海南省四校2023届高三下学期联考数学含解析

海南省四校2023届高三考试题卷

数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合A={Mk—Z<2},B={2,3,4,5},则4B=()

A.{2}B.{2,3}C,{3,4}D.{2,3,4}

2.已知复数Z满足(z+2i"2-i)=5,则Z=()

A.2-iB.2+iC.-2-3iD.-2-i

d

3.已知以，b满足α=(2,2),网=2,且入6的夹角为:兀，贝山+。卜()

A.2√5B.2C.4D.2有

4.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的"太空之家"遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接,

需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点

中离地面最远的点)距地面Si近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面邑，地球的半径为R,则

该椭圆的短轴长为()

A.B.2λ∕¾

C.J(H+R)6+R)D.2j(S∣+R)S+R)

5.若抛物线C:y2=2px(p>0)的准线被曲线(χ+3y+V=5所截得的弦长为2,贝"=()

A1或5B.2或1()C.2或4D.4或8

6.已知等比数列{%}前3项和为42,a,-¾=21,则%=()

2

A.12B.6C.3D.

2

ɔ,IgzIgz

7.设x、y>ι,Z>0,右Z=X∙y,则—+——的最小值为()

2Ig%4Igy

3+走B.20+』C.-+—D.

A.20

84234

口InaIn。Inc,一，

「的大小关率头

8.已知实数a,b,rCY<M⅛zratl_-=__<o¼mlilJ∩U,U卜iCLJJykzJI)

ebc

A.b<a<cB.c<b<aC.a<b<cD.c<a<b

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所需要先进行体温检测.某学校对一周内甲、乙两名同

学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是()

36S

365

364

363

362

36J

B.甲同学体温的75%分位数为36.5C

C.乙同学的体温比甲同学的体温稳定

D.甲同学体温的众数为36.2C和36.5C，中位数与平均数相等

10.将函数/(X)的图象先向左平移•1个单位，再向上平移2个单位得到函数g(x)=2sin(2x+3j的图象,

则以下说法中正确的是()

(5兀、

A.函数/(x)的解析式为/(x)=2Sin2%+—+2

B.\：,-2)是函数/(x)的一个对称中心

C.尤=-7是函数/(χ)的一条对称轴

JTJT

D.函数/(X)在上单调递增

11.如图，在平行四边形ABCD中，AB=I,AD=2,NA=60°,沿对角线Bo将△43。折起到△

的位置，使得平面依。_1平面BCD,下列说法正确的有()

A.三棱锥P-Bcz)四个面都是直角三角形B.平面PCD_L平面PBD

c.Pr)与BC所成角的余弦值为立D.点8到平面PC。的距离为正

42

12.记/'(X)、g'(x)分别为函数/(X)、g(x)导函数，若存在XOWR,满足/(xo)=g(xo)且

/'(%)=g'(ʌo),则称X。为函数/(x)与g(x)的一个“S点”,则下列说法正确的为()

A.函数/(χ)=e'与g(x)=x+l存在唯一“S点”

B.函数/(x)=InX与g(x)=x-2存在两个“S点”

C.函数/(X)=尤与g(x)=χ2+2x—2不存在"S点”

D.若函数/(x)=or2T与g(x)=lnx存在"S点"，则”=∙∣

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.的展开式中的常数项为.

14.函数/(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，/(x)=4x+m,贝ιj∕[-g)=.

is.已知在四面体v—ABC中，VA=VB=VC=6,AB=RNACB=J则该四面体外接球的表面

4

积为.

29

16.已知双曲线C-氏=1,",F2分别为双曲线的左、右焦点，尸为双曲线上的第一象限内的点，点

/为aPEg的内心，点/在X轴上的投影H的横坐标为,△/耳心的面积的取值范围为

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.zΛBC的内角A,B,C分别为α,b,C.已知Sin(A+C)=8sin2g.

(1)求COS8；

(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①。=2；②SΔABC-2；③α+c=6.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

18.等差数列{%}("eN*)中，%a2,4分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意

两个数不在表格的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

（I）请选择一个可能的｛4，a2,%｝组合，并求数列｛%｝的通项公式.

（2）记（1）中您选择的｛α,J的前n项和为S.,判断是否存在正整数k,使得4,ak,Sm成等比数列？

若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.

19.如图，在三棱柱ABC-AgG中，底面ABC是以AC为斜边等腰直角三角形，侧面AAGC为菱

形，点A在底面上的投影为AC的中点O,且A3=2∙

B

（1）若M、N分别为棱的中点，求证：B∣M"平面CDN；

（2）E为45的中点，求直线OE与侧面AAgB所成角的正弦值.

20.某地A,B,C,D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该

型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：

A商场8商场C商场D商场

购讲该型冰箱数X3456

销售该型冰箱数y2.5344.5

（1）已知可用线性回归模型拟合y与X的关系，求y关于X的线性回归方程与=》x+3

（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元.若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p,

且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求P

的取值范围.

〃__

^jxiyi-nxy

参考公式：回归方程¥=队+%中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为5=母-------，⅛=y-⅛χ.

∑jx--nx

i=l

22

21.已知椭圆C：「+A1（。>6>0）的离心率为!，椭圆的右焦点F（LO）

a2b2

（1）求椭圆。的方程：

（2）A、B是椭圆的左、右顶点，过点P且斜率不为0的直线交椭圆C于点”、N,直线AΛ∕与直线x=4

交于点P.记P4、PF、BN的斜率分别为占、&、k3,是否存在实数/1,使得K+&=%&?

22.已知实数α>0,函数/（x）=Xlna-αlnx+（X-ej,e是自然对数的底数.

（1）当α=e时，求函数/（x）的单调区间；

（2）求证：/（x）存在极值点%,并求%最小值.

答案

1.B

解析：解：由题得A={x卜一Z<2}={x∣0<x<4},

所以AB={2,3}.

故选：B

2.A

/X/、55(2+i)

解析：因为(Z+R(2T)=5,则"izr2i=M浦r2i=2+Ti=2T.

故选：A.

3.B

解析：Q=(2,2),所以=20，Q∙A=WWcos1π=-4,卜+0=Q~+0-+20∙8=8+4-8=4,

所以卜+0=2.

故选：B

4.D

解析：由题意得α+c=B+R,ci—c—S-,+R,.'.b^=Cr—c1=(SI+R)(S,+7?),

故6=J(S∣+R)(S2+R),/.2b=2J(S∣+R)(S2+R),

故选：D.

5.B

解析：由题意可知，圆（x+3f+y2=5的圆心为M（—3,0）,半径为r=下,

抛物线C的准线方程为X=苫，圆心M到准线的距离为d=一勺3=,5-=2,

解得p=2或10.

故选：B.

6.D

解析：设等比数列{4}的公比为夕，

等比数列{α,,}前3项和42,当g=l时-4=0,不满足题意,

ɪ3

当时，at-----=42,又4一4=21,则α∣-qq3=21,

1一夕

i—q,

所以解得q=g,则4=24,则％=4/=24x1_L)=3.

i7

«1-aiq'

故选：D

7.A

解析：因为X、y>l,Z>O,Z2=x∙y,则lgz2=lg(u),即21gz=lgx+lgy,

由题意可得lgχ>(),lgy>0,

IgZ,IgZ21gz,21gzlgx+lgy,lgx+lgy3,Igy,IgX

用T以，十一十十十十

2Ig%41g,y4Ig%8Igy4Igx81gʃ84Igx81gy

Igx_35/2

81gγ-8+V

当且仅当ML=F-时，即当χ=y应时，等号成立,

41gx81gyJ

故选：A.

8.C

解析：由题意知。>0,〃>0,c>0,由---=----=--------<0,得0<。<1,0<bV1,c>1,

设/(X)=叱(χ>0),则/'(X)=匕学

当O<x<l时，/(x)>0,∕(x)单调递增，因e*2χ+l,

当且仅当X=O时取等号，故e">"(0<α<l),

又Ina<0,所以见二Ina,InbIna

>——,故l——>——,

ha

Λf(b)>f(β),则人。，即有0<αvb<l<c,故Q<b<c.

故选:C.

解析：对于A选项，乙同学体温最大值为36.5C，最小值为36.3C，故极差为0.2C，A错;

对于B选项，甲同学体温按照从小到大的顺序排列为:

36.2C，36.2C-36.4C,36.4C-36.5C-36.5C-36.6C.

又7χ75%=5.25,故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第6个数据，即36.5C，B对；

对于C选项，乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：

36.3C-36.3C，36.4C，36.4C，36.4C.36.5C∙36.5C，

故乙同学体温的平均数为：ɪ(36.3+36.3+36.4+36.4+36.4+36.5+36.5)=36.4C,

故乙同学体温的方差s；=；[(36.3-36.4)2+(36§,36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.5-36.4)2=ɪ；

又甲同学体温的平均数为：1(36.2+36.2+36.4+36.4+36.5+36.5+36.6)=36.4C,

故甲同学体温的方差

s；=ɪ(36.2-36.4)2+(36.2-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.6-36.4)[=葛，

又故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C对；

对D：甲同学体温的众数为36.2C,36.4C-36.5C;

中位数为36.4C与平均数36.4C相等，D错.

故选：BC.

10.BD

解析：将g(x)=2sin(2x+V的图象先向下平移2个单位再向右平移三个单位可得/(x)的解析式为

((λ>(λ

f(x)—2sin2X—πH—π—2—2sin2x—π—2——2cos2x—2,故A错误；

H3J6；I2)

因为一：)=-2cos(—5)—2=-2,所以卜;,-2)是函数/(χ)的一个对称中心，故B正确；

因为-2COS(一1)-2=—1不是/(x)的最大值或最小值，故X=T不是函数/(x)的一

条对称轴，故C错误；

TCTrTCTCTC、

当Xek'W时，2xeH)因为y=cosf在reʒ-,-上为减函数，所以/(x)=-2CoS2x—2在

ππ

XG上为增函数，故D正确.

64

故选：BD

11.ABD

解析：48CD中CD=1,BC=2,ZA=60°,

由余弦定理得Bo=6，故Bf>2+Cf)2=BC2,所以BO，C£),

因为平面BBoj_平面BCr>,平面PBO［平面JBcD=30,Cz)U面BCD,

所以CD_L平面PBE>,JpDU平面尸卸)，则CDJ_P£>；同理依，平面CBD,

因为CDu平面PeD,所以平面PCZ5_L平面PQ,A、B正确；

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(G,O,O),C(O,I,O),p(ʌo,i),

因为力尸=(6,0,1),βC=(-√3,l,θ),

廿八DBCDP33

所以COSBC,OP=Mi网=-I,即Pf)与Be所成角的余弦值为：，C错误；

由上知：OC=((),1,()),OP=(省,0,1),若m=(x,y,z)为面尸CD的法向量,

所以VL,令X=1，则m=(1,0,—JJ),

m∙DP=√3x+z=0

而38=(、石,0,0),则8到平面尸8的距离为|£>8k05(加,。8)|=|5^?=*，D正确.

故选：ABD.

C

\

y

12.ACD

解析:令MX)=/(x)-g(%)∙

对于A选项，〃(x)=e"-x—1,则//(x)=e'-l,

由∕z'(x)<O可得x<0,由〃'(χ)>0可得χ>0,

所以，函数∕z(x)在(-,O)上单调递减，在(O,+8)上单调递增,

所以,Λ(x)>Λ(θ)=eo-0-1=0,所以，Λ,(θ)=Λ(θ)=O,

此时，函数/(x)=e*与g(x)=x+l存在唯一“S点”，A对;

1x

对于B选项，∕z(x)=InX-X+2,则(X)=——1=------,

函数〃(X)定义域为(0,+8),令/(x)=0可得χ=l,且Ml)=InIT+2=l≠0,

所以，函数/(x)=InX与g(x)=x-2不存在“S点”，B错;

对于C选项，/?(X)=X—(x~+2x—2)=—x?—x+2,则〃'(X)=—2x—1,

令MX)=O可得f+x—2=0,解得X=I或—2,但〃'(1)=一3彳0,"(—2)=3HO,

此时,函数/(x)=X与g(x)=f+2x-2不存在“S点”，C对;

对于D选项，h(x)-ax2-Inx-I,其中x>0,则〃'(x)=2ɑι-L

若函数/(x)=OtZT与g(x)=Inx存在"S点”,记为％,

∕J(X0)=tuɑ-Inx0-1=OAo=-I=

则)ɪn,解得小,D对.

h(x)=20r-----=Oe

〔00⅞卜=5

故选：ACD.

13.24

解析：解：由通项公式得：&I=CK2x)j(B≈24^rq√-2r,

令4-2r=0,即可得r=2,

所以展开式的常数项为：2"2Cj=24.

故答案为：24

14.-2

解析：由题设，/(O)=m=Q,故x≥0时/(x)=4x,

所以/(；)=4x；=2,故/(—；)=—/(；)=一2.

乙乙∖NF

故答案为：一2

9π9

———π

15.2##2

解析：∙.∙VA=VB=VC=6.∙.V在平面ABC的射影为三角形ABC的外心.

又AB=6,NACB=*,所以由正弦定理得：

三角形ABC的外接圆的半径'=[ʒF=I

2sιn-

4

设四面体外接球的半径为R,（√Σ-K）?=R2-1∙解得：R=也.

所以外接球的表面积为4兀R2Y'摹

故答案为：—.

2

16.①.3②.（°，2°）

解析：由题意得：¢2=9+16=25,故内闾=2c=10,

设点/（无i，X）,且/在KK上垂足为”，

根据双曲线定义及切线长定理得：∖PFl∖-∖PF2∖^2a^∖HFl∖-∖HF2∖,

又∣"6∣+∣"R∣=2c,解得：I/闽=α+c,

所以点H坐标为（Q,0）,即横坐标为3；

44

渐近线V=1X的倾斜角为。，则tan。=1，

记NlF=a,则2a∈（0,兀一O）,

θ

20tann4Θ1

又-----⅛=tan(9=-,解得：tan•；；■=；；(负值舍),

I-tan2^322

2

所以tana∈(0,2),则yl=∣H∕^∣tan(2=2tana∈(0,4),

所以S酩=J隼讣M=5χw(0,20).

故答案为：3,(0,20)

17.(1)

BBB

由A+3+C=π,则A+C=τι-8,所以Sin(A+C)=SinB=2si∏5CθSE=8si∏2耳，

r.B,、E,B..B,B1

又Sln-N0,贝!!cos—=4Sln—,1故tan—=一，

22224

ɪ

2CtanB-

2_815

由tanB=._____2_.τrlP√Xτ£R)∈u("U)q兀)、,则ITlIl3cos。UB=-

22

2B^15,V8+15^17

l1-tan^—ɪ-ɪ

216

(2)

O

选①②：b=2,SAABC=2，由(I)知：sinB=—,

由CoSB="-+厂―4=”,SABC=LacSinB=2,则αc=?,

Iac1722

UU［、［(Q+c)——2。C—4(a+。)？-2115-.∣、2、，LL/

所以ʌ-------------------ɪʌ--------------=一，则rf(z0+c)2=36,故α+c=6∙

Iac1717

Q

选②③：SAABC=2,α+c=6,由(1)知：sinB=—,

1.C17

由s.=—αcsι∏B=2,则。c：=---,

abc22

32

由=Q2-Vc1-IaccosB=(a+。)？一2ac(l+cos3)=36-17x}=4,故匕=2.

选①③：b=2,Q+C=6,

由6=ɑ?+/-2αccos8=(。+C)2-2。C(I+cosB)=36-^ac=4,可得。c=ɪɪ,

172

81

由(1)知：sinB=—,则Snee=~CicsinB=2.

18.(1)

解：由题意可知，有两种组合满足条件.

①“∣=8,a2=12,α3=16,此时等差数列｛α,,｝中，q=8,公差d=4,

所以数列｛α,,｝通项公式为。“=4〃+4.

②ɑ∣=2,a2=4,ai=6,此时等差数列｛%｝中，％=2,公差4=2,

所以数列｛«„｝的通项公式为％=2〃.

(2)

2

解：若选择①，Sn=2∕7+6»,

22

则Sk+2=2(k+2)+6(A+2)=2k+14Λ+20.

若4，ak,S"+2成等比数列，则齿=q∙S*+2,

即(4女+4)2=8(2公+14%+20),MWΛ2+2Λ+1=A:2+7)1+10.即5后=—9.

此方程无正整数解，故不存在正整数使q，ak,S*2成等比数列.

2

若选择②，Sn=n+n,

则S*+2=(左+2)2+%+2=公+5%+6.

若%ak,S*+2成等比数列，则d=q∙S*+2,

即(2左)2=2俨+5左+6),整理得二一5%一6=0,

因为k为正整数，所以2=6.

故存在正整数依左=6),使得4,4，S"2成等比数列.

19.(1)

如下图，连接ME>,由M,。分别是AB,AC的中点，故MD//BC且MD=,

2

在三棱柱ABC-AqG中，N是BC中点、,故BIN//BC且B∣N=gB∣C∣=gBC,

所以MD∕∕B∣N且MD=BlN,即B∣MDV为平行四边形，故B、M/IND,

又BlMa面CrW,NDU面CDN,故与M//平面CDN；

(2)

由点Al在底面上的投影为AC的中点。，即A。J■面A8C,。8,。。＜=面48。,

所以4。，。氏4。

由底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，则。BLDC,

所以C两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系D-xyz,

所以8(60,0),A(0,-^,0),A(0,0,瓜EC√6)

则AB=(&,√2,0),A√l1=(0,√2,√6),DE=(ɪ,ɪ,ʌ/ð)

m∙AB=y∣2x+V∑y=O

若加=(九,y,z)为侧面A448的法向量，则＜令X=JL则m=(石,—6,1)，

m∙AA1=V∑y+ʌ/ðz=O

故於用=与,即直线DE与侧面AAB4所成角的正弦值为手.

20.(1)

一3+4+5+6AU—2.5+3+4+4.5C_4

X=---------------=4.5,y=---------------------=3.5,ZXiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,

44/=I

4

2222

^χ2=3+4+5+6=86.

/=1

b…66.5-4×4.5×3.5-•一

所以〃=-Z——=θ∙7.则α=y-8x=3∙5-0.7χ4.5=°.35∙

86-4×4.5^

故y关于X的线性回归方程为y=0,7x+0.35.

(2)

设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X,则X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=O)=(l-p)(2-2p)=2/72-4p+2,

P(X=I)=(1_〃)(2〃-1)+〃(2-2〃)=-4〃2+5〃_I,

P(X=2)="(2"7)=2∕r.

所以，X的分布列为

X012

P2p2-4p+2-Ap2+5p-lZp?-P

所以E(X)=OXN-4p+2)+lχ(τ∕+5p一ι)+2χ(2p2-p)=3p-l,

E(40()0X)=4000(3P-1).

即解得又!<

令矶4K)OOX)W6000,4000(3"T)W6000,p≤*,p<1,

62

所以g<P≤-7.所以〃的取值范围为(.

6126J

21.

(1)

22

解：因为椭圆C:鼻+方=l(α>h>0)的离心率为椭圆的右焦点F(1,0),

Qɪ/

所以,c=l,-=-，则。=2,故b=Ja1-C1=后

a2

22

因此,椭圆。的方程为2+二=1.

43

(2)

证明：

设Λ∕(x1,χ)∖N(X2,%)，设直线的方程为X=冲+1，其中〃z≠0,

,92

土+?_=]

联立「43，得(3m2+4)V?+6%，一9=。，Δ=36m2÷36(3m2÷4)>O,

V=my+1