2023年中考数学探究性试题复习8 一元一次方程【含答案】

2023年中考数学探究性试题复习8一元一次方程一、填空题1．一般情况下a2＋b3＝a+b2+3不成立，但有数可以使得它成立.例如a＝b＝0.我们称使得a2＋b32．对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d).我们规定：(a，b)★(c，d)=bc−ad.例如：3．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程2x−1=3与方程x+5=3x+1(填“是”或“不是”)同解方程；若关于x的两个方程2x=4与mx=m+1是同解方程，m=；若关于x的两个方程2x=a+1与3x−a=−2是同解方程，a=．二、综合题4．定义：若a+b=2，则称a与b是关于2的平衡数．（1）3与是关于2的平衡数，7-x与是关于2的平衡数．(填一个含x的代数式)（2）若a=x2-4x-1，b=x2-2(x2-2x-1)+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．（3）若c=kx+1，d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．5．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3（1）已知一列数1，−2，3，−4，5，−6，7，−8，9，−10，则a3=，sum(（2）已知这列数1，−2，3，−4，5，−6，7，−8，9，−10，…，按照规律可以无限写下去，则a2022=，sum(（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum(a6．已知一列，数a1，a2，a3，…，具有以下规律：a例：若a0=1，则a1a3=aa5请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.（1）若a0①a3=，a②在数轴上点A所表示的数为a3，点B所表示的数为a（2）已知|a9−3|+|7．阅读材料：我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果a+b=a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为(a，例如：2+2=2×2，12+(则称数对(2，2)，(1根据上述材料，解决下列问题：（1）下列数对中，“和积等数对”是(填序号)；①(−23，2)；②(（2）如果(x，（3）如果(m，n)是“和积等数对”，那么m=（用含8．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【知识应用】如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：①A，C两点之间的距离AC=，线段BC的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为．（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，MB=1（3）【拓展提升】

在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为－4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK=3．9．定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“牛牛”数；“牛牛”数的作用：若x＞0，则[x]＝x-2；若x＜0，则[x]＝x+2，规定[0]＝0例：[1]＝1-2＝-1，[-2]＝-2+2＝0．（1）求[32（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b-a）3-4a+4b的值．（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．10．已知a，b为不相等的实数，且a，b均不为0，现定义有序实数对(a，b)的“真诚值”为：d(a，b)=ab2（1）根据上述的定义填空：d(−3，4)=，d(3（2）数对(a，2)的“真诚值”d(a，11．如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．例如：方程x−3=0的解是x=3，方程x−1=0的解是x=1所以：方程x−3=0是方程x−1=0的“2—后移方程”．（1）判断方程2x−3=0是否为方程2x−1=0的k—后移方程（填“是”或“否”）；（2）若关于x的方程2x+m+n=0是关于x的方程2x+m=0的“2—后移方程”，求n的值（3）当a≠0时，如果方程ax+b=1是方程ax+c=1的“3—后移方程”求代数式6a+2b−2(c+3)的值．12．阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|a−2|表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|5−2|=3，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．请根据上面的材料解答下列问题：（1）请用上面的方法计算数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离；（2）填空：|a−1|表示与理数a对应的点与有理数对应的点的距离；如果|a−1|=3，那么有理数a的值是；（3）填空：如果|a−1|+|a−6|=7，那么有理数a的值是．（4）是否存在有理数a，使等式|a−1|+|a−6|的结果等于4？如果存在，请直接写出a的值；如果不存在，请说明原因．13．数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x2+x-1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a2+a-1.当x＝3时，f（3）＝32+3-1＝11.（1）已知f（x）＝x2-2x+3，求f（1）的值.（2）已知f（x）＝mx2-2x-m，当f（-3）＝m-1时，求m的值.（3）已知f（x）＝kx2-ax-bk（a.b为常数），对于任意有理数k，总有f（-2）＝-2，求a，b的值.14．阅读理解：在解形如3|解法一：我们可以运用整体思想来解.移项得3|x−2|−|x−2|=4，2|x−2|=4，|x−2|=2，x−2=±2，x=4或x=0.解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分x<2和x≥2两种情况讨论：①当x<2时，原方程可化为−3(x−2)=−(②当x≥2时，原方程可化为3(x−2)=(∴原方程的解为x=0或x=4.解题回顾：本解法中2为x−2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x<2和x≥2两部分，所以分x<2和x≥2两种情况讨论.问题：结合上面阅读材料，解下列方程：（1）解方程：|（2）解方程：|15．定义：若整数k的值使关于x的方程x+42（1）判断当k=1时是否为方程x+42（2）方程x+4216．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”.（1）方程4x−(x+5)（2）若关于x的方程x2+m=0与方程（3）若关于x方程2x−n+3=0与x+5n−1=0是“美好方程”，求n的值.17．数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示，例如f(x)=x2+3x−5，并把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示，例如x=1时多项式x（1）若f(x)=2x−3，①求f(−1)的值；②若f(x)=7，求x的值（2）若g(x)=|x−2|，ℎ(x)=|x+3|，试探究g(x)+ℎ(x)的最小值，并指出此时x的取值范围.18．探究题：阅读下列材料，规定一种运|abcd|=ad−bc（1）|1−33−2（2）若|x+8x−119．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，将这三个数的最小值称为数列x1东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为12；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为1（1）数列−5，−4，3的最佳值为（2）将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．

答案解析部分1．【答案】−2．【答案】93．【答案】是；1；-74．【答案】（1）-1；x-5（2）解：a与b是关于2的平衡数，理由：∵a=x2-4x-1，b=x2-2(x2-2x-1)+1，∴a+b=(x2-4x-1)+[x2-2(x2-2x-1)+1]=x2-4x-1+x2-2(x2-2x-1)+1=x2-4x-1+x2-2x2+4x+2+1=2，∴a与b是关于2的平衡数：（3）解：∵c=kx+1，d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，∴c+d=2，∴kx+1+x-3=2，∴(k+1)x=4，∵x为正整数，∴当x=1时，k+1=4，得k=3，当x=2时，k+1=2，得k=1，当x=4时，k+1=1，得k=0，∴非负整数k的值为0或1或3．5．【答案】（1）3；-5（2）-2022；-1011（3）解：在（2）的条件下存在正整数n使等式|sum(a当n为奇数时，|sum(a1：当n为偶数时，|sum(a1：6．【答案】（1）解：①-2；-6；②②a9∴AB=−2−(−6)=4，即线段AB的长4；（2）解：由题意，a9=a∵|a∴|3a当3a0+2<03−3a0−3当−23−3a0+3当a0≥1时，3a综上，a0=−77．【答案】（1）②（2）解：由题意得：x+4=4x，解得x=4（3）n8．【答案】（1）7；12（2）解：M：−2+2t+5∵MB=∴|t+32∴t−32=±12

（3）解：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9−t，点H表示的数为6−2t，K点表示9−t+6−2t∵HK=3

∴152−32②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9−t，点H表示的数为−4，M点表示9−t+(−4)2=5∴52−12综上所述，当t=3或t=7时，HK=3．9．【答案】（1）解：[32]＝32-2＝-[-1]＝-1+2＝1；（2）解：a＞0，b＜0，[a]＝[b]，即a-2＝b+2，解得：a-b＝4，则b-a=-4，故（b-a）3-4a+4b＝（b-a）3-4（a-b）＝（-4）3-16＝-80；（3）解：当x≥0时，方程为：2x-2+x+1-2＝1，解得：x＝43当-1≤x＜0时，方程为：2x+2+x+1-2＝1，解得：x＝0（舍弃），当x＜-1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，解得：x＝-43故方程的解为：x＝±410．【答案】（1）32；9（2）解：当a>2时，4a−a=8，解得，a=8当a<2时，2a2−2=8∴a=±5∵a<2，∴a=−5综上所述，当d(a，2)=8时，a=811．【答案】（1）是（2）解：解方程2x+m+n=0，得x=−m−n解方程2x+m=0，得x=−m∵关于x的方程2x+m+n=0是关于x的方程2x+m=0的“2—后移方程”，∴−m−n2∴n=−4；（3）解：解方程ax+b=1，得x=1−b解方程ax+c=1，得x=1−c∵方程ax+b=1是方程ax+c=1的“3—后移方程”，∴1−ba∴c=3a+b，把c=3a+b代入6a+2b−2(c+3)，∴原式=6a+2b−2(3a+b+3)=6a+2b−6a−2b−6=−6．12．【答案】（1）解：数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离为|−9−3|=12；（2）1；4或-2（3）0或7（4）解：不存在，因为此等式表示数轴上有理数a所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，因此不存在满足题意的有理数a．13．【答案】（1）解：当x＝1时，f（1）＝1-2+3＝2；（2）解：当x＝-3时，f（-3）＝mx2-2x-m＝9m+6-m＝m-1，∴m＝-1；（3）解：当x＝-2时，f（-2）＝kx2-ax-bk＝4k+2a-bk＝-2，∴（4-b）k+2a＝-2，∵k为任意有理数，∴4-b＝0，2a＝-2，∴a＝-1，b＝4.14．【答案】（1）解：移项得|x−3合并得−2|两边同时除以−2得|x−3所以x−3=±4，所以x=−1或x=7；（2）解：当x≤−1时，原方程可化为2−x+3(x+1)=x−9，解得当−1<x≤2时，原方程可化为2−x−3(x+1)=x−9，解得当x>2时，原方程可化为−2+x−3(x+1)=x−9，解得所以原方程的解为x=−14或x=815．【答案】（1）解：当k=1时，原方程化为：x+42整理得：x+6=2x，解得：x=6，即当k=1时，方程的解为整数.根据新定义可得：k=1是方程x+42（2）解：方程x+42+1=kx“友好系数”个数是有限的，理由如下，

去分母得：x+4+2=2kx，整理得：(2k−1)x=6，方程的解为：x=6当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，此时k的值为：1，0，32，−12，2，-1，7经检验，取上述k的值，2k−1均不为0，其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1.所以方程x+42