《向量的数量积的物理背景和数量积》教学设计、导学案、同步练习

6.2.4向量的数量积《第1课时向量的数量积的物理背景和数量积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；B.会求平面向量的数量积、投影向量；C.熟记平面向量数量积的性质；D.能运用数量积的性质解决问题；E.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。1.数学抽象：数量积的定义；2.逻辑推理：数量积的性质；3.数学运算：求平面向量的数量积；4.直观想象：投影向量。【教学重点】：平面向量数量积的定义及投影向量；【教学难点】：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.向量的数乘的定义：【答案】一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。2.向量的数乘运算律：【答案】设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）（2）（3）二、探索新知思考1：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？【答案】思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则叫做向量的夹角。显然，当时，同向；当时，反向。如果的夹角是，我们就说垂直，记作。思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。2.数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为。说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[0°，180°]。思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？【答案】当0°≤θ＜90°时，为正；当90°＜θ≤180°时，为负；当θ=90°时，为零。结论：数量积符号由的符号所决定。例1.已知的夹角，求。解：例2.设，求的夹角。解：投影向量的定义：如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的投影向量。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则就是向量在向量上的投影向量。探究：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？【答案】。综上可得，对于任意的，都有。探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则：（1），（3）当向量共线同向时，；当向量共线反向时，。特别地，或。（4）牛刀小试：已知在当时，试判断的形状。【答案】当为钝角三角形；当为直角三角形。通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，由物理知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，让学生进一步理解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。通过例题巩固数量积的定义，提高学生解决问题的能力。通过探究，进一步理解投影向量，提高学生的观察、概括能力。通过探究，让学生由投影向量来推导数量积的性质，掌握知识间的联系，提高学生的理解、概括能力。通过练习进一步理解数量积的性质，提高学生解决问题的能力。三、达标检测1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．20B．－20C．20eq\r(3)D．－20eq\r(3)【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.【答案】B2．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1【解析】e1·e2＝|e1||e2|cos<e1，e2>＝±1.【答案】C3．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，且b·a＝0，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．无法确定【解析】在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．【答案】C4.已知为单位向量，且的夹角为，求向量在上的投影向量。【解析】向量在上的投影向量为。通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.向量的数量积的定义；2.投影向量；3.数量积的性质;五、作业习题6.210,18题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】通过本节课的教学,我有以下几点体会：(1)让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉刨设问题情景,建立数学模型,让学生经历数学知识的形成与应用,可以更好的理解数学概念、结论的形成过程,体会蕴含在其中的思想方法,增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方法。(2)鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者,教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提,教学过程中要发扬民主,要鼓励学生质疑,提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等,要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题的方案,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。6.2.4向量的数量积《第1课时向量的数量积的物理背景和数量积》导学案【学习目标】1..理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；2.会求平面向量的数量积、投影向量；3.熟记平面向量数量积的性质；4.能运用数量积的性质解决问题；【教学重点】：平面向量数量积的定义及投影向量；【教学难点】：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。【知识梳理】1．向量的夹角的定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则叫做向量的。显然，当时，；当时，。2.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的(或)，记作，即．规定零向量与任一向量的数量积为．投影向量的定义：如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则就是向量在向量上的。4.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔．(2)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝．(3)a·a＝或|a|＝eq\r(a·a)＝.(4)|a·b|≤.【学习过程】探索新知思考1：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则叫做向量的。显然，当时，；当时，。如果的夹角是，我们就说垂直，记作。思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？2.数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为。说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[0°，180°]。思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？结论：数量积符号由的符号所决定。例1.已知的夹角，求。投影向量的定义：如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则就是向量在向量上的。探究1：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？探究2：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？牛刀小试：已知在当时，试判断的形状。【达标检测】1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．20B．－20C．20eq\r(3)D．－20eq\r(3)2．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<13．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，且b·a＝0，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．无法确定4.已知为单位向量，且的夹角为，求向量在上的投影向量。参考答案：思考1.思考2.标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。思考3.功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。思考4.当0°≤θ＜90°时，为正；当90°＜θ≤180°时，为负；当θ=90°时，为零。例1.探究1.。综上可得，对于任意的，都有。探究2.设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则：（1），（3）当向量共线同向时，；当向量共线反向时，。特别地，或。（4）牛刀小试：当为钝角三角形；当为直角三角形。达标检测1.【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.【答案】B2.【解析】e1·e2＝|e1||e2|cos<e1，e2>＝±1.【答案】C3.【解析】在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．【答案】C4.【解析】向量在上的投影向量为。《6.2.4向量的数量积》同步练习第1课时向量的数量积的物理背景和数量积一、选择题1．在边长为1的等边三角形中，设，则（）A． B．0 C． D．32．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．43．已知，，若，那么向量的夹角等于（）A．B．C．D．4．已知下列结论:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.则以上结论正确的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦（多选题）下列命题中，正确的是（）对于任意向量，有；若，则；对于任意向量，有若共线，则（多选题）关于平面向量，下列命题中错误的是（）若，则存在使得。B.若，则的夹角为直角。C.若，则D.二、填空题7．若向量、满足，为单位向量，且与夹角为，则在上的投影向量为________.8．在等边三角形ABC中，边长为2，则AB·9．已知|a|=6,|b|=4，a·b=12，向量b方向上的单位向量为e则向量a在向量b方向上的投影是_________已知，则，以的面积为_______三．解答题11.如图所示，在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).12.已知若向量在上的投影向量为，求。《6.2.4向量的数量积》同步练习答案解析第1课时向量的数量积的物理背景和数量积一、选择题1．在边长为1的等边三角形中，设，则（）A． B．0 C． D．3【答案】A【解析】.同理，∴.故选A.2．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.④错误，，故⑤错误，.综上所述，正确的个数为，故选B.3．已知，，若，那么向量的夹角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．4．已知下列结论:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.则以上结论正确的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦【答案】D【解析】对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；对于②：应有0·a=0；对于④：由数量积定义有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；对于⑤：若非零向量a、b垂直，则有a·b=0；对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.故③⑦正确.故选D。5.（多选题）下列命题中，正确的是（）对于任意向量，有；若，则；对于任意向量，有若共线，则【答案】ACD【解析】由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当时，，故选项B错误；因为，故选项C正确；当共线同向时，，当共线反向时，，所以选项D正确。故选ACD。6.（多选题）关于平面向量，下列命题中错误的是（）若，则存在使得。B.若，则的夹角为直角。C.若，则D.【答案】BCD【解析】由共线向量定理可知选项A正确；当时，，所以，选项B错误；因为，所以，所以选项C错误；对于非零向量，当不共线，且时，，所以，选项D错误。故选BCD。二、填空题7．若向量、满足，为单位向量，且与夹角为，则在上的投影向量为________.【答案】【解析】即在上的投影向量为故答案为：。8．在等边三角形ABC中，边长为2，则AB