人教A版高中数学必修四 第三章《两角和与差的正弦余弦正切公式》课下检测

【创新方案】2013版高中数学第三章3.13.1.2NO.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课下检测新人教A版必修4一、选择题1．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析：|a－b|＝eq\r(cos75°－cos15°2＋sin75°－sin15°2)＝eq\r(2－2cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝eq\r(2－2cos60°)＝1.答案：D2．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，那么tan(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(13,18) B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22) D.eq\f(3,18)解析：tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tanα＋β－tanβ－\f(π,4),1＋tanα＋βtanβ－\f(π,4))＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq\f(3,22).答案：C3．已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sin(α＋eq\f(7,6)π)的值是()A．－eq\f(2\r(3),5) B.eq\f(2\r(3),5)C．－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)解析：cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝cosαcoseq\f(π,6)＋sinαsineq\f(π,6)＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\r(3)(sineq\f(π,6)cosα＋coseq\f(π,6)sinα)＝eq\r(3)sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4\r(3),5)，∴sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(4,5)，∴sin(α＋eq\f(7,6)π)＝sin(α＋eq\f(π,6)＋π)＝－sin(α＋eq\f(π,6))＝－eq\f(4,5).答案：C4．(2012·四川高考)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝()A.eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(5),10) D.eq\f(\r(5),15)解析：由题意知sin∠BEC＝eq\f(1,\r(5))，cos∠BEC＝eq\f(2,\r(5))，又∠CED＝eq\f(π,4)－∠BEC，所以sin∠CED＝sineq\f(π,4)cos∠BEC－coseq\f(π,4)sin∠BEC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2,\r(5))－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(10),10).答案：B二、填空题5．函数f(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x的值域为________．解析：∵f(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2(eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x)＝2sin(2x－eq\f(π,6))，∴f(x)∈[－2,2]．答案：[－2,2]6．若tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，则tanα＝________.解析：法一：∵tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝3.法二：tanα＝tan[(α－eq\f(π,4))＋eq\f(π,4)]＝eq\f(tanα－\f(π,4)＋1,1－tanα－\f(π,4))＝eq\f(\f(1,2)＋1,1－\f(1,2))＝3.答案：37．在△ABC中，若4sinA＋2cosB＝1,2sinB＋4cosA＝3eq\r(3)，则sinC的值为________．解析：由已知得(4sinA＋2cosB)2＋(2sinB＋4cosA)2＝28，即16＋4＋16(sinAcosB＋cosAsinB)＝28，∴20＋16sin(A＋B)＝28，∴sin(A＋B)＝eq\f(1,2)，∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.解析：由已知得：sinθcos24°＋cosθsin24°＝cos24°cosθ＋sinθsin24°⇒(sinθ－cosθ)(cos24°－sin24°)＝0⇒sinθ＝cosθ⇒tanθ＝1，∴tan(θ＋60°)＝eq\f(1＋\r(3),1－\r(3))＝－2－eq\r(3).答案：－2－eq\r(3)三、解答题9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(4,5)，β是第三象限角，求sin(β＋eq\f(π,4))的值．解：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝eq\f(4,5)，∴sinβ＝－eq\f(4,5)，又β是第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(3,5)，∴sin(β＋eq\f(π,4))＝sinβcoseq\f(π,4)＋cosβsineq\f(π,4)＝(－eq\f(4,5))×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).10．(2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))，x∈R.(1)求f(eq\f(5π,4))的值；(2)设α，β∈[0，eq\f(π,2)]，f(3α＋eq\f(π,2))＝eq\f(10,13)，f(3β＋2π)＝eq\f(6,5)，求cos(α＋β)的值．解：(1)∵f(x)＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))，∴f(eq\f(5π,4))＝2sin(eq\f(5π,12)－eq\f(π,6))＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).(2)∵α，β∈[0，eq\f(π,2)]，f(3α＋eq\f(π,2))＝eq\f(10,13)，f(3β＋2π)＝eq\f(6,5)，∴2sinα＝eq\f(10,13)，2sin(β＋eq\f(π,2))＝eq\f(6,5)，即si