江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高一年级上册12月月考试题 数学 含解析

2023-2024学年第一学期高一年级12月学情调研测试

数学试题

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,设集合人斤1<“<5},集合'={°24,6},则McN的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

2.函数/（x）为定义在卜1,2。+1］上的偶函数，则实数。等于（）

A.-1B.1C.0D.无法确定

，贝

3.设。=logs。」，人—2tc=log23,1]()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a

9

4.设lg3=a,lg5=6,则lg^=()

aa

A.-B.2a+2b—2C.2a-2bD.

bl-b

丫

5.函数2x+1+1的大致图象为（）

'）10Y-10-x

6.若函数y=x2—2x—3的定义域为［―1/］,值域为［-4,0］,则实数/的取值范围为（）

A.1</<3B.1</<3C.-l</<3D.-1</<3

7.已知曲线^=logfl(x-2)+l(a>0且awl)过定点(5,。，若加+〃=5-且加>0,〃〉0,则2+,

mn

的最小值为（)

A16B.10C.8D.4

8.已知函数=--2a—1,且f(x)满足：对任意Xy,x2G[1,4],XJx2,都有

X

(X1-X2)[Xl/(X1)-Xif(X2)]>0>则实数。的取值范围是()

1177

A.—00—B.—,+00C.—,+00—00—

2222

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题是真命题的有（）

A."mx>0,》26'”的否定为“皆《0,x<e

8.“〃〉3且6〉3”是“ab>9”的充分不必要条件.

C.“Qw0”是“w0”的必要不充分条件.

D."a—6=0”的充要条件是“-=r\

b

10.已知函数/（》）=1。8“%图象经过点（27,3）,则下列结论正确的有（）

A./（X）在（0,+。）上为增函数

B./（x）为偶函数

若x>L则/(x)〉0

X]+x〉/(匹)+/(々)

D.若占>%>0，则/2

22

II.下列说法正确的是（）

A.x+，的最小值是2二^的最大值是:

B.

x4-工+12

C.Vx2+2+14

一1、一的最小值是2D.2-3%——（x>0）的最大值是2—4班

VX2+2x

12.函数/（力=%（1+4区），则（

A.对任意实数。，都有/（x）的图象关于原点对称.

B.存在实数。，使得/（X）的图象关于V轴对称.

C.对任意实数a<0,关于元的方程/(X)+」-=0有3个实数根.

8a

D.若任意实数占户2，当占，总有/(七)，贝!la»O.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若关于x的不等式/+办_5<。的解集为(―5,1),则不等式狈2+%—3>0的解集为.

14.已知函数/(%)=31+6的图象不过第二象限，则实数6的取值范围是.

15已知函数/(x)=ln(Jl+x2-x)+3,则/(lg5)+/1lgj=.

16.关于美的不等式ax+l_2jx—3x2〉0恒成立,则实数。的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算下列各式的值：

(1)0.125-7(—2『+兀。

log53

(2)21g2+lg25-5+log4V2.

18.已知幕函数/(x)="+/〃—5)廿+2的图象不过原点.

(1)求函数/(X)解析式；

x>0时,g(x)=2/(x)+京,

(2)若g(x)是定义在｛x|x#0｝上的偶函数,当求g(x)的解析式.

19.已知函数/(x)=/^+l是奇函数.

(1)求/(x)的定义域及实数。的值；

(2)用单调性定义判定/(x)的单调性.

20.某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电

a-2x(c”\

F，(OWXW45)

费。(单位：万元)与太阳能电池板面积尤(单位：平方米)之间的函数关系为C(x)=<

翌(x〉45)

JC

(。为常数).已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备

的工本费为0.1X(单位：万元)，记S(x)为该加工厂安装这种太阳能供电设备的工本费与该加工厂25年

额外消耗的电费之和.

(1)求出C(x)、S(x)的解析式；

(2)当x为多少平方米时，S(x)取得最小值？最小值是多少万元？

21.已知函数/(X):；.

(1)求不等式/(x)<g的解集；

(2)若函数y=[/(x)T+a{/(x)—3-1,x20的最小值为0,求实数•的值.

22.我们知道，函数/(x)图象关于原点中心对称的充要条件是/(x)为奇函数.该命题可以推广为：函数

/(x)的图象关于点尸(九〃)成中心对称的充要条件是V=/(X+加)为奇函数.已知函数

/(x)=ln——(e为自然对数的底数，约为2.718)

x+1

(1)求函数/(X)的函数值为0的X的值；

(2)探求函数/(x)图象的对称中心；

(3)写出/(x)的单调区间(无需过程)，求不等式/(41+/(—29—1)〉2的解集.

2023-2024学年第一学期高一年级12月学情调研测试

数学试题

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,设集合人斤1<“<5},集合'={°24,6},则McN的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由交集的运算及子集的概念计算即可.

【详解】由题意可知={0,2,4},有三个元素，

故其子集的个数为23=8个.

故选：D

2.函数/（x）为定义在［-l,2a+l］上的偶函数，则实数。等于（）

A.-1B.1C.0D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称即可得解.

【详解】因为函数/（x）为定义在［-1,2a+1］上的偶函数，

所以-1+2。+1=0,解得。=0.

故选：C.

3.设。=log3（）.l,b=2—'c=log23-贝U（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定出。，仇c与0」的大小关系，由此可得结果.

【详解】因为y=log2X,y=log3X在（0,+力）上单调递增，y=2*在（-*+②）上单调递增,

所以a=log30.1<log31—0,0<6=2§<20二1'1二bg22<log23=c,

所以。>Z)〉Q,

故选：A.

9

4.设lg3=a,lg5=b,则lg^=()

A.-B.2a+26-2C.2a-2bD.

b1-b

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.

ain

【详解】叼=3974=233-2妒=2"23=2”2（娱。75）=2"2（—）=2"2+纯

故选：B

5.函数/（x）=x的大致图象为（）

['10T-10-x

【答案】B

【解析】

【分析】先分析/（X）的奇偶性，然后根据x>0时/（x）的正负判断出正确图象.

【详解】因为10;l（TwO,所以xwO,所以定义域为｛x|"0｝且关于原点对称,

2

又因为/（_》）=x+l=_/（X）,所以/（X）为奇函数，故排除CD,

10"10,iox-io-

又因为x>0时，x〉—X,10'—10-'>0，所以x>0时/（x）>0,故排除A,

故选：B.

6.若函数了=——2x—3的定义域为[—I/],值域为[-4,0],则实数/的取值范围为(

A.1</<3B.1</<3C.-l</<3D.-1</<3

【答案】A

【解析】

【分析】确定/。)=—4,/(—1)=/(3)=0,根据值域得到参数范围.

[详解]y=/(x)=x2_2x_3=(x—l)2_4,/(1)=-4,/(-1)=/(3)=0,

函数/(x)的定义域为[—1/],值域为[-4,0],则实数/的取值范围为1〈/<3.

故选：A.

7.已知曲线歹=loga(x—2)+l(a>0且awl)过定点(s/),若加+〃=s-7且加>0,n>0,则2+,

mn

的最小值为()

A.16B.10C.8D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先由对数函数过定点，得出(S,。，再结合基本不等式得出结果.

【详解】因为曲线y=loga(x—2)+1(a>o且awl)过定点(s,/),

所以x-2=l,x=3ns=3,，=

则加+〃=s—/=2,

11(91]/、1(9〃加八11_\9nm

所以一+—=—x—+—•(冽+〃)=—x9+—+—+l>—10+2J—x一二o8,

mn2\mn)21加〃J2(vmn,

当且仅当——二—(加>0/>0),即3〃=加=—时取等号，

mn4

故选：C

8.已知函数f(x)=x-\-----2Q—I,且/(x)满足：对任意xl9x2£[1,4],占w都有

(xl-x2)[xl/(xl)-x2/(x2)]>0,则实数。的取值范围是()

I7

A.B.-,+oo—,+00

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式判断函数的单调性，结合二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】不妨设再,/e[L4],X]>x2,

由(X]—/)昌/(西)一%/(%)]>0nxj(石)一//(%)〉0=(X)〉%/(%)，

设g(x)=xf(x)=x2_(2a+l)x+a,xe[l,4],

因为当国>了2时，有再/(再)>了2/(%2),即g(xj〉g(%2),

所以函数g(x)在xe[l,4]时单调递增，g(x)的对称轴为x=，

所以有2"+1Wl=>a,

22

故选：A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题是真命题的有()

A."Hx>0,》》/"的否定为“曾(0,x<e='.

B.“a>3且方>3”是“仍>9”的充分不必要条件.

C.“aw0”是“。3w0”的必要不充分条件.

d

D."a—b=0”的充要条件是“一=1

b

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特称命题的否定形式可判定A,利用充分、必要条件的定义可判定B、C、D.

【详解】对于A项，“mx>0,xNe'”的否定为“Hx>0，x<e，"，故A错误；

对于B项，由“a>3且6>3”可推出“仍>9”成立，满足充分性，

而“ab>9"不能推出”。>3且6>3”不满足必要性，故B正确；

对于C项，由“awO”不能得到“abwO”，因为6是否为零不确定，即不满足充分性，

而由"abwO"可得"awO"且"6/0",满足必要性，故C正确；

d

对于D项，由“a—3=0”可得。=6,但不能推出“一=1”，因为6是否为零不确定，故D错误.

b

故选：BC

10.已知函数/(x)=log。x图象经过点(27,3),则下列结论正确的有(

A./(x)在(0,+8)上为增函数

B./(x)为偶函数

C.若x>l,则/(%)>0

DTxr〉。，则詈］〉/、)；/(%)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据/(27)=3先求解出。的值，由此可判断A；根据定义域可判断奇偶性即可判断B；根据单调

性分析/(x),/(l)的大小关系可判断C；根据对数运算结合对数函数单调性可判断D.

【详解】因为/(27)=3,所以log“27=3,所以3"=27,a=3,

对于A：因为a>l,所以/(x)在(0,+")上为增函数，故正确;

对于B：/(X)定义域为(0,+劝且不关于原点对称，所以/(x)不为偶函数，故错误;

对于C：因为/(x)在(0,+”)上为增函数，所以x>l时/(x)>/⑴=log31=0,故正确;

对于D：因为/仔，上］=1083仔彳”］,正)|^^=：1083%+；1083》2=1。836^，

又西〉工2>0时，4j%—J1］/=X6-4^)>0，所以再>J'1/，

所以/［宥卜/&);/(%),故正确；

故选：ACD.

II.下列说法正确的是()

A.XH—的最小值是2B.工-的最大值是:

x4一'+12

1D.2-3x」(x>0)的最大值是2—40

C.6+2+/、的最小值是2

G+2x

【答案】BD

【解析】

【分析】A：考虑x<0的情况；B：利用换元法求解出最大值；C：考虑取等条件是否成立；D：利用基本

4

不等式求解出3x+—的最小值，则原式最大值可求.

【详解】对于A：当x<0时，x+-=-(-x)+-^—<-2(-x)x-^—=-2,当且仅当x=—1时取等

X(-x)J'(-X)

号，故错误；

2Tl11

对于B：4~x+1~2~x+2X~1ex，令2'=/>0，原式等价于’1'>人

__+2t+-

110<----<—1

又因为/+lN2/fxL=2,当且仅当r=1时取等号，所以，1一2,所以最大值为:，故正确;

tVtt+z

对于c：因为4rd

当且仅当J》+2=一—时取等号,此时X无解，所以等号不成立，故C错误;

x2+2

对于D：当x>0时，2-3x-3=2-|3xx-=2-4^,

当且仅当3x=±即色时取等号，所以最大值为2-4道，故正确;

x3

故选：BD.

12.函数/(X)=x(l+a|x|),则()

A.对任意实数。，都有/(x)的图象关于原点对称.

B.存在实数。，使得/(x)的图象关于V轴对称.

C.对任意实数a<0,关于x的方程/(x)+[=0有3个实数根.

D.若任意实数占户2，当占，总有/(占)。/(》2)，则a之0.

【答案】ACD

【解析】

【分析】确定/(T)=-〃x)得到A正确,B错误，画出函数图像,根据图像确定C正确,考虑a<0,a=0,

a>0三种情况，结合图像得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：/(-x)=-x(l+«|x|)=-/W)函数定义域为R，是奇函数，正确；

对选项B：函数为奇函数且不恒为零，

故不存在实数。，使得/(x)的图象关于y轴对称，错误；

aX

对选项C：f(x)=<0/(x)+J-=o,即/(叫=一，a<0,

-ax+x,x<08a8。

画出函数图像，如图所示:

根据图像知有3个交点，正确；

对选项D：当再7/，总有/(西)//(》2)，故函数为单调函数,

“、\ax1+x,x>0

/⑴二彳，

-ax+x,x<0

当a<0时，根据图像1知不满足条件；

当4=0时，f(X)=X,满足条件；

综上所述：a>Q,正确；

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若关于x的不等式一+"―5<0的解集为(-5,1),则不等式以2+》—3>0的解集为

【答案】(-°0,-

【解析】

【分析】由已知不等式解集确定参数a=4,再求出不等式4/+x—3〉0的解集即可.

【详解】因为关于X的不等式x2+ax-5<0的解集为(-5,1),

所以X]=—5,X2=1是方程—+ax—5=0的两个根，由韦达定理可知a=4,

所以代入不等式可得4/+》—3〉0，

解得X的取值范围为(―8,—l)u1j+8；

故答案为：(-°0,-1)U

14.已知函数/(x)=3,i+b的图象不过第二象限，则实数6的取值范围是.

【答案】[-叫-；

【解析】

【分析】利用指数函数的性质与图象计算即可.

【详解】由已知可知：/(》)=31+6在口上单调递增，

故若要符合题意需：/(O)=3°-1+Z><O^Z)<-1.

故答案为：[―叱一；

15.已知函数/3=山(，17^"-》)+3,则/(lg5)+/]lg[]=.

【答案】6

【解析】

【分析】先根据题意求出/(-x)+/(x)的值，然后再求/(lg5)+/1lg，的值即可.

【详解】由/(x)=ln(Jl+x2—x)+3,xeR,

得/(-x)+/(x)=ln(Jl+%2+x)+3+ln(Jl+x2-x)+3=In(1+^:2-x2)+6=6,

所以/(lg5)+/Bg()=/(lg5)+/(—Ig5)=6.

故答案为：6.

16.关于x的不等式ax+l_2jx—3x2〉0恒成立,则实数。的取值范围是.

【答案】(—2,+8)

【解析】

【分析】利用分类讨论，分离参数计算即可.

【详解】由题意可知》一3》2NOnxeO,J,

显然当x=O时，原不等式恒成立，止匕时aeR,

当,原式等价于°〉些三豆Zlna〉2口

13」x\xx

易得令F^=tn2t—『+3)<a

对于函数g(/)=—『+2/—3(/20),易知g(/)<—2,

故a〉—2.

故答案为：(—2,+℃)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.

17.计算下列各式的值：

(1)0.125-3+J(-2『+兀。

1O853

(2)21g2+lg25-5+log4V2.

【答案】(1)11

⑵-3

4

【解析】

【分析】(1)由指数函数的运算得出结果；

(2)由对数函数的运算得出结果.

【小问1详解】

原式=2+8+1=11

【小问2详解】

113

原式=21g2+21g5_3+_=2—3+—=—三

444

18.已知幕函数/(x)=(苏+加—5)廿+2的图象不过原点.

(1)求函数/(X)解析式;

⑵若g(x)是定义在｛x|xwo｝上的偶函数，当x>o时，g(x)=2/(x)+-^-y,求g(x)的解析式.

【答案】18./(%)=-

X

2

—+x,x>0

x

19.g(x)=<

2

----x,x<0

x

【解析】

【分析】(1)由已知得出加？+加—5=1，求解得出加的值.结合图象不过原点，即可得出答案;

(2)代入得出尤>0时，g(x)的解析式.然后根据偶函数的性质，得出x<0的解析式.

【小问1详解】

由题意加之+加—5=1，解得：加=2或加=一3,

故/(x)=J或/(x)=1.

X

又幕函数/(x)=(苏+加—5)/+2的图象不过原点，

故/(x)=1

X

【小问2详解】

12

当x>0时，g(x)=2f(x)+——=-+x.

/\2

X/x<0,则-x>0,g(~xj-----x.

JC

2

又因为g(x)是偶函数，所以g(x)=g(-x)=----X.

X

’2

—+x,x>0

综上,g(x)=<\

----x,x<0

、x

a

19.已知函数/卜)=5力+1是奇函数.

(1)求/(X)的定义域及实数。的值；

(2)用单调性定义判定/(x)的单调性.

【答案】（1）定义域为（一”,0）U（0,+8）,0=2

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据分母不等于零即可求出函数的定义域，根据函数为奇函数可得/（-X）=-/（%）,进而可

求出。；

（2）利用作差法判断即可.

【小问1详解】

由2*—1彳0，得尤力0,

所以/（X）的定义域为（—8,0）U（0,+8）,

ZV

因为/（x）=^J+l是奇函数，贝lJ/（—x）=—/（x），

2—1

x

即3+1=-a「a・2a

-----------1-],即-----------1-----------

2%-1）1—2、2Y-1

所以"Q-1）=_2,则—。=—2,

\-r〜

所以4=2;

【小问2详解】

VX1?X2G（0,+8）,X1＜X2,

=+1]/，—+[=/2（2；J）

I"I，（2即-1）（2J）（2X,-1）（2%2-1）

由0＜西＜%,得2工2-2为＞0，2为一1〉0，2他一1〉0，

则/（再）-/（々）＞0,即/（再）＞/（々）,

所以/（X）在（0,+。）上单调递减，

同理/（X）在0）上单调递减.

20.某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电

a-2x小

------,（0<x<45）

20l7

费。（单位：万元）与太阳能电池板面积x（单位：平方米）之间的函数关系为C（x）=＜

明…）

X

(。为常数).已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备

的工本费为0.1X(单位：万元)，记S(x)为该加工厂安装这种太阳能供电设备的工本费与该加工厂25年

额外消耗的电费之和.

(1)求出C(x)、S(x)的解析式；

(2)当x为多少平方米时，S(x)取得最小值？最小值是多少万元？

130-2x,.325

口1，(。6斗5)^-2.4x,(0<x<45

【答案】⑴C(x)=-S(x)=，

”(x〉45)'^^+0.1x,(x>45)

、x

(2)当x为150平方米时，S(x)取得最小值，最小值是30万元.

【解析】

【分析】⑴根据条件先求解出。的值，然后C(x)可知，再根据S(x)=25C(x)+0.1x表示出S(x)；

(2)分类讨论S(x)的最小值：当0WxW45时，根据一次函数的单调性求解出最小值，当x>45时，利

用基本不等式求解出最小值，最后S(x)的最小值以及x的值可确定.

【小问1详解】

根据尤=50时,C(x)=2.5,

当0WxV45,C(x)=-所以^-------=2.5,解得a=130.

v72020

130-2x,,

-—，(—)

所以0(x)=L,

—,(x>45)

因为S(x)=25C(x)+0.1x,

4,5

--2.4x,(O<x<4

2

所以S(x)=-

^^+0.1x,(x>45)

【小问2详解】

当0WxV45,S(x)单调递减，所以S(x)mm=5(45)=54.5,

当x>45,S(x)=+O.lx>2栏X(o.lx)=27225=30.

xvx

2250

当且仅当一上=0.5即X=150时等号成立，故s(x)mm=30,

X

综上所述，5(x)mm=30,止匕时x=150,

故当x为150平方米时，S(x)取得最小值，最小值是30万元.

21.已知函数/(x)二；.

(1)求不等式/(x)<g的解集；

(2)若函数y=[/⑴丁+a•[/(1)-3一%],x20的最小值为0,求实数〃的值.

【答案】(1)(-1,1)

(2)a——2

【解析】

【分析】(1)将问题转化为关于3*的不等式，然后通过换元法令/=3"以及一元二次不等式的解法求解出

解集；

(2)先化简函数，然后通过换元法令/=3、-3-“将函数转变为关于/的二次函数，通过对称轴结合单调性

求解出。的值.

【小问1详解】

/(x)<|<»<|^3(3x)--10-3T+3<0，

令t=3,，则3/-10/+3<0,得:</<3,

即3T<3£<3，所以

所以原不等式的解集为(-1,1).

【小问2详解】

「，/用「,/、o-x-l「3*+3-阡3*-3一、32X+3-2X+23*-

了=[/卜)」+a-y(x)-3'J=---+a--