《平面向量的加、减运算的坐标表示》教案、导学案、课后作业

《6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示》教案【教材分析】本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及向量的坐标表示之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1．能准确表述向量的加法、减法的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.逻辑推理：求有向线段的向量表示；2.数学运算：两个向量坐标表示的和，差运算；3.数学建模：数形结合，通过将几何问题转化为代数问题求参.【教学重点和难点】重点：平面向量的坐标运算；难点：对平面向量坐标运算的理解.【教学过程】一、情景导入在数的运算中，已经学过平面向量的加、减法，那如果向量用坐标表示，那怎么算向量的加、减法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本29-30页，思考并完成以下问题1、如何由a，b的坐标求a＋b，a－b的坐标？2、一个向量的坐标表示与其有向线段的始点和终点有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．平面向量的坐标运算（1）若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.注意：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.四、典例分析、举一反三题型一向量的坐标运算例1已知向量a，b的坐标分别是(2,1)，(-3，4)，求a＋b，a－b的坐标．【答案】a＋b＝(-1，5)，a－b＝(5,-3).【解析】a＋b＝(2,1)＋(-3，4)＝(-1，5)，a－b＝(2,1)-(-3，4)＝(5,-3).解题技巧（平面向量坐标运算技巧）(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练一1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\o(MN,\s\up15(→))，则P点坐标为______．【答案】（-5，-1）【解析】设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up15(→))＝(x－3，y＋2)，eq\o(MN,\s\up15(→))＝(－8,1)，∴eq\o(MP,\s\up15(→))＝(－8,1)，∴x-3=-8y+2=1,∴题型二向量坐标运算的应用例2已知O(0,0)，A(1,2)，B(3,3)，若eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．【答案】(1)P在x轴上，t＝－eq\f(2,3)；P在y轴上，t＝－eq\f(1,3)；P在第二象限，－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)四边形OABP不能为平行四边形．【解析】(1)eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)，所以P点坐标为(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，得t＝－eq\f(2,3)；若P在y轴上，则1＋3t＝0，得t＝－eq\f(1,3)；若P在第二象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))得－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(2－3t,1－3t)，若四边形OABP为平行四边形，只需eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－3t＝1，,1－3t＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)，,t＝－\f(1,3)，))所以t无解，故四边形OABP不能为平行四边形．解题技巧：(向量中含参问题的求解)(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．跟踪训练二1、已知O(0,0)，A(1,2)，B(3,3)，eq\o(OP,\s\up16(→))＝teq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？y轴上？第二象限？(2)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由．【答案】(1)P在x轴上，t＝－eq\f(3,2).P在y轴上，t＝－3.P在第二象限，t无解，(2)t＝－1时，四边形OABP为平行四边形．【解析】(1)eq\o(OP,\s\up16(→))＝teq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝(3＋t,3＋2t)，∴P点坐标为(3＋t,3＋2t)，若P在x轴上，则3＋2t＝0得t＝－eq\f(3,2)，若P在y轴上，则3＋t＝0得t＝－3，若P在第二象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋t<0，,3＋2t>0，))得t无解，(2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(－t，－2t)，若四边形OABP为平行四边形，则eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＝1，,－2t＝2，))即t＝－1，所以t＝－1时，四边形OABP为平行四边形．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.36.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示1.坐标运算例1例2（1）（2）七、作业课本30页练习，36页习题6.3的2，3，4题.【教学反思】本节课知识较简单，学生理解起来较容易，达到了本节课目的，由于内容量少，所以时间比较充足，在课上如果有剩余时间可以将作业做了.《6.3.3平面向量的加、减运的坐标表示》导学案【学习目标】知识目标1．能准确表述向量的加法、减法的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.逻辑推理：求有向线段的向量表示；2.数学运算：两个向量坐标表示的和，差运算；3.数学建模：数形结合，通过将几何问题转化为代数问题求参.【学习重点】：平面向量的坐标运算；【学习难点】：对平面向量坐标运算的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本29-30页，填写。1．平面向量的坐标运算（1）若，，则，____________________________________________________.（2）若，，则__________________________________________________.注意：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关． ()(4)点的坐标与向量的坐标相同． ()2．已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为()A．(1,8) B．(－1,8)C．(3，－2) D．(－3,2)3．若向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,2)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(3,4)，则eq\o(AC,\s\up15(→))＝()A．(4,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(2,2)4．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________．【自主探究】题型一向量的坐标运算例1已知向量a，b的坐标分别是(2,1)，(-3，4)，求a＋b，a－b的坐标．跟踪训练一1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\o(MN,\s\up15(→))，则P点坐标为______．题型二向量坐标运算的应用例2已知O(0,0)，A(1,2)，B(3,3)，若eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．跟踪训练二1、已知O(0,0)，A(1,2)，B(3,3)，eq\o(OP,\s\up16(→))＝teq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？y轴上？第二象限？(2)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由．【达标检测】1、已知向量a，b的坐标分别是(1,1)，(-3，-2)，则a＋b的坐标为（）．A．（4，-1） B．（4，3） C．（-2，-1） D．2．若向量eq\o(AC,\s\up15(→))＝(4,6)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(3,4)，则eq\o(AB,\s\up15(→))＝()A．(2,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(1,2)3．已知平行四边形(为坐标原点)，，则等于A． B． C． D．4．已知M(-1，2)，N(－5，－1)，eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\o(MN,\s\up15(→))，则P点坐标为______．5．在平面直角坐标系中，点，，，.（1）试求实数为何值时，点在第二、四象限的角平分线上；（2）若点在第三象限内，求实数的取值范围.答案小试牛刀1.(1)√(2)√(3)×(4)×2．B.3．A.4.(2,5)，(4,3)自主探究例1【答案】a＋b＝(-1，5)，a－b＝(5,-3).【解析】a＋b＝(2,1)＋(-3，4)＝(-1，5)，a－b＝(2,1)-(-3，4)＝(5,-3).跟踪训练一1．【答案】（-5，-1）【解析】设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up15(→))＝(x－3，y＋2)，eq\o(MN,\s\up15(→))＝(－8,1)，∴eq\o(MP,\s\up15(→))＝(－8,1)，∴x-3=-8y+2=1,∴例2【答案】(1)P在x轴上，t＝－eq\f(2,3)；P在y轴上，t＝－eq\f(1,3)；P在第二象限，－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)四边形OABP不能为平行四边形．【解析】(1)eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)，所以P点坐标为(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，得t＝－eq\f(2,3)；若P在y轴上，则1＋3t＝0，得t＝－eq\f(1,3)；若P在第二象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))得－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(2－3t,1－3t)，若四边形OABP为平行四边形，只需eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－3t＝1，,1－3t＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)，,t＝－\f(1,3)，))所以t无解，故四边形OABP不能为平行四边形．跟踪训练二1、【答案】(1)P在x轴上，t＝－eq\f(3,2).P在y轴上，t＝－3.P在第二象限，t无解，(2)t＝－1时，四边形OABP为平行四边形．【解析】(1)eq\o(OP,\s\up16(→))＝teq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝(3＋t,3＋2t)，∴P点坐标为(3＋t,3＋2t)，若P在x轴上，则3＋2t＝0得t＝－eq\f(3,2)，若P在y轴上，则3＋t＝0得t＝－3，若P在第二象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋t<0，,3＋2t>0，))得t无解，(2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(－t，－2t)，若四边形OABP为平行四边形，则eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＝1，,－2t＝2，))即t＝－1，所以t＝－1时，四边形OABP为平行四边形．当堂检测 1-3.CDA4.（-5，-1）5.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得：，因为在第二、四象限的角平分线上，解得：（2）由（1）知：在第三象限内，解得：的取值范围为《6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示》课后作业基础巩固1．已知中，，，若，则的坐标为（）A． B． C． D．2．若，，，则（）A．-1 B．0 C．1 D．23．已知点，向量，则向量A． B．C． D．4．已知向量，则（）A． B． C． D．5．已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为（）A． B． C． D．6．在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（-2，0），，则点D的坐标为______．7．已知，，且C与A关于点B对称，则C的坐标___________.8．求线段的中点坐标：（1）；（2）；（3）．能力提升9．已知点，，，.若点在轴上，则实数的值为（）A． B．C． D．10．若，则向量_____，向量______.11．已知四边形为平行四边形，且，，点的坐标为，求其余三个顶点、、的坐标.素养达成12．已知点及，求：（1）若点在第二象限，求的取值范围,（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．《6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示》课后作业答案解析基础巩固1．已知中，，，若，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以因为，即M为BC中点所以所以所以选A2．若，，，则（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】，故选：3．已知点，向量，则向量A． B．C． D．【答案】A【解析】,选A.4．已知向量，则（）A． B． C