人教A版高中数学必修二《第六章 平面向量及其应用》单元导学案

人教版高中数学必修二《第六章平面向量及其应用》单元导学案6.1平面向量的概念【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.【教学重点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.【教学难点】：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【知识梳理】1．(1)向量：既有，又有的量叫做向量．(2)数量：只有，没有的量称为数量．2．向量的几何表示(1)的线段叫做有向线段．它包含三个要素：、、．(2)向量可以用表示．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，也就是向量eq\o(AB,\s\up6(→))的(或称)，记作．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).3.向量的有关概念零向量长度为的向量，记作单位向量长度等于个单位的向量平行向量(共线向量)方向的非零向量向量a、b平行，记作规定：与任一向量平行相等向量长度且方向的向量向量a与b相等，记作【学习过程】一、探索新知（一）向量的实际背景与概念1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？2.（1）向量与数量的定义：既有，又有的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有，没有的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.练习1：下列量不是向量的是（）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度（6）面积（7）年龄（8）身高（二）向量的几何表示探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？1.有向线段的定义在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有的线段叫做有向线段.A(起点)A(起点)B（终点）aA(起点)B（终点）a如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？向量的几何表示画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由向量.（2）.有向线段与向量的区别：有向线段：三要素：起点、大小、方向。向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。4.向量的模向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？5.零向量：长度为0的向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量.说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）（三）.相等向量与共线向量思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？1.平行向量定义：①方向或的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.2.相等向量定义：长度且方向的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.3.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.练习2;填空：（1）平行向量是否一定方向相同？（）（2）不相等的向量是否一定不平行？（）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.【达标检测】1．下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0B．1C．2D．32．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A．e1＝e2B．e1∥e2C．|e1|＝|e2|D．以上都不对3.（多选题）在下列判断中，正确的是()A.长度为0的向量都是零向量；B.零向量的方向都是相同的；C.单位向量的长度都相等；D.单位向量都是同方向；E.任意向量与零向量都共线．4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．参考答案：（一）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。2.练习：（1）（6）（7）（8）（二）1.思考：三个要素：起点、方向、长度.4.可以为0,1，不能为负数。例1.（三）思考：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；牛刀小试：（1）不一定（2）不一定(3零向量（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定例2，达标检测1.【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．【答案】B2.【解析】单位向量的模都等于1个单位，故C正确．【答案】C3.【解析】由定义知A正确，B由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然C、E正确，D不正确，故选ACE．【答案】A、C、E4.【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确．【答案】④⑥5.【解】由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的长度相等且方向相同，所以与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(ED,\s\up6(→)).6.2.1向量的加法运算【学习目标】知识目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.核心素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；【学习难点】：理解向量加法的定义.【学习过程】一、预习导入阅读课本7-10页，填写。１、向量的加法：_______________________________________.２、三角形法则和平行四边形法则(1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0=0+aABABCa+ba+baabbaｂｂａ＋ｂa(2)平行四边形法则如图所示：eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))(三角形法则)，又因为eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a+b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|____|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝____________.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝__________.若|a|＜|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝__________.4．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b=___________；(2)结合律：a＋b＋c＝_____________＝_____________．【牛刀小试】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于eq\o(BC,\s\up16(→))的是()A．eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))B．eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))C．eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))D．eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))3如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))|等于()A．1 B．2C．eq\r(3) D．eq\r(5)4．已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝c，eq\o(DE,\s\up16(→))＝d，eq\o(AE,\s\up16(→))＝e，则a＋b＋c＋d＝________.【自主探究】题型一向量的三角形法则和平行四边形法则例1如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作a＋b；题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：跟踪训练二1、化简或计算：(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).题型三利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).求证：四边形ABCD是平行四边形．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．题型四向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq\r(3)km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【达标检测】1．在平行四边形ABCD中，下列式子：①eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))；②eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))；③eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))；④eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))；⑤eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))；⑥eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)).其中不正确的个数是()A．1B．2C．4D．62．设a＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＋(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①② B．①③C．①③⑤ D．②④⑤3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部4．根据图示填空．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝________；(3)eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋2eq\o(OD,\s\up16(→))＝________.5．若P为△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))，则∠ACB＝________.6．已知矩形ABCD中，宽为2，长为2eq\r(3)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AC,\s\up16(→))＝c，试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．C.3．B.4.e自主探究例1【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b．跟踪训练一1、【答案】见解析．【解析】如图所示．．例2【答案】(1)eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AC,\s\up16(→))..【解析】(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝(eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→)))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).跟踪训练二1、【答案】(1)eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)0.【解析】(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→)))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.例3【答案】见解析.【解析】证明eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，又∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．跟踪训练三1．【答案】见解析．【解析】证明∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，又eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(FC,\s\up16(→))，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形．例4【答案】船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】如图所示，eq\o(OA,\s\up16(→))表示水速，eq\o(OB,\s\up16(→))表示船实际航行的速度，eq\o(OC,\s\up16(→))表示船速，由eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))易知|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝10，又∠OBC＝90°，所以|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.跟踪训练四1、【答案】救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为800eq\r(2)km，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800km，从B地按南偏东55°的方向行驶800km.则救护车行驶的路程指的是|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|；两次行驶的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).依题意，有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为800eq\r(2)km，方向为北偏东80°.当堂检测 1-3.ACD4.(1)eq\o(OB,\s\up16(→))(2)eq\o(BO,\s\up16(→))(3)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))5.120°6.【答案】8．【解析】作eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，如图，则a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up16(→))，a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝2eq\o(AC,\s\up16(→))＝2c，∴|a＋b＋c|＝|2eq\o(AC,\s\up16(→))|＝2eq\r(22＋2\r(3)2)＝8.6.2.2向量减法运算【学习目标】知识目标1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.核心素养1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念；2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；3.直观想象：向量减法运算；4.数学建模：将向量减法转化为向量加法，使学生理解事物之间是可以相互转化的.【学习重点】：向量减法的概念和向量减法的作图法；【学习难点】：减法运算时方向的确定.【学习过程】一、预习导入阅读课本11-12页，填写。1.相反向量（1）“相反向量”的定义：______________________________.（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-0=0.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0如果a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=02、向量减法（“共起点，后指前”）（1）向量减法的定义：___________________________________. 即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.（2）作法：在平面内取一点O，作OA=a,OB=b，则牛刀小试1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． ()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量． ()(4)相反向量是共线向量．()2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反3．化简eq\o(OP,\s\up15(→))－eq\o(QP,\s\up15(→))＋eq\o(PS,\s\up15(→))＋eq\o(SP,\s\up15(→))的结果等于()A．eq\o(OP,\s\up15(→)) B．eq\o(OQ,\s\up15(→))C．eq\o(SP,\s\up15(→)) D．eq\o(SQ,\s\up15(→))4．在平行四边形ABCD中，向量eq\o(AB,\s\up15(→))的相反向量为________．【自主探究】题型一向量的减法运算例1化简：(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))．跟踪训练一1、化简：(1)eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))；(2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(CA,\s\up15(→)).题型二向量的减法及其几何意义例2已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.跟踪训练二1、如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.题型三用已知向量表示未知向量例3平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.跟踪训练三1、如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，eq\o(AE,\s\up15(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→)).【达标检测】1．已知非零向量a与b同向，则a－b()A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()3.如图，向量，则向量可以表示为()A．a＋b－cB．a－b＋cC．b－a＋cD．b－a－c4．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．5．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．6．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.答案小试牛刀1.(1)√(2)√(3)√(4)√2．A.3．B.4.eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))自主探究例1【答案】0【解析】法一：(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0.法二：(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→)))－eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝0.法三：设O是平面内任意一点，则(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))－(eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→)))－(eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))＋(eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝0.跟踪训练一1、【答案】(1)0.(2)eq\o(AB,\s\up15(→)).【解析】(1)eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝0.(2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→)))＋(eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→)))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝0＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→)).例2【答案】见解析【解析】在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，作，，则=a-b，=c-d跟踪训练二1、【答案】见解析【解析】法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(―→))＝b，则eq\o(OB,\s\up15(―→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up15(―→))＝c，则eq\o(CB,\s\up15(―→))＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(―→))＝b，则eq\o(OB,\s\up15(―→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up15(―→))＝c，连接OC，则eq\o(OC,\s\up15(―→))＝a＋b－c.例3【答案】=a+b，==a-b【解析】由平行四边形法则得：=a+b，==a-b跟踪训练三1、【答案】eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))＝c，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b－a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b－a＋c.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))＝c，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝b－a＋c.当堂检测 1-3.CBC4.25.b－c6.【答案】OH【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，6.2.3向量的数乘运算【学习目标】知识目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.核心素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.【学习过程】一、预习导入阅读课本13-16页，填写。1、定义实数与向量的积是一个_________，记作_________.它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向_________；当时，的方向与的方向_________；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是___________________________.小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)的方向与a的方向一致 ()(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉． ()(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝，则a＝b.()2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A．b＝2a B．b＝－2aC．a＝2b D．a＝－2b3．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up15(→))，则此四边形是()A．平行四边形 B．菱形C．梯形 D．矩形4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______.【自主探究】题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)eq\f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．跟踪训练一1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)．2、已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.题型二向量线性运算的应用例2如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(DC,\s\up15(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).跟踪训练二1、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq\o(BC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，试用a，b分别表示eq\o(DE,\s\up15(→))，eq\o(CE,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).题型三共线定理的应用例3已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．跟踪训练三1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；2、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，求x＋y的值．【达标检测】1.eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()①m(a－b)＝ma－；②(m－n)a＝ma－；③若ma＝，则a＝b；④若ma＝，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④3.如图，△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(DC,\s\up8(→))＝3eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＝2eq\o(EC,\s\up8(→))，则eq\o(DE,\s\up8(→))＝()A．－eq\f(1,3)a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,3)bD．－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b4．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________．6．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝eq\f(2,3)AD，＝a，＝b.(1)用a，b分别表示向量(2)求证：B，E，F三点共线．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．A.3．C.4.－a＋8b.自主探究例1【答案】(1)14a－9b.(2)－2a＋4b.【解析】(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b.跟踪训练一【答案】1、－eq\f(5,3)i－5j.2、eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,11)a＋\f(2,11)b，,y＝\f(3,11)a－\f(5,11)b.))．【解析】1、原式＝eq\f(1,3)a－b－a＋eq\f(2,3)b＋2b－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1－1))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,3)＋2))b＝－eq\f(5,3)a＋eq\f(5,3)b＝－eq\f(5,3)(3i＋2j)＋eq\f(5,3)(2i－j)＝－eq\f(5,3)i－5j.2、联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝a，,3x－y＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,11)a＋\f(2,11)b，,y＝\f(3,11)a－\f(5,11)b.))例2【答案】eq\o(BC,\s\up15(→))－a＋b＋c.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.【解析】eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝－a＋b＋c.∵eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(AN,\s\up15(→))，又eq\o(MD,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(DA,\s\up15(→))＝－eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.跟踪训练二1、【答案】eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a.eq\o(CE,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)a－b.【解析】由三角形中位线定理，知DE平行且等于eq\f(1,2)BC，故eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，即eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a.eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DE,\s\up15(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.例3【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.【解析】(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up16(→)).∴eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))共线，且有公共点B．∴A，B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(－1)e2.∵e1与e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.跟踪训练三【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.【解析】1、证明：∵eq\o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CB,\s\up16(→))＝e1－4e2.又eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝2eq\o(BD,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(BD,\s\up16(→)).∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．2、解由于A，B，P三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AP,\s\up16(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，即eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))，所以eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up16(→))＋λeq\o(OB,\s\up16(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.当堂检测 1-4.BBDA5.－2或eq\f(1,3)6．【答案】见解析.【解析】6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积【学习目标】知识目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。核心素养1.数学抽象：数量积相关概念的理解；2.逻辑推理：有关数量积的运算；3.数学运算：求数量积或投影；4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.【学习重点】：平面向量数量积的含义与物理意义；【学习难点】：平面向量数量积的概念.【学习过程】一、预习导入阅读课本17-21页，填写。1、向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作=a，=b，∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角。当θ=______时，a与b同向；当θ=______时，a与b反向；当θ=______时，a与b垂直，记作a⊥b。规定：零向量可与任一向量垂直。2、射影的概念bcosθ叫作向量b在a方向上的射影。注意：射影也是一个数量，不是向量。3、数量积的定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=____________.注意a∙b不能写成a×b或ab的形式数量积的几何意义：_______________________________________.数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积4、向量数量积的性质123特别地：a∙a=45|a∙b|≤a5、运算定律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1).交换律：a·b=______(2).数乘结合律：（）·b=______=______.(3).分配律：（a+b）·c=____________.小试牛刀1．判断下列命题是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)若a，b共线⇔a·b＝|a||b|.()(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12 B．12eq\r(2)C．－12eq\r(2) D．－123．已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12 B．3C．6 D．3eq\r(3)4．已知|a|＝5，向量a与b的夹角θ＝60°，则向量a在b方向上的射影为________．【自主探究】题型一数量积的基本运算例1已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.

跟踪训练一1、已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))的值是________．题型二数量积的几何意义例2已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a在e方向上的投影，并画图说明．跟踪训练二1、已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.(1)向量a在向量b方向上的投影为________．(1)向量b在向量a方向上的投影为________．2、在边长为2的正三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))在eq\o(BC,\s\up16(→))方向上的投影为______．题型三向量的混合运算例3(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a-3b)=_____________．(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝________．跟踪训练三1.已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.【达标检测】1．下列命题：(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(3,2)，则a·b为()A.eq\f(9,2)B．3C．2D.eq\f(1,2)3．若平面四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形 B．矩形C．菱形 D．正方形4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．5．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.6．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×(4)×2．B.3．C.4.eq\f(5,2).自主探究例1【答案】①a·b=－10.②a·b＝0.③a·b＝5eq\r(3).【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a与b反向，则它们的夹角为180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).

跟踪训练一1、【答案】－25．【解析】如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝eq\f(π,2)，cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×eq\f(4,5)－15×eq\f(3,5)＝－25.例2【答案】见解析【解析】如下图所示，当θ＝45°时，a在e方向上的正投影的数量为3eq\r(2)；当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为0；当θ＝135°时，a在e方向上的投影的数量为－3eq\r(2).∴|a|·cos45°＝3eq\r(2)，|a|·cos90°＝0，|a|·cos135°＝－3eq\r(2).跟踪训练二【答案】1、(1)－322、－1.【解析】1、（1）a∙b2a∙b2、AB例3【答案】（1）-72.（2）2.【解析】(1)(a＋2b)·(a-3b)＝a·a-a·b-6b·b＝|a|2-a·b-6|b|2＝|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2＝62-6×4×cos60°-6×42＝-72.（2）eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))2＝22－eq\f(1,2)×22＝2.跟踪训练三【答案】1、-6.2、2．【解析】1、由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2)＝3－2×eq\f(1,2)－8＝－6.2、因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)·b2＝0，又因为|a|＝|b|＝1，a，b的夹角为60°，所以eq\f(1,2)t＋1－t＝0，所以t＝2.当堂检测 1-3.BAC4.eq\r(2)15.26.【答案】(1)eq\f(2π,3).(2)－3.【解析】(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|＝－1，∴＝－eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.6.2.4向量的数量积第2课时向量的向量积【学习目标】知识目标1、理解平面向量的数量积定义与向量的夹角的关系.2、掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用.核心素养1.数学抽象：利用数量积定义得到夹角、模长公式；2.逻辑推理：由已知条件求夹角；3.数学运算：求模长，根据向量垂直求参数；4.数学建模：应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题时，综合考虑，层层分析.【学习重点】：平面向量数量积的性质与运算律应的应用;【学习难点】：对向量数量积概念的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本17-21页，填写。1．常用公式①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.小试牛刀1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.其中正确的有__________个．2．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则eq\o(BC,\s\up12(→))·eq\o(CA,\s\up12(→))＝________．3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)b))＝－36，则a与b的夹角为()A．60° B．120°C．135° D．1504．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b不共线，则向量a+与a-垂直是，k＝________．【自主探究】题型一向量模的有关计算例1已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.跟踪训练一1、已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.2、已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.题型二两个向量的夹角和垂直例2(1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq\r(7)，则a，b的夹角为 ()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(2π,3)(2)已知a，b是非零向量，当a＋(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋)．跟踪训练二1、已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．2、已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．题型三平面向量数量积的综合应用例3已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．跟踪训练三1、已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．【达标检测】1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为()A．30° B．60°C．150° D．120°2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0 B．2eq\r(2)C．4 D．83．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1B．2C．3D．54．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝－4b，c与d垂直，则k的值为________.5．若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________.6．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．答案小试牛刀1．1个.2．-16.3．B.4．±自主探究例1【答案】(1)－6.(2)13.(3)eq\r(13).(4)eq\r(37).【解析】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝3×4×cos120°＝－6.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.(3)|a＋b|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(13).(4)|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(9－2×（－6）＋16)＝eq\r(37).跟踪训练一【答案】1、eq\f(2\r(3),3).2、3eq\r(2).【解析】1、令e1与e2的夹角为θ，∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝eq\f(1,2).又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°，∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，从而|b|＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3).2、∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|co