第08讲 向量基本定理及坐标表示（十二大题型）（原卷版）

第08讲向量基本定理及坐标表示【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．这说明如果且，那么．③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．知识点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算．知识点二：平面向量的坐标表示1、正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点诠释：如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．知识点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．知识点三：平面向量的坐标运算1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运算坐标语言加法与减法记，，实数与向量的乘积记，则2、如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示1、平面向量平行（共线）的坐标表示设非零向量，则，即，或．知识点诠释：若，则不能表示成因为分母有可能为0．2、三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知，，若则A，B，C三点共线．知识点五：向量数量积的坐标表示1、已知两个非零向量，，2、设，则或3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．知识点六：向量在几何中的应用（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件（3）求夹角问题，利用（4）求线段的长度，可以利用或【典型例题】题型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式1-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【变式1-2】（2024·山东·高一统考期末）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和题型二：用基底表示向量【例2】（2024·全国·高一假期作业）在中，为边上的中线，，则（

）A． B．C． D．【变式2-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（

）

A． B． C． D．【变式2-2】（2024·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点．记，，则（

）

A． B．C． D．【变式2-3】（2024·陕西·高一校联考期末）如图，在中，设，，，，则（

）

A． B．C． D．题型三：平面向量的坐标表示【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．

【变式3-1】（2024·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．【变式3-2】（2024·全国·高一课堂例题）如图，设，，，P（x，y）是平面直角坐标系中的4个点，且，．求在基下的坐标．

【变式3-3】（2024·全国·高一随堂练习）已知向量，，，求，并用标准正交基表示.题型四：平面向量加、减运算的坐标表示【例4】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，，的坐标．【变式4-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、的坐标，求、的坐标．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．题型五：平面向量数乘运算的坐标表示【例5】（2024·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则【变式5-1】（2024·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为.【变式5-2】（2024·高一课时练习）设点，，点在的延长线上，且，则点的坐标是．【变式5-3】（2024·山东淄博·高一校考期末）已知向量，，，且，则.题型六：向量共线的判定【例6】（2024·全国·高一随堂练习）判断下列各组三点是否共线：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【变式6-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线．【变式6-2】（2024·全国·高一课堂例题）设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线．题型七：利用向量共线的坐标表示求参数【例7】（2024·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）若向量，，且，则实数x的值为．【变式7-1】（2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）已知，三点、、共线，则．【变式7-2】（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）向量，，，，若，则.题型八：定比分点坐标公式及应用【例8】（2024·山西运城·高一统考期末）已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为．【变式8-1】（2024·湖北·高一宜昌市夷陵中学校联考期末）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为．【变式8-2】（2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为.题型九：数量积的坐标运算【例9】（2024·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）已知，，若，则x等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式9-1】（2024·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期末）已知平面向量，，，若∥，则（

）A． B． C． D．【变式9-2】（2024·北京平谷·高一统考期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（

）

A．11 B．7 C．3 D．【变式9-3】（2024·重庆·高一西南大学附中校考期末）在矩形中，，，点是AB中点，点P在BC边上，若，则（

）A． B． C． D．题型十：平面向量的模【例10】（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．【变式10-1】（2024·全国·高一专题练习）已知向量，且，则等于（

）A．5 B． C． D．【变式10-2】（2024·云南昆明·高一校考阶段练习）设向量，，，则（

）A． B． C． D．10题型十一：平面向量的夹角、垂直问题【例11】（2024·河北邢台·高一统考期末）已知向量，，且，的夹角为钝角，则的取值范围为【变式11-1】（2024·云南昆明·高一校考阶段练习）设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为．【变式11-2】（2024·陕西榆林·高一校考期末）已知向量.(1)求；(2)设的夹角为，求的值；(3)若向量与互相垂直，求的值.【变式11-3】（2024·陕西西安·高一校考阶段练习）已知向量，，，且，(1)求与；(2)若，，求向量，夹角的大小.【变式11-4】（2024·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点．(1)求；(2)求．题型十二：平面向量数量积的综合应用【例12】（2024·浙江台州·高一温岭中学校考期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式12-1】（2024·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）已知中，是边（含端点）上的动点．

(1)若点为与的交点，请用表示；(2)若点使得，求的取值范围．【变式12-2】（2024·天津·高一天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

(1)求角B的大小；(2)若，且，，求的面积；(3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围.【过关测试】一、单选题1．（2024·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）已知，，若，则（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（

）A． B． C． D．3．（2024·新疆阿克苏·高一校考期末）已知向量，，则（

）A． B．5 C． D．44．（2024·西藏林芝·高一校考期末）已知向量，，则等于（

）A． B． C． D．5．（2024·四川资阳·高一统考期中）已知，，，则（

）A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线6．（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．7．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高一统考期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．8．（2024·天津·高一天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·全国·高一假期作业）设向量，，则（

）A． B．C． D．与的夹角为10．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）已知向量，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．在上的投影向量为 D．若∥，则11．（2024·山东青岛·高一青岛二中校考期末）已知平面向量，则下列说法正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量为C．与垂直的单位向量的坐标为或D．若向量与非零向量共线，则12．（2024·浙江台州·高一温岭中学校考期末）已知边长为2的正方形ABCD中，点在四条边上移动，则下列结论正确的是（

）A．当E为BC中点时， B．当E为BC中点时，C．当E在边CD上移动时，是定值 D．当E在边CD上移动时，是定值三、填空题13．（2024·新疆喀什·高一统考期末）已知中，D为的中点，，若，则.14．（2024·北京怀柔·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，点P满足，若，则的值是．15．（2024·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校联考