Ar(x+2),代入∕=4χ得，ky2-4y+4t+Sk=0.

Z≠0,

因为直线与曲线C相切，则L八得16-4攵(4∕+8Z)=0,即2炉+戊—1=0∙

Δ=0,

I22

所以I=——2k,代入4y+4f+8Z=0并化简得（y——）2=0,解得y=—,

kkk

设NP,NQ的斜率分别为吊，k2,则％∕2=-g∙

所以「

2__2

当同≠同时，直线尸。的方程:

k；k.

kxk`+k1

-1

k∖+k.

21

k`+k2ki+k2k]+k2

.∙•直线2。过定点（2,0）.

当M=I勾时，即同=冏=孝，

则PQ所在的直线为χ=2.过点（2,0）

综上可得，直线PQ过定点（2,0）.

【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线相切的问题，考查了直线方程的点斜式，考

查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.

X2=1的左、右焦点分别为片，玛，其离心率为半，且过点尸（4&,2血）

22.已知双曲线C:JV

a"^F

（1）求双曲线C的方程

（2）过6的两条相互垂直的交双曲线于AB和C,。，M,N分别为A5,C。的中点，连接MN,过坐

标原点。作MN的垂线，垂足为H,是否存在定点G,使得∣G"I为定值，若存在，求此定点G.若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)—--=1；(2)存在，G(-2√6,0

168\

【解析】

a2

328

【分析】（1）首先根据题意得到一记=1,再解方程组即可;

C1=cr+Ir

（2）首先当直线AB和CD其中一条没有斜率时，H点为（0,0）,直线MN方程为y=0,当直线AB