《平面几何中的向量方法》教学设计、导学案、同步练习

《6.4.1平面几何中的向量方法》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用，本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；B.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；C.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示；4.直观想象：向量在处理平面几何问题中的优越性；5.数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。【教学重点】：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；【教学难点】：如何将几何等实际问题化归为向量问题.【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，情境引入1.向量的三角形法则。特点:首尾相接，连首尾。向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。2.向量减法的三角形法则。特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。3.平面向量的夹角公式4.模5.共线向量定理6.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．二、探索新知例1.如图6.4-1，DE是的中位线，用向量方法证明：.思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例2.如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？通过复习前几节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过例题让学生了解用向量方法证明几何问题，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，总结用向量方法做几何问题的步骤，提高学生分析问题、概括问题的能力。通过例题进一步熟悉向量的工具作用，提高学生用向量解决几何知识解决问题的能力。三、达标检测1．已知在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定答案A2．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．4答案B解析∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1.3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．答案22解析由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因为eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.4．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为________．答案2解析∵O是BC的中点，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→)).又∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，则m＋n＝2.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.向量的有关知识；2.用向量解决几何问题的步骤；五、作业习题6.41,3题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】在整个教学过程中,首先检查学生对学案的完成程度,大部分学生基本能按要求完成,少部分基础较弱的没有完成紧接着提出向量的几何背景,提出平面几何问题是否可用向量知识来处理.在这一背景下提出了(例1)，对这个问题的解决，我的做法是充分让学生分析用向量方法解决这一几何问题的过程,并归纳出用向量方法解决平面几何问题的一般步骤,当然在探究过程中学生可能会分析得不到位和归纳不全面,教师应适当引导和完善问题的解答,在这一问题的设计上,以分析几个小问题的形式完成对问题2的整个探究过程,把一个大问题分解成几个小问题来引导,那学生探究起来会更容易一些,并且从中都是以学生为主开展的,体现了以学生为主体，教师为主导的教学理念。《6.4.1平面几何中的向量方法》导学案【学习目标】1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.【教学重点】：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；【教学难点】：如何将几何等实际问题化归为向量问题.【知识梳理】向量的三角形法则。2.向量的平行四边形法则。3.向量减法的三角形法则。3.向量的模。【学习过程】一、探索新知由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．例1.如图6.4-1，DE是的中位线，用向量方法证明：.思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？(1)建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将下面几何问题转化为向量问题。（2）通过向量计算，研究几何元素之间的关系，如距离.夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系。例2.如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？【达标检测】1．已知在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定2．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．43.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．4．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为________．参考答案：例1.思考：“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例2.达标检测1.答案A2.答案B解析∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1.3.答案22解析由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因为eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.4.答案2解析∵O是BC的中点，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→)).又∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，则m＋n＝2.《6.4.1平面几何中的向量方法》同步练习一、选择题1．在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是()A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形2．已知是所在平面内一点，且满足，则为A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（）A．8 B．4 C．2 D．14．为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（）A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形5.（多选题）设为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量。且满足不共线，，，则的值一定等于（）A.以为邻边的平行四边形的面积B.以为邻边的平行四边形的面积C.以为两边的三角形的面积的2倍；D.以为两边的三角形面积。6.（多选题）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若，则点O是的重心。B.若，则点O是的垂心。C.若，则点O是的外心。D.若，则点O是的内心。二、填空题7.已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则__________．8．若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为__．9．已知为△的外心，若+−=0，则=_____．10．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则与的夹角为，该四边形的面积为___________.三．解答题11.如图，在正方形中，分别为的中点，求证：（利用向量证明）.12．如图，已知直角梯形中，，过点作于点，为的中点，用向量的方法证明：（1）；（2）三点共线.《6.4.1平面几何中的向量方法》同步练习答案解析一、选择题1．在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是()A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形【答案】C【解析】由知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.故选C2．已知是所在平面内一点，且满足，则为A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，，因为，所以，因为，所以，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形．故选B。3．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以,又因为是的中点，所以,故选C.4．为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（）A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【答案】B【解析】根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．因此可知，所以可知为故有，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.5.（多选题）设为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量。且满足不共线，，，则的值一定等于（）A.以为邻边的平行四边形的面积B.以为邻边的平行四边形的面积C.以为两边的三角形的面积的2倍；D.以为两边的三角形面积。【答案】AC【解析】设的夹角为，的夹角为，则，故选AC。6.（多选题）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若，则点O是的重心。B.若，则点O是的垂心。C.若，则点O