2023-2024学年乌鲁木齐市十一中高三数学下学期入学考试卷附答案解析

-2024学年乌鲁木齐市十一中高三数学下学期入学考试卷总分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，若复数，则复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是(

)A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（）A．1 B．3 C．16 D．204．函数的图像大致是（

）A． B．C． D．5．已知三个顶点，，都在曲线上，且（其中为坐标原点），，分别为，的中点，若直线，的斜率存在且分别为，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A．B．C． D．7．函数以2为最小正周期，且能在时取得最大值，则的一个值是（

）A． B． C． D．8．记为等比数列的前项和．若，则（

）A．24 B．12 C．6 D．3二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.9．若一个直角三角形的两条直角边长分别为3与4，则以其直角边为旋转轴，旋转而成的空间图形的侧面积为（

）A． B． C． D．10．抛物线的焦点为F，若P是抛物线C上任意一点，直线PF的倾斜角为，点M是线段PF的中点，则下列说法正确的是（

）．A．若，则 B．点M的轨迹方程为C．的最小值为 D．在y轴上存在点E，使得．11．已知，则关于x的方程下列结论正确的是（

）A．若，则方程有实数解B．若方程有实数解，则C．若，则方程在上有实数解D．若方程在上有实数解，则12．甲袋中有5个红球15个白球，乙袋中有5个红球5个白球，从两袋中各摸出一个球.下列结论正确的是（

）A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．已知向量，则下列命题中成立的有.①；

②；③；④；

⑤；

⑥.14．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为.15．直线与圆相交于A，B两点，弦长的最小值为．16．若函数的导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则；根据上述性质推断：当且时，的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）17．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．18．已知等差数列的前项和为且，在等比数列中，（1）求数列及的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，求．19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．20．如图，四棱锥中，，，，，，.（1）求证：；（2）求钝二面角的余弦值.21．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.22．已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.1．A【分析】由复数的模长及除法运算求解即可【详解】则=，其共轭复数为，对应的点为位于第一象限故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．A【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围【详解】易得M={x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；故选:A．3．D【分析】要抽取的人数除以总人数等于抽到高级管理人员数除以高级管理人员总数求解.【详解】解：由题意可得=，所以m=20，故选：D.4．A【分析】先求解函数定义域，进而化简为，判断函数的奇偶性和函数值的符号，通过排除法即可得出结果．【详解】∵，∴函数定义域为关于原点对称，，函数为奇函数，由易得的图象为A．故选：A5．D【解析】由题意可得为的中点，又∥，∥，即可得直线的斜率分别为，，设，可得，从而可求得结果【详解】解：因为（其中为坐标原点），所以，即，所以为的中点，即关于原点对称，因为，分别为，的中点，所以∥，∥，因为直线，的斜率存在且分别为，，所以直线的斜率分别为，，设，则，所以，所以，所以的取值范围为，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的性质，解题的关键是由已知条件得到关于原点对称，进而用的坐标把表示出来，化简为定值，再利用基本不等式可得答案，考查计算能力，属于中档题6．A【分析】对函数求导，将问题转化为在上恒成立，结合函数的单调性，计算即可得出结果.【详解】由题意得，的定义域为，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，又函数在上单调递减，所以.故选：A7．A【分析】利用三角函数恒等变换得到，由最小正周期求出，由得到，从而求出答案.【详解】函数，因为，所以，解得，由题意得，∴，，∴，，可知当时，满足要求，其他选项均不合要求.故选：A8．B【分析】根据已知求出等比数列的基本量，求得，从而求得.【详解】设等比数列的公比为，若，则，两式相除得，即，解得，从而，则.故选：B.9．BC【分析】由题得旋转而成的空间图形是圆锥，分底面半径为3和4两种情况讨论计算得解.【详解】解：由题得旋转而成的空间图形是圆锥，母线长为5.若底面半径为3，则侧面积为；若底面半径为4，则侧面积为．故选：BC10．BC【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，然后逐项分析、计算作答.【详解】抛物线的焦点为，准线，对于A，直线的方程为：，由消去y并整理得，解得，，则或，A不正确；对于B，设点，则点，而P是抛物线C上任意一点，于是得，即，所以点M的轨迹方程为，B正确；对于C，设点，则，当且仅当时取“=”，即的最小值为，C正确；对于D，因点M的轨迹方程为，则设，令，有，，于是得为锐角，D不正确.故选：BC11．ACD【分析】由解得方程有实数解时a的范围，然后可判断AB；将方程有解转化为函数与的图象有交点，数形结合可判断CD.【详解】方程有实数解，则，解得或，故A正确，B错误；将方程变形得，构造函数，，要方程在上有实数解，即要函数与的图象在区间上有公共点，当时，经过点，当时，经过点，将点代入，解得，将点代入，解得，所以时，函数与的图象在上有公共点，反之成立，故CD正确.故选：ACD．12．AC【分析】分别求出从甲袋中、乙袋中摸出一个红球的概率，再借助相互独立事件及对立事件的概率公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】令从甲袋中、乙袋中摸出一个红球的事件分别为A，B，事件相互A，B独立，则，，对于A，2个球都是红球的事件为AB，则，A正确；对于B，2个球不都是红球的事件的对立事件为AB，则概率为，B不正确；对于C，至少有1个红球的事件的对立事件为，则概率为，C正确；对于D，2个球中恰有1个红球的事件为，则概率为，D不正确.故选：AC13．②③④【分析】利用向量的相关定义、向量的线性运算以及向量的数量积判断即可.【详解】对于①：若，零向量与任何向量都平行，但与不一定平行，①错误；对于②：，，，，，②正确；对于③：由向量数量积的结合律得到：，③正确；对于④：由向量数量积的交换律得到：，④正确；对于⑤：表示的是与共线的向量，表示的是与共线的向量，很显然不确定与是否共线，即不一定有结论成立，⑤错误；对于⑥：若，则，但不确定与是否相等，即不一定有结论成立，⑥错误.故选：②③④.14．【分析】根据给定条件，求出正四棱台的对角面等腰梯形的高即可作答.【详解】正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高，因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3，则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为，腰长为3，因此等腰梯形的高为，所以四棱台的高为.故答案为：15．【分析】结合圆的几何性质求得弦长的最小值.【详解】圆可化为，所以圆心为，半径为，直线过点.，所以点在圆内.圆被轴平分，在轴上，所以当直线与轴垂直时，最小，也即时，最小，，所以弦长的最小值为.故答案为：16．【分析】对求导可得，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值.【详解】设，，则，则，，由于恒成立故有如下性质：.则，∴的最大值为，故答案为：，.17．(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以.（2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.18．（1）或；（2）【解析】（1）对取，，结合，得出①，再由等差数列的性质得出②，联立①②，得出数列的通项公式以及，在求出数列的首项和公比，即可得出的通项公式；（2）由等差数列的求和公式，得出数列的通项公式，由裂项求和法得出.【详解】（1）且①∵数列是等差数列，，即②由①②得∴的公比或．（2）由（1）知，【点睛】本题主要考查了求等差和等比的通项公式，裂项求和法求数列的和，属于中档题.19．（1）0.3；（2）（3）【分析】(1)根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在内的概率；(2)由直方图左右两边面积相等处横坐标计算出中位数；(3)计算出与分数段的人数，用分层抽样的方法求出在各分数段内抽取的人数组成样本，利用古典概率公式求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”的概率即可.【详解】（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）由于图中前3个小矩形面积之和为0.4则设中位数，则，则（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题.直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．（1）见解析；（2）【分析】（1）推导出，，从而平面，由此能证明.（2）过点在平面内作直线，由（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出钝二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在中，，且，由余弦定理，得.过点作，可知四边形是矩形，，且.又，故，于是有，即.又，且，平面，.（2）过点在平面内作直线，由（1）可知，和直线两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系.由题意，可得，，，，.设平面的法向量为，由得令，得，，即.再取平面的一个法向量.设二面角的大小为，则，即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、定义，空间向量法求面面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.21．(1)；(2)证明见解析，.【分析】（1）根据给定条件求出a的值，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的方程.（2）直线AB斜率存在且不为0时，设出AB方程并与C的方程联立求出M的坐标，再得N的坐标，就直线MN的斜率存在与否讨论，最后分析AB斜率不存在或为0的情况作答.【详解】（1）依题意，c=2，，解得，所以双曲线的方程为：.（2）点，当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为：，，，由消去x并整理得：，显然，则，有，于是得弦AB中点，因，同理可得点，当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率，因此，直线MN的方程为：，化简得，于是得直线MN恒过定点，当直线MN垂直于x轴