第09讲 向量应用（四大题型）（原卷版）

第09讲向量应用【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．（3）把运算结果“翻译”成几何关系．知识点二：向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．【典型例题】题型一：利用向量证明平面几何问题【例1】（2024·高一课时练习）在中，是三条边上的高，求证：相交于一点.【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．【变式1-2】（2024·河南信阳·高一校联考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．

(1)请用，表示向量；(2)若，设，的夹角为，若，求证：．【变式1-3】（2024·四川凉山·高一阶段练习）用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？

题型二：利用向量解决平面几何求值问题【例2】（2024·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．(1)若，，求x，y的值；(2)求最小值．【变式2-1】（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点.(1)若，求（用的式子表示）；(2)求的取值范围.【变式2-2】（2024·广东佛山·高一顺德一中校考期末）已知正六边形ABCDEF的边长为1，(1)当点M满足__________时，．（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）(2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求的取值范围．题型三：向量在物理中的应用【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．

【变式3-1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）

(1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；(2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？【变式3-2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．

(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．【变式3-3】（2024·高一课时练习）两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是与轴、轴同方向的单位向量）．求：(1)分别对该质点做的功；(2)的合力对该质点做的功．题型四：平面几何中的平行（共线）问题【例4】（2024·安徽阜阳·高一安徽省太和中学校考阶段练习）如图，的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H．若与共线，则（

）A． B．C． D．【变式4-1】（2024·高一课时练习）已知，，，，，则以，为邻边的平行四边形的对角线的长为．【变式4-2】（2024·高一课时练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标．【变式4-3】（2024·高一课时练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.【过关测试】一、单选题1．（2024·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽黄山·高一统考期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西宝鸡·高一统考期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（

）A．N B．5N C．N D．10N4．（2024·广西·高一校联考期末）若非零向量与满足，且，则为（

）A．三边均不等的三角形 B．直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形5．（2024·陕西渭南·高一统考期末）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（

）A． B． C． D．6．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2024·高一课时练习）河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（

）A．10 B． C． D．128．（2024·江苏淮安·高一统考期末）已知点P是边长为1的正方形的对角线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（

）A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为C．当时， D．当时，10．（2024·广东佛山·高一统考期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（

）A．当该物体处于平衡状态时，B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为C．当物体所受合力为时，D．当时，11．（2024·浙江·高一期末）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（

）A．这艘船航行速度的大小为B．这艘船航行速度的大小为C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为12．（2024·全国·高一专题练习）已知点为外接圆的圆心，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2024·云南保山·高一统考期末）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为，.

14．（2024·江苏南京·高一校考期末）如图所示，为正三角形，，则．

15．（2024·云南大理·高一统考期末）在中，为其外心，，若，则．16．（2024·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）在正三角形中，，D是的中点，E是的中点，则．四、解答题17．（2024·湖北武汉·高一统考期末）已知点，直线与单位圆在第一象限的交点为.

(1)求；(2)求.18．（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.(1)用，表示，.(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.19．（2024·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.20．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．(1)求向量与夹角的余弦值；(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．21．（2024·四川绵阳·高一统