第2讲 平行线的判定（讲义与练习）-（解析版）

第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）

聚焦考点

-、平行公理及推论

1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

要点诠释：

（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.

⑵公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一.

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∙.∙Z3=Z2

.∙.AB›√CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

,.∙Z1=Z2

/.AB〃CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∙.∙Z4+Z2=180o

.∙.AB/7CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

I名呼点睛

考点一：平行公理及推论

【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a,b,c,下列说法

错误的是（)

A.如果a〃6,a±c,那么瓦LCB.如果b〃a,c∕/a,那么6〃C

C.如果方J_a,C.La,那么LCD.如果瓦La,cla,那么6〃C

【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平

面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可.

【解答】解：尔如果a〃Aa-Lc,那么6_Lc,说法正确；

B、如果6〃a,c∕/a,那么6〃c,说法正确；

C、如果8_La,cLa,那么6_Lc,说法错误：

〃、如果b_La,C.La,那么6〃c,说法正确；

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理.

【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度;

②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④

若,_1_8,cLb,则a与C的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其

中正确的是①③⑤.

【分析】根据平行线的定义及平行公理和两点间的距离定义进行判断.

【解答】解：两点之间的距离是两点间的线段的长度，①正确；

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②错误；

两点之间的所有连线中，线段最短，③正确；

在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，④错误：

只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，⑤正确；

故答案为：①③⑤.

【点评】本题主要考查了对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要

做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.

【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB//CD,AB//GE,/6=110°,乙C=

100o.N"C等于多少度？为什么？

ΛB

【分析】^AΛB∕∕CD,AB//G隰CD"GE,根据两直线平行，同旁内角互补得到N班/成G=

180°,ZC÷ZβcS-=180o,而/8=110°,NC=Io0°,可以求出/8/%和NO芯最后

可以求出N用匕

【解答】解：//石等于30度，理由如下：

、：AB"GE,

JN毋N跖G=I80°,

VZT?=IlOo,

：.ZBFG=180°-110°=70°,

*：AB//CD.AB//GE,

・・・CD//GE.

：.ZC+ZCFE=180°,

VZC=IOOo.

.∖ZCFE=l80o-100°=80°,

：.ZBFC=180°-/BFG-4CFE=∖8G-70°-80°=30°.

【点评】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质.解题的关键是掌握平行线的性

质：两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平

行，那么这两条直线也互相平行.

考点二：平行线的判定

【例题2】（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①N1=N2;②N3=N4;③N2+N5

=N6；④N加班N2+N3=180°，能判断力〃〃比6勺是（）

【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平

行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可.

【解答】解：①..∙∕1=N2,

：.AD//BQ

②∙.∙N3=N4,

JAB∕ICD∙∖

③∙.∙N2+N5=N6,N1+N5=N6,

ΛZ1=Z2,

JADHB0、

@VZZM5+Z2+Z3=180o,

.∖ZDΛB^ZΛBC=180o,

：.AD//BC↑

可以判断力〃〃优的有①©④.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是

解题关键.

【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、C如图用螺丝固定在木板α上且N∕8M=

50o,NDEk70：将木条a、木条8、木条C看作是在同一平面ɑ内的三条直线水?、

DRMN,若使直线〃；直线分达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）

A.木条枚C固定不动，木条a绕点面页时针旋转20°

B.木条&C固定不动，木条a绕点碘时针旋转160°

C.木条a、C固定不动，木条6绕点碘时针旋转20°

D.木条a、C固定不动，木条6绕点£顺时针旋转110°

【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可.

【解答】解：A.木条6、C固定不动，木条a绕点例页时针旋转20°,

：.NABE=5Q°+20°=70°=NDEM,

J.AC//DF,

故4不符合题意；

B.木条灰。固定不动，木条a绕点£逆时针旋转160°,

：.∕CBE=5Q°+2o°=7o°=∕DEM,

：.AC//DF,

故6不符合题意；

C.木条a、C固定不动，木条3绕点碘时针旋转20°,

：.ZDEIf=IOo-20°=50°=ZABE,

C.AC∕∕DF,

故坏符合题意；

D.木条a、C固定不动，木条6绕点加页时针旋转110°,

木条方和木条C重合，46⅛2P不平行，

故场合题意.

故选：D.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键.

【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知NaNR7=90°（其中NQNA，

添加一个以下条件：①/斤/咫4=180°；②/a/A；C=I80°；③NFEB+2NFGD=

90°；®ΔFGC-ZA=90o.能证明"〃笫的是（）

CGD

A.①B.②C.③D.（4）

【分析】条件①得到〃/。条件②得到加平行切，过点用乍切的平行线/7/,结合条件③

可证46〃5，条件④的结果得到恒等式.

【解答】解：虫；//4/烟=180°,

：.AB//FG,故选项4不符合题意；

②∙.∙∕∕⅛N∕^C=180°,

：.CD//FE,故选项环符合题意；

③过点雁月/〃切，则：/HFG=NFGD,

"：AF=ΛEFthAHFG,N丹NFGg90°,

：.4EF小24FGD=90°,

YNFE∕2NFGD=9Q°,

：./EFH=/FEB,

：,AB//FH,

：.AB//CD,故选项弟合题意；

④：N用C-N尸=90°,NaN∕∙M=90°,

：.AFGC-ZMZ∕⅛Z∕7»=90o+90°,

J.AFGC+AFGD=∖^a,故选项〃不符合题意.

故选：C.

B

【点评】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行"和''同旁内角互

补，两直线平行”，以及邻补角的定义.本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已

知条件进行转化.

【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断比的是（）

①NI=N2；②N3=N4；③N2+N5=N6;④/加班N2+N3=180°.

ʌ.①③④B.①②④C.①③D.①②③④

【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平

行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可.

【解答】解：①∙.∙∕1=∕2,

C.AD∕∕BC∙,

②∙.∙∕3=N4,

J.AB∕∕CD↑

③∙.∙∕2+N5=N6,Z1+Z5=Z6,

ΛZ1=Z2,

：.AD//BC-,

④∙.∙∕ZM屏N2+N3=180°,

：.ZABC=180°,

：.AD//BC-,

可以判断力〃〃优的有①③④.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是

解题关键.

【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点£在力期延长线上，下列条件中能判断

/8〃勿的是（)

A.N3=N4B.NI=N2

C.ND=/DCED.Z^ZACD=18QQ

【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案.

【解答】解：4、N3=N4无法得到，AB//CD,故此选项错误；

B、N1=N2,根据内错角相等，两直线平行可得：AB//CD,故此选项正确；

C.ND=NDCE,根据内错角相等，两直线平行可得：BD//AC,故此选项错误；

AN∕>N∕0=I8O°,根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD//AC,故此选项错误;

故选：B.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理.

【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形4比的顶点力在直线卬上，分别度量：

①NI,Z2,ZC；②N2,Z3,N氏③N3,Z4,Na④NI,Z2,Z3.可判断直

线加与直线〃是否平行的是（）

A.①B.②C.③D.④

【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.据此可得结

论.

【解答】解：A.度量：①NI,Z2,ZC,不能判断直线m与直线〃是否平行，不合题

^⅛∙

后、f；

B.度量：②/2,/3,NB,可得/4的度数，结合/2的度数，即可判断直线m与直线〃

是否平行，符合题意；

C.度量：③N3,N4,/坏能判断直线加与直线〃是否平行，不合题意：

D.度量：④NI,Z2,Z3,不能判断直线"/与直线〃是否平行，不合题意；

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同

位角相等，那么这两条直线平行.

【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，/4=70°,。是45上一点，直线如与/碘夹角N

Bo则75：要使如〃/C,直线切绕点C按逆时针方向至少旋转5度.

【分析】本题反向推理，若如旋转到切'时，则"'//AC,求/=ABOD-ΔBOD'

=75°-70°=5°,进而解决此题.

【解答】解：若如旋转到加'时，则如'//AC.

'：OD'//AC,

：.ΛBOD'=Z/!=70°.

ΛΛDOD,=NBOD-/BOD'=75°-70°=5°.

要使M〃力G直线切绕点。按逆时针方向至少旋转5度.

故答案为：5.

【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题

的关键.

【变式训练1】（2021春嘟州区期中）如图，下列条件中：①/的分/"C=180°；②Nl

=/2；③/3=/4；④NBAD=NBCD,能判定力。〃式的是①②③.

【分析】①由N阻加/"C=180°,利用同旁内角互补得到本选项符合题意;

②由∕1=N2,利用内错角相等两直线平行得到本选项符合题意；

③由N3=N4,利用内错角相等两直线平行得至以。〃SG本选项符合题意；

④由NBAD=NBCD,不能判定出平行，本选项不合题意.

【解答】解：①由N∕β4Z⅛N∕l6C=180°,得到月〃〃比；本选项符合题意；

②由N1=N2,得到4）〃8C,本选项符合题意；

③由/3=/4,得到/〃〃比；本选项符合题意；

④由∕BAg∕BO）,不能判定出平行，本选项不合题意.

故答案为：①②③.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点£是物延长线上一点，在下列条件中：

①N1=N3;②N5=N8;③∕1=N4且ICSP分/%6；④N班N6必=I80°,能判定/3

〃制J有③④.（填序号）

【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案.

【解答】解：①中，∙..∕1=N3,.∙J〃〃笈（内错角相等，两直线平行），不合题意；

②中，Y/5=/8...{〃〃%（同位角相等，两直线平行），不合题意；

③中，•.•/1=/4且力评分/%8,，/2=/4,J.AB//CD,故此选项符合题意；

④中，Z5÷Z^=180o,：.AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题

意；

故答案为：③④.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键.

【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点反匕屈勺延长线上，下列四个条件：①

Z1=Z2;②NG∙∕4%7=180°；③NC=NCDE；④N3=N4,能判断力6〃5的是①

②（填序号）.

【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可.

【解答】解：①由Nl=∕2,可以判定16〃必.

②由∕G∕∕6C=180°,可以判定46〃3

③由∕c=∕α½;可以判定犯〃力〃.

④由N3=N4,可以判定以7〃/〃.

故答案为①②.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线6上，若NI=

40°,则当/2=50度时，a∕∕b.

2

h

【分析】由直角三角板的性质可知N3=180°-Zl-90°=50°,当/2=50°时，Z2

=N3,得出a〃。即可.

【解答】解：当/2=50°时，a∕∕b∙,理由如下:

如图所示:

VZ1=40°,

，/3=180°-90°-40°=50°,

当/2=50°时，N2=N3,

,a//b；

故答案为：50.

【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是

解决问题的关键.

【例题4】（2021春•槐荫区期末）点、B,跖■别在"，DF上,BD,分别交“T点G,//,Z

AGB=NEHF,ΔC=AD.求证：AC//DF.

【分析】由已知条件判断得到N&亦=/防WEC〃BD,利用平行线的性质与已知条件

得到/gN/劭进而求证.

【解答】证明：＜/AGB=NEHF,ΛAGB=ADGF,

：.ADGF=ΔEHF,

：.EC//BD,

：.ZC=AABD,

■:乙C=4D,

：.NgAABD,

：.AC//DF.

【点评】本题考查了平行线的性质与判定，关键是找到合适的的同位角，内错角，进而

判断.

【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线/分别与直线46,以相交于点P,

Q,臼睡直于/,/1+/2=90°.求证：AB//CD.

【分析】先根据垂直的定义得出N4呼/2=90°,再由Nl+N2=90°得出N4∕50=N

1,进而可得出结论.

【解答】证明：W∙L∕70（己知），

.∙.N∕I∕0N2=9O°（垂直定义）.

VZl+Z2=90o（已知），

：.ZAPQ=AX（同角的余角相等），

二四〃5（内错角相等，两直线平行）.

【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行.

【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点

族C网分/DCE,交DE千点F

（1）求证：CF//ABi

（2）求/〃C的度数.

E

【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行进行判定即可;

（2）根据三角形£7渤内角和为180°,求得NfiCC的度数.

【解答】解：（1）•：（:呼分4DCE,且NmF=90°,

.∙.N即占45°,

∙.∙∕64C=45°,

/./BAC=∕ECF,

：.CF//ΛB∙,

(2)在△也中，

VΛFCE+ΛE+AEFC=180°,

ΛZΛR7=180o-ΛFCE-ΔE,

=180°-45°-30°

=105°.

【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：内

错角相等，两直线平行.解题的关键是熟知三角板的各角度数.

【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：

如图，直线/5,Q被加所截，若已知Nl=N2,说明48〃切的理由.

解：根据对顶角相等得/2=等3

又因为N1=N2,

所以以1=N3,

根据同位角相等，两直线平行得:AB//CD.

【分析】先根据对顶角相等，得出N2=/3,再根据同位角相等，两直线平行，得AB//

CD.

【解答】解：根据对顶角相等，得/2=/3,

又因为Nl=N2,

所以Nl=∕3,

根据同位角相等，两直线平行，得：AB//CD.

故答案为：对顶角相等，1,3,同位角相等，两直线平行，AB,CD

【点评】本题主要考查了平行线的判定与对顶角的性质，解题时注意：同位角相等，两

直线平行.

【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，ΛACD=2ΛB,C0”分4ACD.求证：CE//

ΛB.

【分析】由"为角平分线，利用角平分线的定义得到一对角相等，再由已知一对角相

等，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证.

【解答】证明：:CF平分

J.AACD^2ΛDCE,

'：AACD=IAB,

：./DCE=4B,

：.AB//CE.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果/1+/3=180°,那么/西切平行吗，请

说明理由.

【分析】根据平角的定义得到N2+N3=180°,根据等量关系得到N1=N2,再根据同

位角相等，两直线平行得到4夕与切平行.

【解答】解：1西⑺平行.

VZl÷Z3=180o,Z2+Z3=180o,

ΛZ1=Z2,

.∖AB∕∕CD,

【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是根据等量关系得到N1=N2,根

据同位角相等，两直线平行，即可解答.

能力提升

类型一、平行公理及推论

【例题5］在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且

只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一

条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】正确的是：（1）（3）.

【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确

理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别.

【变式训练1】下列命题中正确的有（）

①相等的角是对顶角；

②若a〃b,b∕∕c,则a〃c；

③同位角相等；

④邻补角的平分线互相垂直.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

类型二、两直线平行的判定

【例题6】下列图形中，由N1=N2能得到AB〃CD的是（)

A

1

2D

A.

【答案】B

【解析】如图所示:

VZ1=Z2（已知），

ΛAB√CD（内错角相等，两直线平行），故选B

【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

【变式训练1】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两

次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°

B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50。,第二次向右拐130°

D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°

【答案】A

提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图.

图B显然不同向，因为路线不平行.

图C中，Zl=180o-130°=50°,路线平行但不同向.

图D中，Zl=180°-130°=50°,路线平行但不同向.

只有图A路线平行且同向，故应选A.

【例题7】如图所示，已知∕B=25°,ZBCD=45o,NCDE=30°,ZE=IOo.试说明AB〃EF

的理由.

【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来.

【答案与解析】

解法1：如图所示，在NBCD的内部作NBCM=25°,在NCDE的内部作NEDN=I0°.

,.∙ZB=25o,ZE=IOo（已知），

.,.ZB=ZBCM,ZE=NEDN（等量代换）.

.,.AB/7CM,EF〃DN（内错角相等,两直线平行）.

又NBCD=45",ZCDE=30α（己知），

NDCM=20°,NCDN=20°（等式性质）.

.∙.NDCM=NCDN（等量代换）.

/.CM〃DN（内错角相等，两直线平行）.

VAB〃CM,EFzZDN（BiiE）,

.∙.AB〃EF（平行线的传递性）.

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.

,.'ZBCD=45o,ZNCB=135o.

,.∙ZB=25o,

.,.ZCNB=180°-ZNCB-NB=20°（三角形的内角和等于180°）.

又；ZCDE=30°,,ZEDM=150".

又,：ZE=IOo,

ZEMD=180o-ZEDM-ZE=20"（三角形的内角和等于180°）.

.,.NCNB=NEMD（等量代换）.

所以AB〃EF（内错角相等，两直线平行）.

【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选

取.

【变式训练1】已知，如图，BE平分NABD,DE平分NCDB,且Nl与N2互余，试判断直线AB、CD的

位置关系，请说明理由.

【答案】解：AB/7CD,理由如下：

∖∙BE平分NABD,DE平分NCDB,

.,.NABD=2/1,NCDB=2/2.

又；Zl+Z2=90o,

/.ZABD+ZCDB=180o.

.∙.AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行）.

【变式训练1】已知，如图，ABlBD于B,CD_LBD于D,Zl+Z2=180o,求证：CD//EF.

C

【答案】证明：：AB_LBD于B,CD_LBD于D,

ΛAB√CD.

又・・・/1+/2=180°,

ΛAB∕7EF.

ΛCD∕∕EF.

M分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•诸暨市期末）如图所示，下列条件能判断a〃。的有（）

ʌ.Zl+Z2=180oB.Z2=Z4C.Z2+Z3=180oD.Z1=Z3

【分析】根据平行线的判定即可判断.

【解答】解：AVZl+Z2=180o,不能判定a〃6,错误;

B、VZ2=Z4,Λa//b,正确；

C、；/2+/3=180°,不能判定且〃6,错误；

AVZ1=Z3,不能判定a〃4错误；

故选：B.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于基础

题.

2.（2021•乐平市一模）如图，下面哪个条件能判断庞〃比的是（）

A.Z1=Z2B.N4=NCC.Nl+N3=180°D.Z3+Z6^180o

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线

平行，据此进行判断即可.

【解答】解：当NI=N2时，EF//ACi

当N4=∠W,EF〃AC；

当Nl+N3=180°时，DE//BC-,

当∕3+∕O=180°时，EFHAS

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错

角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

3.（2021春•上思县期末）如图所示，点碓4尔J延长线上，下列条件中能判断四〃必

()

C./D=/DCED.Z∕>Z^G9=180o

【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案.

【解答】解：/、根据内错角相等，两直线平行可得/8〃s，故此选项正确；

B、根据内错角相等，两直线平行Uj■得劭〃44故此选项错误；

a根据内错角相等，两直线平行可得加〃4C,故此选项错误；

D、根据同旁内角互补，两直线平行可得切〃/4故此选项错误；

故选：A.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线

找同位角、内错角和同旁内角.

4.（2021春•柘城县期末）如图，点斑4微延长线上，下列条件能判断46〃5的是

（）

①Nl=∕2;②N3=∕4;③NA=NDCE；④/分∕Λ¾>=180°.

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断.

【解答】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得46〃6G

②根据内错角相等，两直线平行即可证得协〃/C,不能证46〃S

③根据同位角相等，两直线平行即可证得48〃CD-,

④根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得/8〃切.

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别''三线八角”中的同位角、内错角、

同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只

有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

5.（2021春•奉化区校级期末）下列图形中，能由/1=/2得至以6〃的是（）

【分析】根据同位角相等两直线平行可得答案.

【解答】解：由Nl=N2得至以打〃C唬是邂项,

VZ1=Z2,Z3=Z2,

ΛZ1=Z3,

：.AB//CD.

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理.同位角相等，

两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

6.（2021春•蛹桥区期末）如图，点第比的延长线上，则下列条件中，不能判定48〃刃的

是（）

ʌ.ZZ>ZΛ45=180oB.4B=4DCE

C./1=/2D.Z3=Z4

【分析】4利用同旁内角互补两直线平行，得到四与⑺平行，本选项不合题意;

8、利用同位角相等两直线平行，得到/6与切平行，本选项不合题意；

C,利用内错角相等两直线平行，得到/16与制平行，本选项不合题意；

Λ利用内错角相等两直线平行，得到力〃与SC平行，本选项符合题意.

【解答】解：/、•：N>NDAB=∖80°,

：.AB//CD,本选项不合题意；

B、＜NB=4DCE,

C.AB//CD,本选项不合题意；

aVZ1=Z2,

：.AB//CD,本选项不合题意；

ΛVZ3=Z4,

：.AD//BC,本选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内

错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关

键.

7.（2021春•奉化区校级期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是（）

A.两直线平行，同位角相等

B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等，两直线平行

D.内错角相等，两直线平行

【分析】由题意结合图形可知N"方=N5跖；从而得出同位角相等，两直线平行.

解：Y4DPF=NBMF

.∙./山〃切（同位角相等，两直线平行）.

故选：C.

【点评】本题考查平行线的判定.正确理解题目的含义，是解决本题的关键.

8.（2021春•上城区校级期中）下列四个说法中，正确的是（）

A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.不相交的两条直线是平行线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【分析】由对顶角的性质判断4由平行线的性质和判定判断从C、D.

【解答】解：A,对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，

例如30°的角都相等，但他们不一定是对顶角.故选项/1错误：

B、由于懒少平行条件，故选项6错误；

C、在同一平面上，不相交的两条直线是平行线，故选项型误；

D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故选项〃正确.

故选：D.

【点评】本题考查了对顶角及平行线的性质和判定，掌握对顶角和平行线性质是解决本

题的关键.

9.(2021春•拱墅区月考)如图，直线a、6被直线C所截，现给出下列四个条件：(1)Zl

=Z5；(2)/2+/7=180°；(3)Z4=Z7;(4)Z3=Z6;其中能判定a〃。的条

件的序号是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(3)(4)

【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论.

【解答】解：(1)VZ1=Z5,

.'.a//bi

(2)VZ2+Z7=180o,Z2+Z3=180o,

ΛZ3=Z7,

.∙.a//b∙,

(3)由N4=N7得不到a〃左

(4)由/3=/6得不到a〃4

故选：A.

【点评】本题考查了平行线判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论.

10.(2021春•拱墅区月考)下列说法中，正确的是()

(1)在同一平面内，不相交的两条直线是平行线；

(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

(3)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

(4)若直线b±c,则直线a与C平行.

A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（4）D.（3）（4）

【分析】利用两直线的位置关系、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选

项.

【解答】解：（1）同一平面内不相交的两条直线是平行线，故正确，符合题意；

（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，符合题意；

（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，不符合题意；

（4）在同一平面内，若直线a_L8,blc,则直线a与。不相交，缺少条件“在同一平面

内”所以错误，不符合题意，

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是能够JZ解两直线的位置关系、平行线

的性质等知识，难度不大.

二.填空题（共7小题）

11.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解答即

可.

【解答】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

故答案为：有且只有.

【点评】本题考查了平行公理，牢记平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与

这条直线平行是解题的关键.注意平行公理中“有且只有”的含义，从作图的角度说，

它是“能但只能画出一条”的意思.

12.下列说法中：

（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；

（2）两个相等的角是对顶角；

（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；

（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；

（5）三条直线两两相交，一定有三个交点.

正确的说法是（3）（4）.（填入你认为正确的说法的序号）

【分析】根据平行公理，可得（1）的结论，根据对顶角的性质可得（2）的结论，根据

余角与补角的关系，可得（3）的结论，根据垂线段的性质，可得（4）的结论，根据相

交线的性质，可得（5）的结论.

【解答】解：（1）在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,

故（1）错误；

（2）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故（2）错误；

（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°,故（3）正确；

（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；

（5）三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，故（5）错误；

故答案为：（3）,（4）.

【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行公理，余角与补角的关系，垂线段的

性质.

13.（2021春•奉化区校级期末）如图，当Nl=70°,Z2=80o时，8至少转30度时,

b//a.8至少转60度时,bVa.

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，得到需要的度数，然后再计算至少还需要转

多少度；计算出目前6与a的垂线的夹角的度数即为至少需要转的度数.

【解答】解：因为/1=70°,

所以它的对顶角也等于70°.

当同旁内角互补的时候，b∕∕a,

因为/2=80°,

所以180-80=100（度）,

所以至少还需要转IOo-70=30（度）；

将6顺时针旋转，与a垂直.

90-80=10（度），

所以至少还需要转70-10=60（度）.

故答案为：30,60.

【点评】这道题主要考查平行线的判定定理，垂直的定义，在角度计算这一类题中，要

注意运用周角，平角，直角，对顶角的度数.

14.（2021春•召陵区期末）如图，点碓4曲延长线上，对于给出的四个条件：

（1）N3=∕4;（2）N1=N2;（3）NA=NDCE;（4）N次NABQI80°.

能判断46〃C济J有3个.

【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可.

【解答】解：（1）如果/3=/4,那么/•〃加，故（1）错误；

（2）Z1=Z2,瞩么AB//CIh内错角相等，两直线平行，故（2）正确：

（3）AA=ADCE,那么4?〃必；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；

（4）//NIQ=180°,那＞么ABHCH同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确.

即正确的有（2）（3）（4）.

故答案为：3.

【点评】此题考查的是平行线的判定定理，比较简单，解答此题的关键是正确区分两条

直线被第三条直线所截所形成的各角之间的关系.

15.（2021•柳南区校级模拟）如图，下列条件中：

①∕6+∕8G9=180°；②∕1=N2;③/3=/4；④/8=/5；

则一定能判定/6〃5的条件有①③④（填写所有正确的序号）.

【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定46〃5;

根据内错角相等，两直线平行可得③能判定46〃方；

根据同位角相等，两直线平行可得④能判定/6〃切.

【解答】解：①YN加/空9=180°,

：.ABHCD-,

②∙.∙N1=N2,

：.AD//CB-,

③∙.∙∕3=N4,

：.AB//CD-,

④∙.∙∕QN5,

：.AB//CD,

故答案为：①③④.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理.

16.（2020春•涟源市期末）如图，两直线a,b被第三条直线C所截，若Nl=50°,Z2=

130o,则直线a,6的位置关系是平行

【分析】因为/2与N3是邻补角，由己知便可求出N3=N1,利用同位角相等，两直线

平行即可得出a,A的位置关系.

【解答】解：VZ2+Z3=180o,/2=130°,

.∙.N3=50°,

VZl=50o,

.∙.Z1=Z3,

；.a〃。（同位角相等，两直线平行）.

【点评】本题考查了邻补角的性质以及判定两直线平行的条件.

17.（2018秋•柯城区校级期末）如图，直线a、6被直线C所截，现给出下列四个条件：

①N2=∕6;②Nl=∕3;③N1=N7;④N4+N5=180°；

其中能判定a〃8的条件序号是①③④.

【分析】根据两直线平行的判定定理即可判断.

【解答】解：①∙.∙N2=N6,

；.a〃。（同位角相等，两直线平行）：

②Nl=/3无法得到@〃A故此选项不合题意

③∙.∙∕5=N7,NI=N7,

ΛZ1=Z5,

.∙.a〃方（同位角相等，两直线平行）；

④∙.∙∕4+N5=180°,

.'・a//b↑t

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直

线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟记平行线的判定定理是解题的关键.

≡.解答题（共4小题）

18.（2018春•婺城区期末）如图，已知N4=NENC=/"请问如与四平行吗？并说明

理由.

【分析】由Nl=/而判定/C〃加；可得到/力物=∕P=∕C,可判定劭〃维

【解答】解：平行.理由如下：

∙.∙ZJ=N尸，

：.AC//DF,

INABD=ND,且NC=N〃

"ABD=NC,

：.BD//CE.

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，

即①两直线平行=同位角相等，②两直线平行Q内错角相等，③两直线平行，同旁内角

互补.

19.（2017春•诸暨市期末）如图所示，已知∕g∕6,//=NC,试说明切〃孙的理由.

【分析】依据NzI=NG即可判定％〃46,进而得出/27=/月劭，即可得到//勿=N

B,进而判定硕〃物1.

【解答】证明：∙.∙N4=NC,

：.DC//ΛB,

：.AD=NAED,

又,：ND=4B,

：.NAED=ZB,

:,ED//BF.

【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直

线平行：同旁内角互补，两直线平行.

20.（2017春•庆元县校级期中）如图，直线48,0被的拦截，若已知N1=N2.

VZ2=Z3（对顶角相等）,

又∙.∙∕1=N2（已知）

.'.Z1=Z3

根据（同位角相等，两直线平行）

AB//CD.

X

F

【分析】利用已知可得出N1=N3,再利用平行线的判定得出结论即可.

【解答】解：∙.∙N2=N3（对顶角相等），

又∙.∙N1=N2（已知），

ΛZ1=Z3,

.••/8〃切（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等，1,3,同位角相等，两直线平行，AB,CD.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键.

21.（2017•益阳模拟）如图，已知N16»=70°,ZACβ=60°,ZASC=50°.

求证：AB//CD.

【分析】求出N/6C+/以力=180°,根据平行线的判定推出即可.

【解答】证明：∙.∙∕1g70°,ZJG?=60°,

："BCD=NA侬/ACAYW,

,：ZABC=50°,

.,.ZASC+ZSCD=180°,

：.AB//CD.

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：同旁内角互补，两直线平行.

题组B能力提升练

选择题（共3小题）

1.（2019春•江北区校级期中）如图，若∕3=N4,则下列条件中，不能判定46〃3的是

)

C.Zl+Z3=90o且N2+N4=90°D,Zl+Z2=90o

【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可.

【解答】解：A,由Nl=N2,Z3=Z4,可以推出N∕6C=NW3,推出4?〃必，故本选

项不符合题意.

B、由Nl=N3,N2=N4,可以推出N46C=NOG?,推出46〃切，故本选项不符合题

意.

C、由Nl+N3=90°,N2+N4=90°,可以推出N4比三NZ⅞方，推出/6〃5，故本选项

不符合题意.

D、由∕l+N2=90°无法推出N∕6C=∕αK故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

2.（2019春•市中区期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是

（）

A.Z1=Z2B.如果/2=30°，则有/勿如

C.如果/2=45。，则有/4=D.如果n2=50。，则有以

（分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可

【解答】解：∙.∙NO6=N%6=90°,

ΛZ1=Z3,故/昔误.

VZ2=30o,

ΛZl=Z3=60o

.,.ZCzlf=90°+60°=150°,

：.ZE+ZCAE=180Q,

：.AC//DE,故8正确，

∙.N2=45°,

ΛZl=Z2=Z3=45o,

∙.∙N4N3=N*N4,

ΛZ4=30o,

VZi9=60o,

ΛZ4≠ZA故津误，

VZ2=50o,

ΛZ3=40o,

.∙.Z5≠Z3,

.∙.6C不平行故优昔误.

故选：B.

【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

3.（2021春•奉化区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺力〃胭定

不动，将含30°的三角尺4比绕顶点/I页时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平

行，如图2,当NBAD=I5°时，BC//DE,则N从〃（0°<ZβAD<l80o）符合条件的其

它所有可能度数为（）

DBAD

A.60°和135°45°、60°、105°、135°

C.30°和45°以上都有可能

【分析】根据题意画出图形，再山平行线的判定定理即可得出结论.

【解答】解：当〃'〃/时，NBAD=NDAE=45°；

当应7∕4>j,</EAB=NB=60°,

：.NBAANDA拱NEAB=45。+60°=105°；

当四〃Z½时，YNE=4EAB=90°,

ΛABAD=ZDΛE+ZEAB=450+90°=135°.

故选：B.

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及

直角三角板的性质求解是解答此题的关键.

二.填空题（共5小题）

4.（2021春•奉化区校级期末）如图，有下列条件：①N1=N2;②N3=∕4;③NQN

5；@ZB+ZBAD=180°.其中能得至U/8〃5的是②③（填写编号）.

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线

平行，据此进行判断即可.

【解答】解：①∙.∙N1=N2,

：.AD//BC-,

②∙.∙N3=N4,

J.AB∕∕CD∙,

③∙.∙∕8=N5,

：.AB//DC\

@