人教版高中数学必修二《第六章 平面向量及其应用》同步练习及答案解析

人教版高中数学必修二《第六章平面向量及其应用》同步练习《6.1平面向量的概念》同步练习选择题（前四个为单选题，后两个为多选题）1．下列说法正确的是（）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（）A．个B．个C．个D．个3．设O是正六边形ABCDEF的中心，则以O和各顶点为起点和终点的向量中与向量相等的向量的个数有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．若||=||，那么要使=，两向量还需要具备()A．方向相反B．方向相同C．共线D．方向任意5．（多选题）给出下列结论，正确的是（）A.两个单位向量是相等向量；B.若，，则；C.若一个向量的模为，则该向量的方向不确定；D.若，则；E.若与共线，与共线，则与共线.6．（多选题）如图所示，在等腰梯形中，，对角线、交于点，过作，交于，交于，则在以、、、、、、为起点和终点的向量中，相等向量有（）A．B．C．D．二、填空题7．△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是______.8．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________.9．给出下列说法：（1）若，则或；（2）向量的模一定是正数；（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；（4）向量与是共线向量，则四点必在同一直线上．其中正确说法的序号是________．10．若四边形是菱形，边长为2，则在向量，，，，，中，相等的有对，它们的模为。三、解答题11．一辆汽车从点出发向西行驶了到达点，然后改变方向向北偏西行驶了到达点，最后又改变方向，向东行驶了到达点．（1）作出向量、、；（2）求.12．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与相等的向量有哪些？(2)与共线的向量有哪些？(3)若，求的大小．《6.1平面向量的概念》同步练习答案解析一、选择题（前四个为单选题，后两个为多选题）1．下列说法正确的是（）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小【答案】D【解析】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（）A．个B．个C．个D．个【答案】D【解析】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义.3．设O是正六边形ABCDEF的中心，则以O和各顶点为起点和终点的向量中与向量相等的向量的个数有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】根据正六边形的性质可得，与方向相同且长度相等的向量有，，，共个，故选B.4．若||=||，那么要使=，两向量还需要具备()A．方向相反B．方向相同C．共线D．方向任意【答案】B【解析】两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件，因此选B.5．（多选题）给出下列结论，正确的是（）A.两个单位向量是相等向量；B.若，，则；C.若一个向量的模为，则该向量的方向不确定；D.若，则；E.若与共线，与共线，则与共线.【答案】BC【解析】两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，A错误；若，，则，向量相等具有传递性，B正确；一个向量的模为，则该向量一定是零向量，方向不确定，C正确；若，则，还要方向相同才行，D错误；与共线,与共线，则与共线，当为零向量时不成立，E错误.6．（多选题）如图所示，在等腰梯形中，，对角线、交于点，过作，交于，交于，则在以、、、、、、为起点和终点的向量中，相等向量有（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由相等向量的定义及梯形的性质可知，相等向量有，故选AC。二、填空题7．△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是______.【答案】模相等【解析】因为是等腰三角形，所以，即||=||，向量与的方向不同，向量与的关系是模相等，故答案为模相等.8．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________.【答案】西北方向5km【解析】根据题意画出图形如图所示，由图形可得C地在B地的西北方向5km处．所以答案为西北方向5km9．给出下列说法：（1）若，则或；（2）向量的模一定是正数；（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；（4）向量与是共线向量，则四点必在同一直线上．其中正确说法的序号是________．【答案】（3）【解析】（1）错误．仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系．（2）错误．例如的模.（3）正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．（4）错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上．10．若四边形是菱形，边长为2，则在向量，，，，，中，相等的有对，它们的模为。【答案】2,2【解析】菱形如图所示：向量和大小相等方向相同，故=，同理，=，故相等的向量有对.因为，菱形边长为2，所以向量的模为2.三、解答题11．一辆汽车从点出发向西行驶了到达点，然后改变方向向北偏西行驶了到达点，最后又改变方向，向东行驶了到达点．（1）作出向量、、；（2）求.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）向量、、如图所示：（2）由题意，易知与方向相反，故与共线，又，∴在四边形中，.∴四边形为平行四边形．∴，∴.12．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与相等的向量有哪些？(2)与共线的向量有哪些？(3)若，求的大小．【答案】（1）；（2）；（3）3.【解析】(1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有．(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有．(3)若，则．《6.2.1向量的加法运算》同步练习一、选择题1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为()A．5B．4C．3D．22．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）.A． B． C． D．3．向量﹒化简后等于（）A． B．0 C． D．4．已知有向线段不平行，则（）。A． B．≥C．≥ D．<5.（多选题）已知点D，E，F分别是的边的中点，则下列等式中正确的是()A． B．C． D．6.（多选题）下列结论中，不正确结论的是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；B.在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；D.若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等．二、填空题7．设是平面内任意三点，计算：_______．8．给出下面四个结论：①若线段AC=AB+BC，则向量;②若向量,则线段AC=AB+BC;③若向量与共线，则线段AC=AB+BC;其中正确的结论有________.9.当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角．10.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解答题11.已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点．求证：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.《6.2.1向量的加法运算》同步练习答案解析一、选择题1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为()A．5B．4C．3D．2【答案】A【解析】依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A．2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】画出图像如下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.故选C.3．向量﹒化简后等于（）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】,故选D.4．已知有向线段不平行，则（）。A． B．≥C．≥ D．<【答案】D【解析】由向量的不等式，，等号当且仅当平行的时候取到，所以本题中，<，故选D。5.（多选题）已知点D，E，F分别是的边的中点，则下列等式中正确的是()A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由向量加法的平行四边形法则可知，，故选ABC。6.（多选题）下列结论中，不正确结论的是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；B.在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；D.若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等．【答案】ACD【解析】当a＋b＝0时，知A不正确；由向量加法的三角形法则知B正确；当A，B，C三点共线时知C不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a＋b|≠|a|＋|b|，故D不正确．二、填空题7．设是平面内任意三点，计算：_______．【答案】【解析】，故答案为.8．给出下面四个结论：①若线段AC=AB+BC，则向量;②若向量,则线段AC=AB+BC;③若向量与共线，则线段AC=AB+BC;其中正确的结论有________.【答案】①【解析】①由AC=AB+BC得点B在线段AC上，则，正确②三角形内，但，错误③反向共线时，，错误9.当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角．【答案】|a|＝|b|【解析】当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角．10.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．【答案】8eq\r(2)km东北方向【解析】如图所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).所以|a＋b|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2)(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．解答题11.已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.【答案】3eq\r(3)【解】如图，∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3，∴四边形OACB为菱形．连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D．∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2)，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点．求证：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.【证明】由题意知：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).由平面几何可知，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋0＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.《6.2.2向量的减法运算》同步练习一、选择题1．化简()-()的结果是()A． B． C． D．2．如图，在四边形中，设，，，则等于（）A．B．C．D．3．已知向量是单位向量，点是的中点，点为任意一点，则等于（）A．B．C．D．4．在平行四边形中，等于（）A．B．C．D．5．（多选题）下列各式，其中结果为零向量的是（）A.；B.；C.；D..6．（多选题）四式能化简为的是（）A． B．C． D．二、填空题7．若菱形的边长为，则________．8．梯形中，，与交于点，则__________．9．化简：=__________．10.已知菱形ABCD的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))的模为________；|eq\o(AC,\s\up6(→))|的范围是________．三、解答题11．化简：（1）；（2）.12.如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up6(→)).《6.2.2向量的减法运算》同步练习答案解析一、选择题1．化简()-()的结果是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故选A.2．如图，在四边形中，设，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.3．已知向量是单位向量，点是的中点，点为任意一点，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，，故选A.4．在平行四边形中，等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，故选D.5．（多选题）下列各式，其中结果为零向量的是（）A.；B.；C.；D..【答案】ABCD【解析】A；B；C.；D.故选ABCD。6．（多选题）四式能化简为的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，，，故B、C、D都能化简为，只有A项，化简结果不是，故选BCD.二、填空题7．若菱形的边长为，则________．【答案】【解析】由于，则.8．梯形中，，与交于点，则__________．【答案】【解析】．9．化简：=__________．【答案】【解析】原式=10.已知菱形ABCD的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))的模为________；|eq\o(AC,\s\up6(→))|的范围是________．【答案】20<|eq\o(AC,\s\up6(→))|<4【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，又|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.又因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，且在菱形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，所以||eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AD,\s\up6(→))||<|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|<|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|，即0<|eq\o(AC,\s\up6(→))|<4.三、解答题11．化简：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.（2）.12.如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up6(→)).【答案】(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝d＋e＋a；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－c－d.【解】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DE,\s\up6(→))＝d，eq\o(EA,\s\up6(→))＝e，所以(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.《6.2.3向量的数乘运算》同步练习一、选择题1．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（）A．的方向的方向相反B．C．与方向相同D．2．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A．B．C．D．3．已知向量，，，则（）A．、、三点共线B．、、三点共线C．、、三点共线D．、、三点共线4．如图所示，在中，点D是边的中点，则向量（）A． B．C． D．5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()A.m(a－b)＝ma－mbB.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，则a＝bD.若ma＝na，则m＝n.6.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点是边的中点B．若，则点在边的延长线上C．若，则点是的重心D．若，且，则的面积是的面积的二、填空题7．________________．8.已知eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，若eq\o(PP1,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，则λ等于________．9．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，O为平面上任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，则λ＝________，（用来表示）三、解答题11．计算：（1）；（2）；（3）．12.设a，b是两个不共线的非零向量，记eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？《6.2.3向量的数乘运算》同步练习答案解析一、选择题1．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（）A．的方向的方向相反B．C．与方向相同D．【答案】C【解析】对于A，与方向相同或相反，因此不正确；对于B，时，，因此不正确；对于C，因为，所以与同向，正确；对于D，是实数，是向量，不可能相等．故选C．2．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，又，∴，此时、共线，故选D.3．已知向量，，，则（）A．、、三点共线B．、、三点共线C．、、三点共线D．、、三点共线【答案】B【解析】∵，∴、、三点共线．故选B．4．如图所示，在中，点D是边的中点，则向量（）A． B．C． D．【答案】D【解析】为中点本题正确选项：。5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()A.m(a－b)＝ma－mbB.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，则a＝bD.若ma＝na，则m＝n.【答案】AB【解析】对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；对于D，若a＝0，则m，n没有关系，错误.故选A，B.6.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点是边的中点B．若，则点在边的延长线上C．若，则点是的重心D．若，且，则的面积是的面积的【答案】ACD【解析】A中：,即：,则点是边的中点B.,则点在边的延长线上，所以B错误.C.设中点D,则,，由重心性质可知C成立.D．且设所以，可知三点共线，所以的面积是面积的故选择ACD。二、填空题7．________________．【答案】【解析】故答案为8.已知eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，若eq\o(PP1,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，则λ等于________．【答案】－eq\f(2,5)【解析】因为eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，所以－eq\o(PP1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(PP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P2,\s\up6(→)))，即eq\o(PP1,\s\up6(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，所以λ＝－eq\f(2,5).9．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，O为平面上任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)【答案】(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))【解析】eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))－teq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，则λ＝________，（用来表示）【答案】2【解析】由向量加法的平行四边形法则知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.。三、解答题11．计算：（1）；（2）；（3）．【答案】略【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．12.设a，b是两个不共线的非零向量，记eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？【解】∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a，∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即tb－a＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f(2,3)a)).由于a，b不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)λ，,－1＝－\f(2,3)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))故当t＝eq\f(1,2)时，A、B、C三点共线．《6.2.4向量的数量积》同步练习第1课时向量的数量积的物理背景和数量积一、选择题1．在边长为1的等边三角形中，设，则（）A． B．0 C． D．32．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．43．已知，，若，那么向量的夹角等于（）A．B．C．D．4．已知下列结论:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.则以上结论正确的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦（多选题）下列命题中，正确的是（）对于任意向量，有；若，则；对于任意向量，有若共线，则（多选题）关于平面向量，下列命题中错误的是（）若，则存在使得。B.若，则的夹角为直角。C.若，则D.二、填空题7．若向量、满足，为单位向量，且与夹角为，则在上的投影向量为________.8．在等边三角形ABC中，边长为2，则AB·9．已知|a|=6,|b|=4，a·b=12，向量b方向上的单位向量为e则向量a在向量b方向上的投影是_________已知，则，以的面积为_______三．解答题11.如图所示，在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).12.已知若向量在上的投影向量为，求。《6.2.4向量的数量积》同步练习答案解析第1课时向量的数量积的物理背景和数量积一、选择题1．在边长为1的等边三角形中，设，则（）A． B．0 C． D．3【答案】A【解析】.同理，∴.故选A.2．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.④错误，，故⑤错误，.综上所述，正确的个数为，故选B.3．已知，，若，那么向量的夹角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．4．已知下列结论:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.则以上结论正确的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦【答案】D【解析】对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；对于②：应有0·a=0；对于④：由数量积定义有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；对于⑤：若非零向量a、b垂直，则有a·b=0；对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.故③⑦正确.故选D。5.（多选题）下列命题中，正确的是（）对于任意向量，有；若，则；对于任意向量，有若共线，则【答案】ACD【解析】由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当时，，故选项B错误；因为，故选项C正确；当共线同向时，，当共线反向时，，所以选项D正确。故选ACD。6.（多选题）关于平面向量，下列命题中错误的是（）若，则存在使得。B.若，则的夹角为直角。C.若，则D.【答案】BCD【解析】由共线向量定理可知选项A正确；当时，，所以，选项B错误；因为，所以，所以选项C错误；对于非零向量，当不共线，且时，，所以，选项D错误。故选BCD。二、填空题7．若向量、满足，为单位向量，且与夹角为，则在上的投影向量为________.【答案】【解析】即在上的投影向量为故答案为：。8．在等边三角形ABC中，边长为2，则AB·【答案】-2【解析】AB·9．已知|a|=6,|b|=4，a·b=12，向量b方向上的单位向量为e则向量a在向量b方向上的投影是_________【答案】【解析】因为，所以，所以，所以向量a在向量b方向上的投影向量为：。10.已知，则，以的面积为_______【答案】【解析】设的夹角为，，所以，因为，故.所以。的边OB上的高为，所以的面积为。三．解答题11.．如图所示，在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).【答案】（1）9（2）-16（3）-6【解析】(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝|eq\o(AD,\s\up14(→))|2＝9；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))＝－|eq\o(AB,\s\up14(→))|2＝－16；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(DA,\s\up14(→))|cos(180°－60°)＝4×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6.12.已知若向量在上的投影向量为，求。【答案】2【解析】设的夹角为，则因为向量在上的投影向量为，所以，所以。《6.2.4向量的数量积》同步练习第2课时向量的向量积一、选择题1．有四个式子：①；②；③；④.其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则（）A．1 B． C．2 D．或24．已知均为单位向量，且，则向量的夹角为()A． B． C． D．5．（多选题）对于平面向量，给出下列四个命题：A.命题p1：若a⋅b>0，则B.命题p2：“|a⋅C.命题p3：当a,b为非零向量时，“aD.命题p4：若|a+其中的真命题是（）6.（多选题）若()是所在的平面内的点，且.给出下列说法：A.；B.的最小值一定是；C.点、在一条直线上；D.向量及在向量的方向上的投影向量必相等.其中正确的说法是（）二、填空题7．已知，且与垂直，则与的夹角为_________.8．已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为________.9.若，则________.10．在中，，，则，在方向上的投影向量是__________．三、解答题11．已知，与的夹角为.（1）求；（2）求为何值时，.12．设满足|a|=|(1)求a,(2)求|3《6.2.4向量的数量积》同步练习答案解析第2课时向量的向量积一、选择题1．有四个式子：①；②；③；④.其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由向量的加减与乘法运算知①②③正确，对④，由于，故不一定正确，则正确的有3个故选C2．设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.3．已知，则（）A．1 B． C．2 D．或2【答案】C【解析】.故选C.4．已知均为单位向量，且，则向量的夹角为()A． B． C． D．【答案】A【解析】设向量的夹角为θ.因为||＝||＝1，所以(2＋)·(－2)＝2－3·＝－3cosθ＝－，即cosθ＝，θ＝.故选A.5．（多选题）对于平面向量，给出下列四个命题：A.命题p1：若a⋅b>0，则B.命题p2：“|a⋅C.命题p3：当a,b为非零向量时，“aD.命题p4：若|a+其中的真命题是（）【答案】BD【解析】对于A，命题p1：当a⋅b>0时,向量a与b的夹角可能为0,故为假命题；对于B，命题p2：当时,则向量中至少有一个零向量或cos(a,b故为真命题；对于C，命题p3：当时,成立；当,向量a与b为非零向量时,a与b反向,未必有,故为假命题；对于D，命题p4：若|a+b|=|b|,则|a6.（多选题）若()是所在的平面内的点，且.给出下列说法：A.；B.的最小值一定是；C.点、在一条直线上；D.向量及在向量的方向上的投影向量必相等.其中正确的说法是（）【答案】CD【解析】由可得，所以，由此可知点在过点垂直于的直线上，所以“C.点、在一条直线上；D向量及在向量的方向上的投影向量必相等”是正确的.故选CD。二、填空题7．已知，且与垂直，则与的夹角为_________.【答案】【解析】，，，，故答案为.8．已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】由题意可知.又∵，∴与的夹角为锐角，∴.∵，∴.解得或.当时，与共线，其夹角不为锐角，故的取值范围是.故填：.9.若，则________.【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴.∴.故填：10．在中，，，则，在方向上的投影向量是__________．【答案】【解析】△ABC中，∵，∴，∴，∴；。又AB=3，AC=4，在∴在方向上的投影向量是如图所示．故选：C．三、解答题11．已知，与的夹角为.（1）求；（2）求为何值时，.【答案】（1）（2）【解析】（1），所以.（2）因为，所以，即，即，解得．12．设满足|a|=|(1)求a,(2)求|3【答案】(1)θ=π3.(2)【解析】(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝12，∴|a||b|cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角为π3(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝13..《6.3.1平面向量基本定理》同步练习一、选择题1．下面三种说法，其中正确的是（）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量.A．①②B．②③C．①③D．①②③2．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．3．在中，，．若点满足，则（）A． B． C． D．4．已知向量不共线，若向量与的方向相反，则等于（）A．1 B．0 C． D．5．（多选题）已知非零向量，满足，给出以下结论，其中正确结论是（）A.若与不共线，与共线，则；B.若与不共线，与共线，则；C.存在实数，使得与不共线，与共线；D.不存在实数，使得与不共线，与共线6．（多选题）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（）A.且；B.存在相异实数入，使；C.（其中实数满足）；D.已知梯形，其中。二、填空题7．设向量与不共线，若，，，且三点共线，则_______.8．如图，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．9．如图所示，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．10．如图所示，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则的取值范围是______；当时，的取值范围是______．三、解答题11．已知为两个不共线的向量，若四边形满足，（1）将用表示；（2）证明四边形为梯形.12．在梯形ABCD中，，分别是的中点，且.设，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式:.6.3.1平面向量基本定理一、选择题1．下面三种说法，其中正确的是（）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量.A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】B【解析】由题意知，说法①中，只要是不共线的一对向量就可以作为该平面的基底，故说法①错；则②③显然正确，故选B.2．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，向量，且，，，可得，即共线，所以三点共线，故选A.。3．在中，，．若点满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选A．4．已知向量不共线，若向量与的方向相反，则等于（）A．1 B．0 C． D．【答案】C【解析】∵向量与的方向相反，∴.由向量共线的性质定理可知，存在一个实数，使得，即，解得.当时，向量与是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去；∴.故选C。5．（多选题）已知非零向量，满足，给出以下结论，其中正确结论是（）A.若与不共线，与共线，则；B.若与不共线，与共线，则；C.存在实数，使得与不共线，与共线；D.不存在实数，使得与不共线，与共线【答案】AD【解析】因为非零向量，满足，若与不共线，与共线，可得，即，，解得，所以A正确，B错误.若与共线，可得，可得与共线，所以C错误，D正确.故选AD。6．（多选题）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（）A.且；B.存在相异实数入，使；C.（其中实数满足）；D.已知梯形，其中。【答案】AB【解析】A由得，所以，故A正确；B因为存在相异实数入，使；所以，所以，故B正确；C若，则，但不一定共线，故C错误；D梯形中，没有说明哪组对边平行，故D错误.故选AB。二、填空题7．设向量与不共线，若，，，且三点共线，则_______.【答案】【解析】三点共线且向量与不共线，解得：本题正确结果：8．如图，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．【答案】【解析】如图，设M是AC的中点，则＋＝2.又＋＝－2，∴＝－，即O是BM的中点，∴S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，即＝.9．如图所示，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．【答案】6【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则．在直角△OCD中，因为，∠COD=30°，∠OCD=90°，所以，，故，，即，所以.10．如图所示，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则的取值范围是______；当时，的取值范围是______．【答案】；【解析】由题意得：设＝.由得因为，所以当时，有，解得三、解答题11．已知为两个不共线的向量，若四边形满足，（1）将用表示；（2）证明四边形为梯形.【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）（2）因为，即，所以与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形中，，且，所以四边形是梯形.12．在梯形ABCD中，，分别是的中点，且.设，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式:.【答案】,,【解析】如图，∵，且，∴.又∵，∴.∵∴.《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》同步练习一、选择题1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，则eq\o(OA,\s\up14(→))的坐标是()A．(4，－2) B．(4,2)C．(2,4) D．(-4,8)2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则eq\o(AB,\s\up14(→))可以表示为()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j3.已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝(－2,4)，则下列说法正确的是()A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限（多选题）下列说法正确的是（）相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。6.（多选题）已知向量，平面内的任意向量，下列结论中错误的是（）A.存在唯一的一对实数x，y，使得。B.若则。C.若，且，则的起点是原点O。D.若，且的终点坐标是，则。二、填空题7.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．8.若向量与相等，则=_________.9.如图,在6×6的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足向量,那么_______.10.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝2，∠xOA＝150°，则点A坐标为，向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐标为________．三．解答题11.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求eq\o(AC,\s\up14(→))和eq\o(BD,\s\up14(→))的坐标．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量eq\o(BA,\s\up14(→))的坐标；(3)求点B的坐标．《6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》同步练习答案解析一、选择题1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，则eq\o(OA,\s\up14(→))的坐标是()A．(4，－2) B．(4,2)C．(2,4) D．(-4,8)【答案】B【解析】因为eq\o(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，所以eq\o(OA,\s\up14(→))＝(4,2)，故选B。2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则eq\o(AB,\s\up14(→))可以表示为()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j【答案】C【解析】记O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up14(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up14(→))＝4i＋2j，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝2i－j.故选C。3.已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝(－2,4)，则下列说法正确的是()A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)【答案】D【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．故选D。4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．故选D。（多选题）下列说法正确的是（）相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。【答案】ABD【解析】由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误。所以选ABD.6.（多选题）已知向量，平面内的任意向量，下列结论中错误的是（）A.存在唯一的一对实数x，y，使得。B.若则。C.若，且，则的起点是原点O。D.若，且的终点坐标是，则。【答案】BCD【解析】由平面向量基本定理，可知A中结论正确；，但1=1，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以向量与向量的起点是不是原点无关，故C中结论错误；当的终点坐标是时，是以的起点是原点为前提的，故D中结论错误。故选BCD。二、填空题7.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．【答案】(eq\r(2)，eq\r(2))【解析】由题意知a＝2cos45°i＋2sin45°j＝eq\r(2)i＋eq\r(2)j＝(eq\r(2)，eq\r(2))．8.若向量与相等，则=_________.【答案】-1【解析】因为，所以=0且=2，解得.9.如图,在6×6的方格中,已知向量的起点和终点均在格点,且满足向量,那么_______.【答案】3【解析】分别设方向向右和向上的单位向量为则,又因为,所以,解得所以答案为3.10.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝2，∠xOA＝150°，则点A坐标为，向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐标为________．【答案】(－eq\r(3)，1)(－eq\r(3)，1)【解析】设A(x，y)，∴x＝|eq\o(OA,\s\up14(→))|cos150°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up14(→))|sin150°＝2×eq\f(1,2)＝1，所以点A的坐标为(－eq\r(3)，1)．∴eq\o(OA,\s\up14(→))的坐标为(－eq\r(3)，1)．三．解答题11.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求eq\o(AC,\s\up14(→))和eq\o(BD,\s\up14(→))的坐标．【解析】由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB＝4，AD＝3，所以eq\o(AC,\s\up14(→))＝4i＋3j，所以eq\o(AC,\s\up14(→))＝(4,3)．又eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝－4i＋3j，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝(－4,3)．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量eq\o(BA,\s\up14(→))的坐标；(3)求点B的坐标．【解析】(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，AM＝OA·sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，∴A(2eq\r(2)，2eq\r(2))，故a＝(2eq\r(2)，2eq\r(2))．∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，即b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).(2)eq\o(BA,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).(3)eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝(2eq\r(2)，2eq\r(2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))《6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示》同步练习一、选择题1.已知向量,则（）A． B．C． D．2.如果用分别表示轴和轴方向上的单位向量，且，那么可以表示为（）A． B． C． D．3.在平行四边形中，为一条对角线．若，，则等于()A． B． C． D．4.已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为（）A． B． C． D．5.（多选题）若向量与向量相等，且，则的值为（）A.B.C.D.6.（多选题）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）．AB.C.D.（2,3）填空题7.在平行四边形中，为一条对角线，，，则__________．8.已知点向量，则向量的坐标为_________．9.已知A，B，C三点共线，，点的纵坐标分别为，则点的纵坐标为_____.10.若，则向量_____，向量______.解答题11.已知点A（-1，2），B（2，8）及，求点C，D和12.已知四边形为平行四边形，且，，点的坐标为，求其余三个顶点、、的坐标.《6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示》同步练习答案解析一、选择题1.已知向量,则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为向量,所以.本题选择D选项.2.如果用分别表示轴和轴方向上的单位向量，且，那么可以表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】记为坐标原点，则，所以，故选C.3.在平行四边形中，为一条对角线．若，，则等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，故选B.4.已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设D的坐标为，∵，∴，，∵四边形ABCD为平行四边形，∴，,∴，解得，，即的坐标为，故选D.5.（多选题）若向量与向量相等，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】由得，则，解得，故选AC。6.（多选题）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）．AB.C.D.（2,3）【答案】ABC【解析】设平行四边形的三个顶点分别是，第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个项点的坐标为．∴第四个顶点的坐标为或或．故选ABC。二、填空题7.在平行四边形中，为一条对角线，，，则__________．【答案】【解析】∵，∴故答案为：8.已知点向量，则向量的坐标为_________．【答案】【解析】设，∵点，向量，∴∴解得，∴，∴．故答案为．9.已知A，B，C三点共线，，点的纵坐标分别为，则点的纵坐标为_____.【答案】-1【解析】设点的纵坐标为.∵三点共线，，的纵坐标分别为，∴，∴，故答案为-1.10.若，则向量_____，向量______.【答案】【解析】，①.②①②，得；①②，得，故答案为，.三、解答题11.已知点A（-1，2），B（2，8）及，求点C，D和【答案】见解析．【解析】设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，，＝(－3，－6)，因为，所以(x1＋1，y1－2)＝(3，6)，＝(－3，－6)，则有和解得和所以点C，D的坐标分别为(2，8)和(-4，-4)，所以＝(－6，－12)．12.已知四边形为平行四边形，且，，点的坐标为，求其余三个顶点、、的坐标.【答案】、、【解析】设、、的坐标分别为，，，由向量坐标的定义可得，，∵点的坐标为，∴，解得∴的坐标为，∴，解得，∴的坐标为，又∵四边形为平行四边形，∴，即，可得，解得，∴的坐标为.《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》同步练习一、选择题1．已知平面向量，，且∥，则=（）A． B． C． D．2．已知平面向量，且，则（）A． B． C． D．3．已知向量，，且与共线，，则A．B．C．或D．或4．已知向量则下列向量中与向量平行且同向的是（）A． B．C． D．5．（多选题）若三点A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子正确的是()A．2m－n＝3 B．n－m＝1C．m＝3，n＝3 D．m－2n＝36．（多选题）已知向量，，则下列叙述中，不正确是（）A．存在实数x，使 B．存在实数x，使C．存在实数x，m，使 D．存在实数x，m，使二、填空题7.已知，，若在直线AB上，________．8．已知点、、，若点满足，则当点在第一象限时，的取值范围是_______________________.9．已知向量a=(2，1)，b=(1，−2)．若ma＋nb=(9，−8)(m，n∈R)，则m−n的值为________．10．与向量同向的单位向量的坐标为_______________，反向的单位向量的坐标为_______________。三、解答题11．已知、、，，.（1）求点、及向量的坐标；（2）求证：.12．已知点及，求：（1）若点在第二象限，求的取值范围,（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》同步练习答案解析一、选择题1．已知平面向量，，且∥，则=A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意结合平面向量平行的充要条件可得：.本题选择B选项.2．已知平面向量，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，且，，，则，因此，，故选C.3．已知向量，，且与共线，，则A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因为与共线，所以，，所以又因为，所以或.本题选择D选项4．已知向量则下列向量中与向量平行且同向的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故选A．5．（多选题）若三点A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子正确的是()A．2m－n＝3 B．n－m＝1C．m＝3，n＝3 D．m－2n＝3【答案】AC【解析】∵三点，，在一条直线上∴∴∴∴，即.当m＝3时，n＝3。故选AC.6．（多选题）已知向量，，则下列叙述中，不正确是（）A．存在实数x，使 B．存在实数x，使C．存在实数x，m，使 D．存在实数x，m，使【答案】ABC【解析】由，得，无实数解，故A中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故B中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故心中叙述错误；由，得，即，所以，，故D中叙述正确．故选：ABC二、填空题7.已知，，若在直线AB上，________．【答案】23【解析】，，由题意知A，B，C三点共线，∴，∴，∴．故答案为：8．已知点、、，若点满足，则当点在第一象限时，的取值范围是_______________________.【答案】【解析】设点的坐标为，则，，.，，，，得，要使点在第一象限，只需，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.9．已知向量a=(2，1)，b=(1，−2)．若ma＋nb=(9，−8)(m，n∈R)，则m−n的值为________．【答案】−3【解析】由a=(2，1)，b=(1，−2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n，−2n)=(2m＋n，m−2n)，由已知可得，解得，从而m−n=−3.10